2021-2022学年北师大版八年级数学上册7.5三角形的内角和定理同步达标测试（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《7.5三角形的内角和定理》
同步达标测试（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
2．如图，点A、B、C、D、E、F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
3．适合条件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数是（　　）
A．110° B．120° C．130° D．140°
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（　　）
A．100° B．110° C．115° D．120°
6．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A+∠B＝2∠C
C．∠A＝∠B＝30° D．∠A＝∠B＝∠C
7．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（　　）
A．165° B．135° C．105° D．75°
8．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是（　　）
A．5° B．8° C．10° D．15°
二．填空题（共7小题，满分28分）
9．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是　 　．
10．△ABC中，∠A＝60°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC＝　 　．
11．如图，平面镜A与B之间夹角为110°，光线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若∠1＝∠2，则∠1的度数为　 　．
12．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC＝120°，则∠A＝　 　°．
13．在直角△ABC中，∠C＝90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝　 　．
14．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，∠3＝55°，则∠1+∠2＝　 　．
15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，若∠A＝80°，则∠BOC＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分60分）
16．已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）试写出∠DAE与∠C﹣∠B有何关系？（不必证明）
17．如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
18．如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
（1）若∠A＝60度，求∠O；
（2）若∠A＝100°，120°，∠O又是多少？
（3）由（1）、（2）你发现了什么规律？当∠A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三角形的内角和等于180°）
19．如图，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于E、F，EP⊥EF，∠EFD的平分线与EP相交于点P，且∠BEP＝40°，求∠P的度数．
20．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个；
（3）在图2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．利用（1）的结论，试求∠P的度数；
（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可）
21．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．
（1）如图（1）若∠BOD＝35°，求∠AOC的度数，若∠AOC＝135°，求∠BOD的度数．
（2）如图（2）若∠AOC＝150°，求∠BOD的度数．
（3）猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并结合图（1）说明理由．
（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．
22．已知：如左图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如右图，在左图的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在左图中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　；
（2）在右图中，若∠D＝50°，∠B＝40°，试求∠P的度数；（写出解答过程）
（3）如果右图中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．（直接写出结论）
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：设三个内角分别为2k、3k、4k，
则2k+3k+4k＝180°，
解得k＝20°，
所以，最大的角为4×20°＝80°，
所以，三角形是锐角三角形．
故选：A．
2．解：∵∠1是△ABG的外角，
∴∠1＝∠A+∠B，
∵∠2是△EFH的外角，
∴∠2＝∠E+∠F，
∵∠3是△CDI的外角，
∴∠3＝∠C+∠D，
∵∠1、∠2、∠3是△GIH的外角，
∴∠1+∠2+∠3＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故选：B．
3．解：∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，即6∠A＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
故选：B．
4．解：∴∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB﹣∠1﹣∠2＝130°﹣30°﹣40°＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝120°，
故选：B．
5．解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC＝60°＝30°，∠PCB＝∠ACB＝80°＝40°．
由三角形的内角和定理可知：∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣30°﹣40°＝110°．
故选：B．
6．解：A、∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A＝2∠B＝3∠C，则∠A＝°，所以A选项错误；
B、∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A+∠B＝2∠C，则∠C＝60°，不能确定△ABC为直角三角形，所以B选项错误；
C、∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A＝∠B＝30°，则∠C＝150°，所以B选项错误；
D、∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A＝∠B＝∠C，则∠C＝90°，所以D选项正确．
故选：D．
7．解：∠1＝90°﹣30°＝60°，
∴∠2＝∠1﹣45°＝15°，
∴∠α＝180°﹣15°＝165°，
故选：A．
8．解：∵∠B＝50°，CE⊥AB，
∴∠BCE＝40°，
又∵∠A＝30°，CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠BCA＝×（180°﹣50°﹣30°）＝50°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝50°﹣40°＝10°，
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分28分）
9．解：直角三角形的两个锐角的平分线所交成的锐角是×90°＝45°，
则直角三角形的两个锐角的平分线所交成的钝角是180°﹣45°＝135°．
故答案为：45°或135°．
10．解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于P，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×120°＝60°，
在△PBC中，∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
11．解：由反射角等于入射角，可得：∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∵∠AOB＝110°，∠AOB+∠3+∠4＝180°，
∴∠3+∠4＝70°，
∴∠3＝35°，
∴∠1＝35°．
故答案为：35°．
12．解：如图，
∵∠BOC＝120°，
∴∠1+∠4＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
而∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝2×60°＝120°，
∴∠A＝180°﹣（∠1+∠2+∠3+∠4）＝180°﹣120°＝60°．
故答案为60°．
13．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝90°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°．
故答案是：270°．
14．解：如图，∠BAC＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1，
∠ABC＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣∠3，
∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝150°﹣∠3，
∵∠3＝55°，
∴∠1+∠2＝150°﹣55°＝95°．
故答案为：95°．
15．解：∵在△ABC中，∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×100°＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
三．解答题（共7小题，满分60分）
16．解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°．
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝50°．
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣50＝10°；
（2）∠C﹣∠B＝2∠DAE．
17．解：在△ABC中，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝35°．
又∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵在△ABD中∠BAD＝90°﹣∠B＝25°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．
18．解：∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）∵∠A＝60°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝120°，
∴∠1+∠4＝60°，
∴∠O＝180°﹣60°＝120°．
（2）若∠A＝100°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝80°，
∴∠1+∠4＝40°，
∴∠O＝140°．
若∠A＝120°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝60°，
∴∠1+∠4＝30°，
∴∠O＝150°．
（3）规律是∠O＝90°+0.5∠A，当∠A的度数发生变化后，结论仍成立．
19．解：∵EP⊥EF，
∴∠PEM＝90°，∠PEF＝90°．
∵∠BEP＝40°，
∴∠BEM＝∠PEM﹣∠BEP＝90°﹣40°＝50°．
∵AB∥CD，
∴∠BEM＝∠EFD＝50°．
∵FP平分∠EFD，
∴∠EFP＝∠EFD＝25°，
∴∠P＝90°﹣25°＝65°．
20．解：（1）在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D，
在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵∠AOD＝∠BOC（对顶角相等），
∴180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）交点有点M、O、N，
以M为交点有1个，为△AMD与△CMP，
以O为交点有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△CON与△AOD，
以N为交点有1个，为△ANP与△CNB，
所以，“8字形”图形共有6个；
（3）∵∠D＝40°，∠B＝36°，
∴∠OAD+40°＝∠OCB+36°，
∴∠OCB﹣∠OAD＝4°，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠DAM＝∠OAD，∠PCM＝∠OCB，
又∵∠DAM+∠D＝∠PCM+∠P，
∴∠P＝∠DAM+∠D﹣∠PCM＝（∠OAD﹣∠OCB）+∠D＝×（﹣4°）+40°＝38°；
（4）根据“8字形”数量关系，∠OAD+∠D＝∠OCB+∠B，∠DAM+∠D＝∠PCM+∠P，
所以，∠OCB﹣∠OAD＝∠D﹣∠B，∠PCM﹣∠DAM＝∠D﹣∠P，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠DAM＝∠OAD，∠PCM＝∠OCB，
∴（∠D﹣∠B）＝∠D﹣∠P，
整理得，2∠P＝∠B+∠D．
21．解：（1）若∠BOD＝35°，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝90°+90°﹣35°＝145°，
若∠AOC＝135°，
则∠BOD＝∠AOB+∠COD﹣∠AOC＝90°+90°﹣135°＝45°；
（2）如图2，若∠AOC＝150°，
则∠BOD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD
＝360°﹣150°﹣90°﹣90°
＝30°；
（3）∠AOC与∠BOD互补．
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD＝180°，
即∠AOC与∠BOD互补．
（4）OD⊥AB时，∠AOD＝30°，
CD⊥OB时，∠AOD＝45°，
CD⊥AB时，∠AOD＝75°，
OC⊥AB时，∠AOD＝60°，
即∠AOD角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°．
22．解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠B+∠C+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠B+∠C，
故答案为∠A+∠D＝∠B+∠C．
（2）由（1）得，∠1+∠D＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠B，
∴∠1﹣∠3＝∠P﹣∠D，∠2﹣∠4＝∠B﹣∠P，
又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠P﹣∠D＝∠B﹣∠P，
即2∠P＝∠B+∠D，
∴∠P＝（50°+40°）÷2＝45°．
（3）由（2）可知：2∠P＝∠B+∠D．