山西省吕梁市吕梁学院附高2022届高三上学期期中考试数学（理）试卷（Word版含答案）

吕梁学院附高2022届高三上学期期中考试
数 学 试 题（理）
一、选择题：（本题共12 小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项正确）
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，集合，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．命题“都有”的否定是（ ）
A．不存在 B．存在
C．存在 D．对任意的
4．某社区医院为了了解社区老人与儿童每月患感冒的人数（人）与月平均气温（）之间的关系，随机统计了某4个月的患病（感冒）人数与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温 17 13 8 2
月患病（人） 24 33 40 55
由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为，据此估计该社区下个月老年人与儿童患病人数约为（ ）
A．38 B．40 C．46 D．58
5．下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应有，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
7．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象
D．在区间上为增函数
8．已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为( )
A．3 B．2 C． D．
9．如图，在河岸一侧取A，B两点，在河岸另一侧取一点C，若AB=12m，借助测角仪测得∠CAB=45°，∠CBA=60°，则C处河面宽CD为（ ）
A．6（3+）m B．6（3-）m
C．6（3+2）m D．6（3-2）m
10．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数有极大值和
B．函数有极小值和
C．函数有极小值和极大值
D．函数有极小值和极大值
11．已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BP＋PE的最小值为，则该四面体内切球的体积为（ ）
A．π B．π C．4π D．π
12．已知则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知平面向量，，若，则_______.
14．设为等比数列的前n项和，若，且成等差数列，则______.
15．已知下面四种几何体：①圆锥，②圆台，③三棱锥，④四棱锥，如图所示，某几何体的正视图与侧视图均是等腰三角形，则该几何体可能是___________（将符合条件的几何体编号都填上）.
16．将函数的图像向右平移个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，则的解析式_________，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的最小值为________．
三、解答题：（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生读必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题：共60分
17．（本题12分）下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25.
（1）求的值；
（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？
18．（本题12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19．（本题12分）已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中.
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
20．（本题12分）如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且+.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在第二象限，，求的面积.
21．（本题12分）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间与极值.
（3）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.
（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
（10分）
22．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数） ．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于两点，求两点间的距离的值．
（10分）
23．已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）若，且的最小值为，求证：.
高三年级数学（理科）参考答案
1、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D C C D A C D B D D A
二、填空题
13：【答案】
14．【答案】
15．【答案】①③④
16．【答案】
三．解答题
17．【详解】
（1）由，得，
由，得．…………5分
（2）设甲、乙两组数据的方差分别为、，
甲组数据的平均数为，
，，
因为，所以乙组的成绩更稳定．…………12分
18．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，再由已知条件结合线面垂直的判定定理可得出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出平面，，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
平面，所以.
又因为，，所以平面.
因为平面，所以平面平面；…………6分
（2）取的中点，连接、，
因为，所以.
又因为平面，平面平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以.
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
由题意得、、、、，
所以，，.
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以.
所以，，
则直线与平面所成角的正弦值为.…………12分
19．【详解】
（1）设等比数列的公比为，
由已知，
可得，
两式相减可得，
即，整理得，可知，
已知，令，得，
即，解得，
故等比数列的通项公式为；
由得：
，
那么，
以上个式子相乘，
可得，
，又满足上式，
所以的通项公式.…………6分
（2）若，
所以，
，
两式相减得：
，
所以.…………12分
20．【详解】
（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，
因为椭圆的两焦点分别为，，可得，，
所以，可得，所以，
则，
所以椭圆的标准方程为．…………6分
（2）因为点在第二象限，，
在中，由．
根据余弦定理得，
即，解得，
所以．…………12分
21．【详解】
（1）当时，，，
∴，∴，
切点为，
∴曲线在点处的切线方程为，即；…………4分
（2），
①当时，恒成立，
∴函数的递增区间为，无递减区间，无极值；
②当时，令，解得或（舍）
x，，的变化情况如下表：
x
－ 0 ＋
极小值
∴函数的递增区间为，递减区间为，.
综上：当时，函数的递增区间为，无递减区间，无极值；当时，函数的递增区间为，递减区间为，.…………8分
（3）对任意的，使恒成立，只需对任意的，.
所以由（2）的结论可知，
①当时，函数在上是增函数，
∴，∴满足题意；
②当时，，函数在上是增函数，
∴，∴满足题意；
③当时，，函数在上是减函数，在上是增函数，
∴，
∴不满足题意.
综上，a的取值范围为.…………12分
22．【详解】
（1）由参数方程可得，消去参数可得直线的普通方程为：，即；
即，
转化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；…………5分
（2）∵的极坐标为，∴点的直角坐标为．
∴，直线的倾斜角．
∴直线的参数方程为．
代入，得．
设，两点对应的参数为，，则，
∴．…………10分
23．【详解】
解：（1）当时，函数
①当时，由得，所以无解
②当时，由得，所以；
③当时，由得，所以.
综上，不等式的解集为.…………5分
（2）因为，
当时，取到最小值，
所以，即.
所以，当且仅当时等号成立.
即成立.…………10分