5.6函数第二课时
【学习目标】
1.理解参数 的变化对函数 图象的影响，及函数图象的变换过程.
2.会用“五点法”画函数 的简图.
3.能根据函数 的部分图象，确定其解析式，掌握函数性质，并能熟练运用.
【学习重点】
用函数模型来刻画一般的圆周运动；
理解参数 的变化对函数 图象的影响，及函数图象的变换过程.
【学习难点】
函数 图象变换过程与其解析式变换之间的内在联系.
【学习过程】
◇导问：创设情境，引入主题
【引入】通常情况下,同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y=Asin(ωx+φ)+b,|φ|<π的图象.2020年3月上旬某地区连续几天最高温度都出现在14时,最高温度为14 ℃;最低温度出现在凌晨2时,最低温度为零下2 ℃.
【问题1】怎样求A,b,ω的值
【答案】由题意知解得易知=14-2,所以T=24,所以ω=.
【问题2】怎样求φ的值
【答案】易知8sin+6=-2,即sin=-1,故×2+φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,则φ=-.
【问题3】某日上午9时某高中将举行摸底考试,如果温度低于10 ℃,教室就要开空调,请问届时学校后勤应该开空调吗
【答案】温度函数为y=8sin+6(x∈[0,24)).当x=9时,y=8sin+6=8sin+6<8sin+6=10.所以届时学校后勤应该开空调.
◇深问：步步设疑，激发思考
任务1:“五点法”作函数的图象
下图为用“五点法”所作的函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象.
【问题4】用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象中的第一个点有什么特征
【答案】用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象中的第一个点是函数图象与x轴的交点,且是图象上升时与x轴的交点.
【问题5】用“五点法”作图,完成下面的表格.
ωx+φ 0 π 2π
x
y
【答案】
【知识解析】1.用“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点,两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
2.用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤
第一步:列表；第二步:在同一坐标系中描出各点；第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象.
特别提醒:(1)将ωx+φ看作一个整体是求x的关键；(2)所取的五个点分别为函数的两个最值点以及曲线与x轴的交点；(3)作图时要注意题目所给的范围.
例1 作出函数y=3sin在[0,4π]上的图象.
【答案】因为0≤x≤4π,所以-≤x-≤.因为要作出函数在[0,4π]上的图象,所以列表如下:
- 0 π
x 0 4π
3sin - 0 3 0 -3 -
任务2:根据部分图象求函数的解析式
下图为函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的一部分,根据图象探究下面的问题.
【问题6】根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如何求A
【答案】 根据图象的最高点(或最低点)确定A.因为最大值与最小值互为相反数,所以A=2.
【问题7】根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如何确定ω
【答案】 因为T=,所以常通过周期来确定ω,×=-,所以ω=2.
【问题8】根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如何确定φ
【答案】 最大值对应的x值为,所以2×+φ=2kπ+,k∈Z,所以φ=2kπ+,k∈Z.
【知识解析】已知函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0).
(1)设函数的最大值为m,最小值为n,则A+k=m,-A+k=n,从而A=,k=.
(2)通过图象与x轴的交点确定T,与x轴的交点中相邻的两点间距离为半个周期,或根据相邻的最高点与最低点之间的距离为半个周期确定T.
(3)确定φ值时,把图象上的一个已知点代入(此时,A,ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
例2 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变),再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍(横坐标不变),最后向下平移2个单位长度,得到y=g(x)图象,求函数y=g(x)的解析式及在R上的对称中心的坐标.
【答案】(1)由图象知A=2,T=-=,解得T=π,故ω==2,故f(x)=2sin(2x+φ),将点代入解析式,得sin=0,故φ=kπ+(k∈Z),而<,故φ=-,故f(x)=2sin.
(2)将y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩小到原来的,所得图象的解析式为y=2sin,再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍(横坐标不变),所得图象的解析式为y=4sin,最后向下平移2个单位长度,得到y=g(x)的图象,则y=g(x)=4sin-2.由4x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z.故g(x)在R上的对称中心的坐标为,k∈Z.
练习已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f=-,则f(0)=（）.
【答案】(法一)由图可知=-=,∴T=,∴ω=3,∴f(x)=Acos(3x+φ).又是图象上的点,∴+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ-,k∈Z.∵f=-,∴Acos=-,即Acos=-,∴f(0)=Acos=-Acos=-Acos=-Acos=.
(法二)由图可知=-=,∴T=,∴f(0)=f,注意到=,即和关于对称,于是f(0)=f=-f=.
任务3:函数y=Asin(ωx+φ)的性质
观察函数y=2sin的图象,探究下面的问题.
【问题9】函数y=2sin图象的对称中心和对称轴怎样表示
【答案】图象与x轴的交点,k∈Z为对称中心;过图象最高点或最低点且与x轴垂直的直线为对称轴,即x=kπ+,k∈Z.
【问题10】研究函数y=2sin的性质主要的思想方法是什么
【答案】整体代换的思想方法,把2x+看成一个整体,把函数y=2sin的性质问题转化为y=sin x的性质问题.
【知识解析】1.函数y=Asin(ωx+φ)的图象与周期
(1)函数图象在对称轴处取得最大值或最小值,相邻的最大值和最小值间的距离为半个周期.
(2)函数图象与x轴的交点为对称中心,相邻的两对称中心的距离为半个周期.
(3)函数图象的最值点与相邻的x轴的交点间的距离是个周期.
2.三角函数对称轴、对称中心的求法
对称轴 对称中心
y=Asin(ωx+φ) 令ωx+φ=kπ+(k∈Z),求对称轴 令ωx+φ=kπ(k∈Z),求对称中心的横坐标
y=Acos(ωx+φ) 令ωx+φ=kπ(k∈Z),求对称轴 令ωx+φ=kπ+(k∈Z),求对称中心的横坐标
y=Atan(ωx+φ) 无 令ωx+φ=(k∈Z),求对称中心的横坐标
3.函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)的单调性:在研究y=Asin(ωx+φ)的单调性时,一定要注意A,ω的正负对单调性的影响.当已知函数在某个区间上单调递增时,这个区间必须是函数单调递增区间的子区间.
例3已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f=g,且f(x),g(x)的图象不重合,则( ).
A.g(x)的图象关于点对称 B.g(x)的图象关于直线x=-对称
C.g(x)在上是增函数 D.x=是g(x)的极小值点
【答案】B
◇解问：合作探究，共解问题
任务4: 数学建模——三角函数在实际问题中的应用
例4如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间
【答案】建立如图所示的平面直角坐标系,设函数解析式为z=Asin(ωt+φ)+B.
(1)依题意可知,z的最大值为6,最小为-2,∴解得
∵OP每秒钟内所转过的角度为=,∴z=4sin+2,
当t=0时,z=0,得sin φ=-,即φ=-,故所求的函数关系式为z=4sin+2.
(2)令z=4sin+2=6,得sin=1,取t-=,得t=4.故点P第一次到达最高点大约需要4 s.
◇新问：点拨归纳，提升思维
【达标检测】
1.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图所示,那么ω=( B ).
A.1 B.2 C. D.
【答案】∵2T=2π,∴T=π,又T=,∴=π,∴ω=2.
2.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( A ).
A.关于直线x=对称 B.关于点对称
C.关于直线x=对称 D.关于点对称
【答案】∵ω>0,T==π,∴ω=2,∴f(x)=sin,∴其对称中心为,k∈Z,故B,D错误.由2x+=+kπ,k∈Z得x=+,k∈Z.当k=0时,直线x=就是函数f(x)的一条对称轴,故A正确,C错误.故选A.
3.用“五点法”画函数y=2sin(ω>0)在一个周期内的简图时,五个关键点分别是,
和,,则ω=( 2 ).
【答案】∵周期T=-=π,∴=π,∴ω=2.
4.已知函数f(x)=2sin+1(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.
【答案】(1)因为f(x)为偶函数,所以φ-=kπ+(k∈Z),所以φ=kπ+(k∈Z).
又0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=2sin+1=2cos ωx+1.又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为,所以T==2×,所以ω=2,所以f(x)=2cos 2x+1,所以f=2cos+1=+1.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数f的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到f的图象,所以g(x)=f=2cos+1=2cos+1.当2kπ≤-≤2kπ+π(k∈Z),即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减.所以函数g(x)的单调递减区间是(k∈Z).
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【学习目标】
1.会用“五点法”画函数 的简图.
2.能根据函数 的部分图象，确定其解析式，掌握函数性质，并能熟练运用.
【学习重点】
用函数模型来刻画一般的圆周运动；
理解参数 的变化对函数 图象的影响，及函数图象的变换过程.
【学习难点】
函数 图象变换过程与其解析式变换之间的内在联系.
【学习过程】
◇导问：创设情境，引入主题
【引入】通常情况下,同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y=Asin(ωx+φ)+b,|φ|<π的图象.2020年3月上旬某地区连续几天最高温度都出现在14时,最高温度为14 ℃;最低温度出现在凌晨2时,最低温度为零下2 ℃.
【问题1】怎样求A,b,ω的值
【问题2】怎样求φ的值
【问题3】某日某高中将举行考试,如果温度低于10 ℃,教室就要开空调,请问届时学校后勤应该开空调吗
◇深问：步步设疑，激发思考
任务1:“五点法”作函数的图象
下图为用“五点法”所作的函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象.
【问题4】用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象中的第一个点有什么特征
【问题5】用“五点法”作图,完成下面的表格.
ωx+φ 0 π 2π
x
y
【知识解析】1.用“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点,两个最值点画出函数在一个周期内的图象. 2.用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤
第一步:列表；第二步:在同一坐标系中描出各点；第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象.
特别提醒:(1)将ωx+φ看作一个整体是求x的关键；(2)所取的五个点分别为函数的两个最值点以及曲线与x轴的交点；(3)作图时要注意题目所给的范围.
例1 作出函数y=3sin在[0,4π]上的图象.
【方法总结】“五点法”作图的实质与关键
(1)用“五点法”作函数的图象,实质是利用函数的三个零点,两个最值点,画出该函数在一个周期内的图象.
(2)用“五点法”作函数的图象,关键是列表,特别是对于给定区间作图问题,首先要确定该区间端点处的函数值,再确定两个端点之间的最值点、零点.
任务2:根据部分图象求函数的解析式
下图为函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的一部分,根据图象探究下面的问题.
【问题6】根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如何求A
【问题7】根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如何确定ω
【问题8】根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如何确定φ
【知识解析】已知函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0).
(1)设函数的最大值为m,最小值为n,则A+k=m,-A+k=n,从而A=,k=.
(2)通过图象与x轴的交点确定T,与x轴的交点中相邻的两点间距离为半个周期,或根据相邻的最高点与最低点之间的距离为半个周期确定T.
(3)确定φ值时,把图象上的一个已知点代入(此时,A,ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
例2 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变),再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍(横坐标不变),最后向下平移2个单位长度,得到y=g(x)图象,求函数y=g(x)的解析式及在R上的对称中心的坐标.
练习已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f=-,则f(0)=_______.
任务3:函数y=Asin(ωx+φ)的性质
观察函数y=2sin的图象,探究下面的问题.
【问题9】函数y=2sin图象的对称中心和对称轴怎样表示
【问题10】研究函数y=2sin的性质主要的思想方法是什么
【知识解析】1.函数y=Asin(ωx+φ)的图象与周期
(1)函数图象在对称轴处取得最大值或最小值,相邻的最大值和最小值间的距离为半个周期.
(2)函数图象与x轴的交点为对称中心,相邻的两对称中心的距离为半个周期.
(3)函数图象的最值点与相邻的x轴的交点间的距离是个周期.
2.三角函数对称轴、对称中心的求法
对称轴 对称中心
y=Asin(ωx+φ) 令ωx+φ=kπ+(k∈Z),求对称轴 令ωx+φ=kπ(k∈Z),求对称中心的横坐标
y=Acos(ωx+φ) 令ωx+φ=kπ(k∈Z),求对称轴 令ωx+φ=kπ+(k∈Z),求对称中心的横坐标
y=Atan(ωx+φ) 无 令ωx+φ=(k∈Z),求对称中心的横坐标
3.函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)的单调性:在研究y=Asin(ωx+φ)的单调性时,一定要注意A,ω的正负对单调性的影响.当已知函数在某个区间上单调递增时,这个区间必须是函数单调递增区间的子区间.
例3已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f=g,且f(x),g(x)的图象不重合,则( ).
A.g(x)的图象关于点对称 B.g(x)的图象关于直线x=-对称
C.g(x)在上是增函数 D.x=是g(x)的极小值点
◇解问：合作探究，共解问题
任务4: 数学建模——三角函数在实际问题中的应用
例4如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间
◇新问：点拨归纳，提升思维
【达标检测】
1.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图所示,那么ω=( ).
A.1 B.2 C. D.
2.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( ).
A.关于直线x=对称 B.关于点对称 C.关于直线x=对称 D.关于点对称
3.用“五点法”画函数y=2sin(ω>0)在一个周期内的简图时,五个关键点分别是,
和,,则ω=( ).
4.已知函数f(x)=2sin+1(0<φ<π,ω>0)为偶函数,函数f(x)图象两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.共4页
