2021-2022学年苏科版九年级数学下册7.5解直角三角形解答题专题提升训练（word版含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7.5解直角三角形》解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，若sin∠CAD＝，BC＝25，求AC的长．
2．如图，AD是△ABC的高，cosB＝，sinC＝，AC＝10，求AB的长．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cosA＝．
（1）求CD的长；
（2）求tan∠DBC的值．
4．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．
（1）求BE的长；
（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，AB＝5，AC＝3．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠DAB的值．
6．如图，在△ABC中，AD是中线，∠ABC＝30°，∠ADC＝45°．
（1）求的值；
（2）求∠ACB的度数．
7．如图，A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A＝45°，∠CBD＝75°，AB＝60m．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求线段CB的长度．
8．将一副直角三角板如图所示放置，点C，D，F在同一直线上，AB∥CF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，若AB＝20，求CD的长．
9．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．
10．如图，tanB＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．
（1）求cosB，sinB的值；
（2）连接BD，求BD的长．
11．如图6，在△ABC中，∠C＝90°，，AB＝5，BD平分∠ABC．
（1）求BC的长；
（2）求∠CBD的正切值．
12．如图，△ABC中，AB＝15cm，AC＝24cm，∠A＝60°，求BC的长．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cosA＝．D是AB边的中点，过点D作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．
（1）求线段CE的长；
（2）求sin∠BDE的值．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．
（1）求AD的长；
（2）求∠EBC的正切值．
15．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
求：（1）线段DC的长；
（2）tan∠ACB的值．
16．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE：ED＝7：5，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．
（1）求tan∠DCE的值；
（2）求的值．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC＝．
（1）求CD的长；
（2）求tanB的值．
18．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝，求：
（1）线段DC的长；
（2）sin∠EDC的值．
19．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6，求△ABC的面积．
20．如图，AD是△ABC的高，，，AC＝10，求△ABC的周长．
21．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝3，求：AB、AC．
22．如图，在△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝10，求△ABC的面积．
23．（1）计算：2tan60° tan30°﹣4cos245°+sin60°；
（2）如图，在△ABC中，tanC＝，点D在边BC上，AB＝AD，CD＝2BD＝4，求sinB的值．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连接AE．
（1）如果∠B＝25°，求∠CAE的度数；
（2）如果CE＝2，sin∠CAE＝，求tanB的值．
25．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝，BD＝3．
（1）求sin∠ADB的值；
（2）若DC＝3，求BC的长．
参考答案
1．解：∵∠BAC＝90°，
∴∠CAD+∠BAD＝90°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°，
∴∠B＝∠CAD，
∴sinB＝sin∠CAD＝．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，sinB＝，BC＝25，
∴AC＝BC sinB＝25×＝15．
2．解：在Rt△ACD中，sinC＝，
∵sinC＝，AC＝10，
∴，
∴AD＝6．
∴CD＝．
在Rt△ABD中，
∵cosB＝，
∴∠B＝45°，
∴∠BAD＝∠B＝45°，
∴BD＝AD＝6，
∴AB＝6．
3．解：（1）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cosA＝，
∴AD＝＝10，
∴＝＝8．
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴CD＝DE＝8；
（2）由（1）AD＝10，DC＝8，
∴AC＝AD+DC＝18，
在△ADE与△ABC中，
∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即＝，
∴BC＝24，
∴．
4．解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°．
在Rt△BED中，
∵cos∠ABC＝，
∴BE＝cos45° 3＝ 3＝3．
（2）∵∠ABC＝45°，∠BED＝90°．
∴∠EDB＝45°．
∴BE＝DE＝3．
∵sin∠DAB＝＝，
∴AD＝5．
∴AE＝＝4．
∴AB＝AE+BE＝4+3＝7．
∴S△ABD＝AB DE＝．
∵AD是BC边上的中线，
∴S△ADC＝S△ABD＝．
5．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝
＝＝
4．
∵D是BC的中点，
∴CD＝BC＝2．
∴AD＝
＝
＝．
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵D为BC的中点，
∴S△ACD＝S△ADB＝AC×CD＝3．
∵S△ABD＝AB×DE＝3，
∴DE＝．
∴sin∠DAB＝
＝
＝．
6．解：（1）过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，
在Rt△ABE中，
∵∠ABC＝30°，
∴AB＝2AE，
BE＝＝AE，
在Rt△ADE中，
∵∠ADC＝45°，
∴DE＝AE，
∴BD＝BE﹣DE＝AE﹣AE＝（﹣1）AE，
∴＝＝+1；
（2）如图，在AB上取一点E，使得DB＝DE，连接EC．
∵DB＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB＝30°，
∴∠EDC＝∠B+∠DEB＝60°，
∵DB＝DC＝DE，
∴△DEC是等边三角形，
∴∠ECD＝∠CED＝60°，
∴∠CEB＝∠CEA＝90°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠EDA＝∠EDC﹣∠ADC＝15°，
∵∠DEB＝∠EDA+∠AED，
∴∠EDA＝∠EAD＝15°，
∴ED＝EA＝EC，
∵∠CEA＝90°，
∴∠ECA＝45°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°+60°＝105°．
7．解：（1）∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠A＝45°，∠CBD＝75°，
∴∠ACB＝75°﹣45°＝30°．
（2）如图，过点B作BH⊥AC于H．
∵∠BHA＝90°，AB＝60m，∠A＝45°，
∴BH＝AB sin45°＝60（m），
∵∠BCH＝30°，
∴BC＝2BH＝120（m）．
8．解：（1）如图，作BH⊥CF于点H，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠BCH＝∠ABC＝30°，
∵AB＝20，
∴，
在Rt△BCH中，∵∠BCH＝30°，
∴，CH＝BC×cos30°＝15，
在Rt△DEF中，∵∠E＝45°，
∴∠EDF＝∠E＝45°，
在Rt△BDH中，，
∴．
9．解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，
∴AB＝10，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
AC＝＝＝6，
即AC的长为6；
（2）如图，
连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，
∵BF为AD边上的中线，
即F为AD的中点，
∴CF＝AD＝FD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝2，
∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，
∴CE＝CD＝2，
在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，
∴tan∠FBD＝＝＝．
解法二：∵BF为AD边上的中线，
∴F是AD中点，
∵FE⊥BD，AC⊥BD，
∴FE∥AC，
∴FE是△ACD的中位线，
∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，
∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．
10．解：（1）延长CD，BA，它们相交于点E，如图，
∵DC⊥BC于点C，
∴∠BCE＝90°．
∵tanB＝，tanB＝，
∴．
设CE＝4k，则BC＝3k．
∴BE＝．
∴cosB＝．
sinB＝．
（2）如下图：
∵DA⊥BA于点A，
∴∠E+∠ADE＝90°．
∵DC⊥BC于点C，
∴∠E+∠CBE＝90°．
∴∠ADE＝∠CBE．
∴cos∠ADE＝cos∠CBE＝．
∵cos∠ADE＝，
∴．
∵AD＝3，
∴DE＝5．
∴CE＝CD+DE＝5+7＝12．
∵tan∠CBE＝，tan∠CBE＝，
∴．
∴BC＝9．
∴BD＝．
11．解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，
∴sin∠A＝＝，
∵AB＝5，
∴BC＝3；
（2）如图，过D点作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴DC＝DE．
在Rt△BDE与Rt△BDC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），
∴BE＝BC＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣3＝2．
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC＝＝＝4．
设CD＝x，则DE＝x，AD＝4﹣x．
在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2+DE2，
∴（4﹣x）2＝22+x2，
解得x＝，
∴CD＝．
在Rt△DBC中，∵∠C＝90°，
∴tan∠CBD＝＝＝．
12．解：过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC＝∠BDC＝90°．
∵∠A＝60°，AC＝24cm．
∴∠ACD＝30°．
∴AD＝＝12cm，
∴CD＝sin60°×AC＝＝12cm．
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣12＝3cm，
在Rt△BDC中，
由勾股定理得＝＝21cm．
13．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，cosA＝，
∴＝，
∴AB＝10，
∴BC＝＝8，
又∵D为AB中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB＝5，
∴∠DCB＝∠B，
∴cos∠DCB＝，cos∠B＝，
∴，
∴CE＝；
（2）作EF⊥AB交AB于F，
由（1）知CE＝，
则BE＝8﹣＝，DE＝＝，
设BF＝x，则DF＝BD﹣BF＝5﹣x，
在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2＝，
在Rt△BEF中，EF2＝BE2﹣BF2＝，
∴﹣（5﹣x）2＝﹣x2，
解得x＝，
∴EF2＝（）2﹣（）2＝，
EF＝，
∴sin∠BDE＝＝．
14．解：（1）过C点作CH⊥AD于H，如图，
∵CD＝CA，
∴AH＝DH，
∵∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，
∴∠ACH＝∠ABC，
∴sin∠ACH＝sin∠ABC＝，
在Rt△ACH中，sin∠ACH＝＝，
∴AD＝2AH＝2；
（2）在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝，
∴AB＝3AC＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣2＝7，
∵∠E＝90°，
而∠EDB＝∠HDC，
∴∠HCD＝∠EBD，
∴sin∠EBD＝＝，
∴DE＝BD＝，
∴BE＝＝，
在Rt△EBC中，tan∠EBC＝＝＝．
15．解：（1）∵AD是BC上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵sinB＝，AD＝12，
∴AB＝15，
∴BD＝，
∵BC＝14，
∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；
（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，
∴tan∠ACB＝＝．
16．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝＝，
∴CD＝5，由勾股定理得：AD＝＝12，
∵AE：ED＝7：5，
∴ED＝5，
∴tan∠DCE＝＝1；
（2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示：
∵BC＝8，CD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝3，
∵DG∥CF，
∴，＝，
∴AF＝FG，
设BG＝3x，则FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x，
∴＝．
17．解：（1）在直角△ACD中，cos∠ADC＝＝，
因而可以设CD＝3x，AD＝5x，
根据勾股定理得到AC＝4x，则BC＝AD＝5x，
∵BD＝4，∴5x﹣3x＝4，
解得x＝2，
因而BC＝10，AC＝8，
CD＝6；
（2）∵在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝10，
∴tanB＝＝＝．
18．解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
∴sinB＝＝．
∵AD＝12，
∴AB＝＝＝15．
在Rt△ABD中，∵BD＝＝＝9，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．
（2）在Rt△ADC中，∵AD＝12，DC＝5，
∴AC＝13．
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C．
∴sin∠EDC＝sin∠C＝＝．
19．解：如图，作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∵BC＝6，
∴CD＝BD＝3，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣45°＝30°，
∴tan30°＝，
∴AD＝，
∴S△ABC＝ AB CD＝ （3+） 3＝9+3，
∴△ABC的面积是9+3．
20．解：在Rt△ACD中，，
∵，AC＝10，
∴，
∴AD＝6．
∴CD＝＝8．
在Rt△ABD中，∵，
∴∠B＝45°，
∴∠BAD＝∠B＝45°，
∴BD＝AD＝6，AB＝6．
∴△ABC的周长为:AB+AC+BD+CD
＝
＝．
21．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，BC＝3，cos∠B＝，
∴BD＝cos∠B×BC＝×3＝3．
∵∠B＝∠BCD＝45°，
∴CD＝BD＝3．
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠ACD＝75°﹣45°＝30°，
∴tan∠ACD＝，
∴AD＝tan∠ACD×CD＝×3＝，
∴AB＝AD+BD＝+3．
∵cos∠ACD＝，
∴AC＝＝＝2．
即：AB＝+3，AC＝2．
22．解：作AD⊥BC于点D，如右图所示，
∵sinC＝，AC＝10，
∴，
解得，AD＝6，
∴CD＝＝＝8，
∵cosB＝，∠ADB＝90°，
∴∠B＝45°，
∴∠B＝∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝6，
∴BC＝BD+CD＝6+8＝14，
∴△ABC的面积是：＝42．
23．解：（1）2tan60° tan30°﹣4cos245°+sin60°
＝2××﹣4×（）2+
＝2﹣4×+
＝2﹣2+
＝；
（2）作AE⊥BD于点E，
∵AB＝AD，CD＝2BD＝4，
∴BE＝DE＝1，
∴CE＝CD+DE＝5，
∵tanC＝，
∴，
∴AE＝3，
∴AB＝＝＝，
∴sinB＝．
24．解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝25°．
∴∠CAE＝40°．
（2）∵∠C＝90°，
∴．
∵CE＝2，
∴AE＝3，
∴AC＝，
∵EA＝EB＝3，
∴BC＝5，
∴．
25．解：（1）如图，过点B作BE⊥AD于点E，
在Rt△ABE中，∵∠A＝45°，AB＝，
∴AE＝BE＝1，
在Rt△BDE中，sin∠ADB＝＝；
（2）过点B作BF⊥DC于点F，
则∠BFD＝∠BED＝∠ADC＝90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DF＝BE＝1，BF＝DE＝＝＝2，
∵DC＝3，
∴FC＝2，
则BC＝＝＝2．