2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册5.4.3正切函数的性质与图象教案

2021级高一年级数学学科教学设计 学案类型： 新 课 编稿教师：
§5.4.3 正切函数的性质与图象
【教学目标】
1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.
2.能利用正切函数的图象与性质解决相关问题.
【教学重、难点】
重点：掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性；
难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题.
【教学过程】
一、导问：创设情境，引入主题
（一）知识回顾
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
单 调 性 增区间
减区间
（二）提出问题
（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？
（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？
有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象．
二、深问：步步设疑，激发思考
周期性、奇偶性
根据诱导公式，得出正切函数的周期性和奇偶性
y＝tan x
周期性
奇偶性
问题1：你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？
提示：可以先考察函数, ∈[0, 的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．如何画出函数, ∈[0, 的图象的图象？
2.函数图象
问题2：如何画出函数y＝tan x，x∈[0，）的图象.
问题3：如何利用y＝tan x，x∈[0，）的图象和正切函数的性质，画出正切函数在整个定义域的图象？正切函数的图象有怎样的特征？
3.单调性
观察正切曲线可知，正切函数在区间(-, 上单调递增.由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间 (-+k, +k),k∈Z,上都 ．
4.值域
当∈(-, 时，在（－∞，＋∞）内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是 ．
三、解问：合作探究，共解问题
1.正切函数的奇偶性与周期性
例1 (1)求函数的最小正周期
(2)函数f(x)＝sin x＋tan x的奇偶性为(　　)
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【归纳】与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
1.一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
2.判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
2.正切函数的单调性及其应用
例2 比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)：
①tan ________tan ； ②tan ________.
【归纳】
1.运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小关系．
2.求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
3.正切函数图象与性质的综合应用
例3　(1)求函数的定义域、周期、单调区间及对称中心.
(2)设求不等式的解集.
【归纳】解答正切函数图象与性质问题的注意点
1.对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
2.单调性：正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增．
四、新问：点拨归纳，提升思维
你学到了什么？