第五章 习题课　与ex、ln x有关的常用不等式(共29张PPT)

(共29张PPT)
习题课　与ex、ln x有关的常用不等式
第五章　§5.3　导数在研究函数中的应用
1.熟悉常见的两类经典不等式ex≥x＋1和ln x≤x－1以及它们常见
的几种变形形式.
2.掌握一般的证明不等式的方法.
学习目标
一、经典不等式ex≥x＋1
例1　证明不等式ex≥x＋1.
证明　设f(x)＝ex－x－1，
则f′(x)＝ex－1，由f′(x)＝0，得x＝0，
所以当x<0时，f′(x)<0；
当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，
在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)≥f(0)＝0，即ex－x－1≥0，所以ex≥x＋1.
反思感悟　与ex有关的常用不等式
(1)ex≥1＋x(x∈R).
(2)ex≥ex(x∈R).
跟踪训练1　求证：ex－1≥x.
证明　方法一　令H(x)＝ex－1－x，则H′(x)＝ex－1－1.
若x<1，则H′(x)<0，H(x)在(－∞，1)上单调递减；
若x>1，则H′(x)>0，H(x)在(1，＋∞)上单调递增.
∴H(x)min＝H(1)＝0，∴H(x)≥0，
∴ex－1≥x.
方法二　令t＝x－1，则x＝t＋1.由et≥t＋1，得ex－1≥x.
二、经典不等式ln x≤x－1
例2　证明不等式ln x≤x－1.
证明　由题意知x>0，令f(x)＝x－1－ln x，
所以当f′(x)>0时，x>1；
当f′(x)<0时，0在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)有最小值f(1)＝0，
故有f(x)＝x－1－ln x≥f(1)＝0，即ln x≤x－1成立.
延伸探究　
1.证明不等式ln(x＋1)≤x.
证明　由题意知x>－1，令f(x)＝ln(x＋1)－x，
所以当f′(x)>0时，－1当f′(x)<0时，x>0，故f(x)在(－1,0)上单调递增，
在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)有最大值f(0)＝0，
故有f(x)＝ln(x＋1)－x≤f(0)＝0，即ln(x＋1)≤x成立.
即当x>0时，函数g(x)单调递增.
即g(x)>g(0)＝0.
方法二　∵ln x≤x－1，且当x＝1时等号成立.
跟踪训练2　设函数f(x)＝ln x－x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当00，f(x)单调递增；
当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减.
证明　由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.
所以当x≠1时，ln x三、与ex和ln x有关的不等式
例3　已知函数f(x)＝aex－ln x－1.
(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；
当0＜x＜2时，f′(x)＜0；
当x＞2时，f′(x)＞0.
所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2).
当0＜x＜1时，g′(x)＜0；
当x＞1时，g′(x)＞0.
所以x＝1是g(x)的最小值点.
故当x＞0时，g(x)≥g(1)＝0.
反思感悟　与ex和ln x(x>0)有关的不等式之间的关系
ex>x＋1>x>x－1>ln x，常用该不等式通过放缩证明一些问题.
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－aln x(a∈R).
(1)求函数y＝f(x)的单调区间；
当a≤0时，f′(x)>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，
∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
(2)当a＝1时，证明：对任意的x >0，f(x)＋ex>x2＋x＋2.
证明　当a＝1时，f(x)＝x2＋x－ln x，要证明f(x)＋ex>x2＋x＋2，
只需证明ex－ln x－2 >0，先证明当x>0时，ex>x＋1，
令g(x)＝ex－x－1(x>0)，则g′(x)＝ex－1，当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
∴当x>0时，g(x)>g(0)＝0即ex>x＋1，
∴ex－ln x－2>x＋1－ln x－2＝x－ln x－1.
∴只要证明x－ln x－1≥0(x>0)，令h(x)＝x－ln x－1(x>0)，
∴h(x)≥h(1)＝0即x－ln x－1≥0成立，
∴f(x)＋ex>x2＋x＋2成立.
1.知识清单：
(1)常见的几种经典不等式.
(2)一般不等式的证明方法.
2.方法归纳：构造法、转化法、分类讨论.
3.常见误区：在证明不等式的转化过程中是否做到了等价转化.
课堂小结
随堂演练
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所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
即有f(6)√
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2.已知函数f(x)＝ax－ex，当1≤a≤1＋e时，则有
A.f(x)≤x B.f(x)≥x C.f(x)x
√
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4
解析　令g(x)＝x－f(x)，则g(x)＝ex－(a－1)x.
若a＝1，则g(x)＝ex>0，∴f(x)≤x成立.
若1∵当xln(a－1)时，g′(x)>0.
∴g(x)在(－∞，ln(a－1))上单调递减；在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增.
∴g(x)≥g(ln(a－1))＝eln(a－1)－(a－1)ln(a－1)＝(a－1)[1－ln(a－1)].
又10，ln(a－1)≤ln e＝1，
∴(a－1)[1－ln(a－1)]≥0.
∴g(x)≥0，即f(x)≤x恒成立.
综上，当1≤a≤1＋e时，f(x)≤x.
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3.已知a>b>0，ab＝ba，有如下四个结论：(1)be；(3)存在a，b满足a·be2，则正确结论的序号是
A.(1)(3) B.(2)(3) C.(1)(4) D.(2)(4)
√
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故(1)正确，(2)错误；
另外，由ab＝ba，令a＝4，b＝2，
则a>e，be2，故(4)正确，
(3)错误.
因此，选C.
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4.试判断sin x与x在[0，π]上的大小_________.(用>或≥表示)
解析　令f(x)＝x－sin x，因为f′(x)＝1－cos x≥0恒成立，
故f(x)在[0，π]上单调递增，f(x)≥f(x)min＝f(0)＝0，
即x－sin x≥0，
所以x≥sin x在[0，π]上恒成立.
x≥sin x