2021－2022学年高二上学期期末数学- 专题复习圆锥曲线讲义-

2021－2022高二（上）期末复习
《圆锥曲线》
【知识归纳】
1、椭圆
（1）定义：_______________________________
（2）标准方程：__________________（焦点在x轴上）；__________________（焦点在y轴上）；
（3）几何性质：
①长轴：________________；短轴_________________；焦距________________；
②离心率：__________________；
③通径：__________________；
④焦点三角形的面积：___________________；
⑤焦点与短轴端点之间的距离是_______；
两焦点与椭圆上一点P形成的角当P在______时最大；
椭圆上一点到焦点的最大距离为_______，最小距离为________；
2、双曲线
（1）定义：_______________________________
（2）标准方程：__________________（焦点在x轴上）；__________________（焦点在y轴上）；
（3）几何性质：
①实轴：__________；虚轴：_____________；焦距：_________________；
②离心率：_________________；
③通径：_________________；
④焦点三角形的面积：___________________；
⑤渐近线方程：____________________；
⑥焦点到渐近线的距离是__________；
当_______________时双曲线为等轴双曲线，等轴双曲线的离心率是________；
当________________________时双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，共轭双曲线的四个焦点________。
3、抛物线
（1）定义：_______________________________
（2）标准方程：__________________（焦点在x轴正半轴上）；__________________（焦点在y轴正半轴上）；
　　　　　　　
　　　　　　　__________________（焦点在x轴负半轴上）；__________________（焦点在y轴负半轴上）；
（3）几何性质：
①一次项系数决定图像开口方向；
②焦半径：；；
③通径：经过焦点并与对称轴垂直的弦长
④以弦长AB为直径的圆与y轴相切
⑤
【典例】
椭圆综合题
1．（2020秋 汕头期末）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）其左、右焦点分别为F1、F2，且离心率为，点B为椭圆的一个顶点，三角形BF1F2的面积为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A为椭圆的左顶点，点P在椭圆C上，线段AP的垂直平分线与y轴相交于点Q，若△PAQ为等边三角形，求点P的横坐标．
2．（2021春 湖北期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别为C的上顶点与右顶点，△AF1F2的周长为6，且．
（1）求C的标准方程；
（2）若直线l：y＝k（x﹣4）（k≠0）与C交于M，N两点，记点M关于x轴的对称点为Q，求证：直线NQ过定点．
双曲线综合题
3．（2021春 安徽期末）双曲线C：＝1（a，b＞0）左、右焦点分别为F1，F2，实轴长2，点P为双曲线C右支上一点，且的最小值为﹣1．
（1）求双曲线C的标准方程：
（2）过点Q（2，0）作直线l与双曲线C右支交于A，B两点，若，求直线l的方程．
4．（2021 湛江一模）已知双曲线C：＝1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0，M（c，3）在C上，且C的离心率为2．
（1）求C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，∠F1MF2的角平分线l与曲线D：＝1的交点为P，Q，试判断OP与OQ是否垂直，并说明理由．
抛物线综合题
5．（2021春 沙坪坝区校级期末）已知抛物线C：y2＝4x的顶点和焦点分别为O，F，过F作直线l交C于A，B两点．
（1）求证：以AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切；
（2）设（1）中的切点为M，直线OM交C的另一点为N．若|MN|＝|AB|，求直线AB的方程．
6．（2021春 资阳期末）抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线l与抛物线E的第一象限交于点A，且△AOF（O为坐标原点）的面积为1．
（1）求E的方程；
（2）设C，D为抛物线E上异于点A的两个动点，且直线AC，AD的斜率互为相反数，求证：直线CD的斜率为定值，并求出该定值．
求轨迹方程
7．（2018秋 浙江月考）已知点，点M在y轴上，点N在x轴上，且，NM⊥MF．当点M在y轴上运动时，点P的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）过曲线C上一点E，作圆Q：（x﹣5）2+y2＝1的切线，交曲线C于A，B两点，若直线EQ垂直于直线AB，求△EFQ的面积．
【当堂达标】
1．（2021春 延庆区期末）已知椭圆C：经过点（0，2），且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝kx+m与椭圆C相切于点M，与直线x＝x0相交于点N．已知点P（﹣2，0），且PM⊥PN，求此时x0的值．
2．（2021春 昌江区校级期末）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率，其焦点F1到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程．
（2）若过点M（0，3）的直线l交双曲线于A，B两点，且以AB为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程．
3．（2021春 渝中区校级期末）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若过抛物线C的焦点的直线l交抛物线于A，B两点，且|AB|＝10，求直线l的方程．
4．（2021春 五华区期末）已知点C在圆（x+1）2+y2＝16上，A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），线段BC的垂直平分线交线段AC于点M
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）设圆x2+y2＝r2与点M的轨迹E交于不同的四个点D，E，F，G，求四边形DEFG的面积的最大值及相应的四个点的坐标．
【课后巩固】
1．（2021春 昌江区校级期末）如图，椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，|AF|的最大值为M，|BF|的最小值是m，满足．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴交于D点，求的值．
2．（2021春 山东期末）已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线所成的锐角为60°且点（2，3）是E上一点．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）若过点P（1，1）的直线l与E交于A，B两点，点P能否为线段AB的中点？并说明理由．
3．（2021春 内江期末）已知抛物线C：y2＝4x，坐标原点为O，焦点为F，直线l：y＝kx+1．
（1）若l与C相切，求k的值；
（2）过点F作斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，求△OAB的面积．
4．（2020秋 泰州期末）已知点P（x，y）到定点F（0，）的距离与它到定直线l：y＝的距离的比是常数，点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设点Q（m，0）（m＞1），若|PQ|的最大值为，求实数m的值．
[参考答案]
【典例】
椭圆综合题
1．【解答】（1）由题意有：解得：，所以椭圆C的方程为：．
（2）设P（x0，y0），直线AP的方程为y＝k（x+2），
当k＝0时，点P为右顶点，则点Q为上（或下）顶点，|AP|＝4，，△PAQ不是等边三角形，不合题意，所以k≠0．联立方程，消元得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4＝0，
所以Δ＝16＞0，所以，
设线段PA中点为M，所以，，
所以，因为AP⊥MQ，所以，
所以直线MQ的方程为，
令x＝0，得到，因为△PAQ为正三角形，所以|AP|＝|AQ|，
所以，化简，得到4k4+k2﹣3＝0，解得，k2＝﹣1（舍），
所以，故点P的横坐标为．
2．【解答】（1）根据题意有，解得，∴椭圆C的标准方程为．
（2）证明：由，可得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则Q（x1，﹣y1），
∴，，
∵直线NQ的方程为，
即，
∵＝＝，
∴直线NQ的方程为，
∴直线NQ过定点（1，0）．
双曲线综合题
3．【解答】（1）由题意可得，，则，
＝＝，
∵的最小值为﹣1，∴3﹣c2＝﹣1，即c2＝4，
∴b2＝c2﹣a2＝4﹣3＝1，∴双曲线C标准方程为．
（2）设直线l的方程为x﹣2＝my，A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1＝﹣2y2①，
联立直线与双曲线方程，化简整理，可得（m2﹣3）y2+4my+1＝0，
由韦达定理，可得②，③，
由①②③得，此时检验得Δ＞0，
∴直线l方程为．
4．【解答】（1）由题意可得e＝＝2，即c＝2a，b＝＝a，
又M（c，3）在C上，可得﹣＝1，解得b＝，a＝1，则双曲线的方程为x2﹣＝1；
（2）由（1）可得M（2，3），曲线D的方程为+＝1，
在直角三角形MF1F2中，MF2⊥F1F2，|MF2|＝3，|F1F2|＝4，|MF1|＝5，
设∠F1MF2的角平分线l与x轴交于N，
由角平分线的性质定理可得＝＝，
又|NF1|+|NF2|＝|F1F2|＝4，解得|NF2|＝，
所以tan∠MNF2＝＝2，
可得直线l的方程为y﹣3＝2（x﹣2），即y＝2x﹣1，
联立，可得19x2﹣16x﹣8＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得Δ＝162﹣4×19×（﹣8）＞0，
x1+x2＝，x1x2＝﹣，
y1y2＝（2x1﹣1）（2x2﹣1）＝4x1x2﹣2（x1+x2）+1＝﹣﹣+1＝﹣，
所以x1x2+y1y2＝﹣﹣＝﹣≠0，
所以OP与OQ不垂直．
抛物线综合题
5．【解答】（1）证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则圆心坐标为，
又|AB|＝x1+1+x2+1＝x1+x2+2，
所以半径，
则圆心到直线x＝﹣1的距离，
故d＝r，
则以AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切；
（2）解：由题意可得，，F（1，0），设直线AB：x＝ty+1，
联立方程组，可得y2﹣4ty﹣4＝0，所以y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，
故M（﹣1，2t），所以，故直线OM为y＝﹣2tx，
联立方程组，可得t2x2﹣x＝0，故，
所以＝，
＝，
因为，所以，故＝16（1+t2）2，
整理可得9t4﹣16t2﹣4＝0，解得t2＝2，则，
所以直线AB的方程为或．
6．【解答】（1）由题意可知，直线l：，则，
所以△AOF的面积，解得p＝2，所以E的方程为y2＝4x；
（2）证明：由题意可知，A（1，2），
因为直线CD斜率存在，则设直线CD的斜率为k，由题意可知k≠0，
设直线CD方程为y＝kx+b，与抛物线方程联立可得k2x2+（2bk﹣4）x+b2＝0，
则，①，则，，
因为直线AC，AD的斜率互为相反数，
所以，
则2kxCxD+（b﹣2﹣k）（xC+xD）﹣2（b﹣2）＝0②，
联立①②，得k2+（b﹣1）k+b﹣2＝0，
所以k＝﹣1或k＝2﹣b，
若k＝2﹣b，则CD的方程为y＝kx+2﹣k＝k（x﹣1）+2，恒过点A（1，2），不合题意；
所以k＝﹣1，
故直线CD的斜率为定值﹣1．
求轨迹方程
7．【解答】（1）设P的坐标为（x，y），由，可得M为NP的中点，
由题意可得：M（0，），N（﹣x，0），
因为NM⊥MF，所以＝0，即（x，） （，﹣）＝0，整理可得x＝，
即曲线C的轨迹方程为：y2＝x（x＞0）；
（2）由题意可得直线EQ的斜率不为0，
当EQ的斜率不存在时由抛物线的性质可得EQ不与AB垂直，故不合题意，
当直线的斜率存在设记E（y02，y0），A（，y1），B（y22，y2），Q（5，0），
则kEA＝＝，
所以直线EA的方程为：y﹣y1＝（x﹣y2）即（y1+y0）y﹣x﹣y1y0＝0，
由直线EA与圆Q相切可得：1＝，整理可得：（1﹣y02）y12﹣8y0y1+y02﹣24＝0，
同理可得：（1﹣y02）y2﹣8y0y2+y02﹣24＝0，
所以y1，y2是方程（1﹣y02）y2﹣8y0y+y02﹣24＝0的两根，所以y1+y2＝，
所以直线AB的斜率kAB＝＝，
由kEQ＝，由EQ⊥AB可得：kAB kCD＝﹣1，即y02＝，
所以S△EFQ＝（5﹣）＝．
【当堂达标】
1．【解答】（1）由已知得，，解得，椭圆E的方程为．
（2）设N（x0，0），设直线方程为y＝kx+m，代入得x2+2（kx+m）2＝8，
化简得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，由Δ＝（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣8）＝0，
得8k2+4﹣m2＝0，m2＝8k2+4，方程的解为，y＝kx+m＝k +m＝，则，
设N（x0，y0），则y0＝kx0+m，则N（x0，kx0+m），
所以在x轴存在P（﹣2，0）使MP⊥MQ．，
，
，﹣4kx0﹣16k+2x0m+8m＝0，
，所以x0＝﹣4．
2．【解答】（1）双曲线C：（a＞0，b＞0）的焦点F1（0，﹣c），渐近线方程为，即ax±by＝0，因为焦点F1到渐近线的距离为，所以，解得b＝，
又因为离心率，即，因为c2＝a2+b2，故a2＝2，c2＝5，
所以双曲线的方程为；
（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx+3，设A（x1，y1），B（x2．y2），
联立方程组，可得（3k2﹣2）x2+18kx+21＝0，
则3k2﹣1≠0，即，
又Δ＝（18k）2﹣4×21×（3k2﹣2）＝72k2+168＞0，
且，
故y1y2＝（kx1+3）（kx2+3）＝k2x1x2+3k（x1+x2）+9＝＝，
以AB为直角的圆过坐标原点，
则OA⊥OB，故，所以，
解得，故直线l的方程为．
3．【解答】（1）∵的焦点为（0，±2），
∴C：x2＝2py（p＞0）的焦点为，
∴抛物线C的标准方程为x2＝8y．
（2）设过焦点为（0，2）的直线方程为y＝kx+2，代入x2＝8y得：x2﹣8kx﹣16＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则|AB|＝y1+y2+4＝10 y1+y2＝k（x1+x2）+4＝6，
即，
∴直线l为：．
4．【解答】（1）由已知得：|MA|+|MB|＝|AC|＝4，而|AB|＝2＜4，
所以点M的轨迹是以A，B为焦点，长轴长2a＝4的椭圆，
设M（x，y），所以点M的轨迹E的方程：．
（2）由对称性可知，四边形DEFG为矩形，不妨设D（x1，y1）为椭圆E上第一象限的点，
则S矩形DEFG＝4x1y1，
而x1＞0，y1＞0，且，
所以，
当且仅当，即，时，取“＝”，
所以矩形DEFG的面积的最大值为，此时，
四个点的坐标为：，，，．
【课后巩固】
1．【解答】（1）设F（﹣c，0）（c＞0），根据椭圆的性质，得M＝a+c，m＝a﹣c，所以M m＝a2，
所以a2﹣c2＝a2，即a2＝4c2，所以a＝2c，所以椭圆的离心率为e＝＝．
（2）由（1）知b＝＝c，根据题意，可得直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为y＝k（x+c），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（4k2+3）x2+8ck2x+4k2c2﹣12c2＝0，
所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，y1+y2＝k（x1+x2+2c）＝，
所以G（﹣，），因为DG⊥AB，所以 k＝﹣1，解得xD＝﹣，
所以|AB|＝|x1﹣x2|＝
＝＝
＝＝，
所以|DF|＝＝＝，
所以＝＝4．所以的值为4．
2．【解答】（1）由题意知，双曲线的渐近线的倾斜角为30°或60°，即或．
当时，E的标准方程为，代入（2，3），无解．
当时，E的标准方程为，代入（2，3），解得a2＝1．故E的标准方程为．
（2）P不能是线段AB的中点，设交点A（x1，y1），B（x2，y2），
当直线l的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个交点，不符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x﹣1）+1，联立方程组，
整理得，
则Δ＝4k2（1﹣k）2+4（3﹣k2）[（1﹣k）2+3]＞0，由得k＝3，
将k＝3代入判别式Δ＝4k2（1﹣k）2+4（3﹣k2）[（1﹣k）2+3]＜0，
所以满足题意的直线也不存在．所以点P不能为线段AB的中点．
3．【解答】（1）联立，消去x，得ky2﹣4y+4＝0，
①当k＝0时，方程只有一个解，l与抛物线对称轴平行，不满足题意；
②当k≠0时，Δ＝（﹣4）2﹣4×4k＝0，解得k＝1．故若l与C相切，则k＝1；
（2）拋物线C：y2＝4x，其焦点为F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线方程为y＝x﹣1，联立，消去x，得y2﹣4y﹣4＝0，则y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，
∴|y1﹣y2|＝＝，
∴|OF| |y1﹣y2|＝×1×4＝2．
4．【解答】（1）根据题意可得，，化简得，∴曲线E的方程为；
（2）＝，
①当，即 m＞2 时，，解得 （舍）；
②当，即 1＜m≤2 时，，解得 ．
综上所述，实数m的值为．