4.3.1等比数列(第一课时)　课件——2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

(共26张PPT)
类比等差数列的研究思路
和方法，从运算的角度出发，
你觉得还有怎样的数列是值
得研究的？
1.等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列.
符号表示： an - an-1=d(n≥2,n∈N*)或 an+1 - an=d(n∈N*)
2.等差中项的定义
数列 a，A，b成等差数列 ，其中A叫做a与b的等差中项.
3.等差数列的通项公式
an＝a1＋(n－1)d=am＋(n－m)d
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任意两个实数都有等差中项.
4.3.1等比数列的概念
1.通过生活中的实例，理解等比数列的定义，理解等比中项的概念.
2.能运用通项公式解决相应问题.
3.体会等比数列与指数函数的关系.
4.核心素养: 数学抽象、数学运算、逻辑推理、数学建模.
学习目标
月球车——玉兔二号
阿姆斯特朗
课堂探究
引例1：
如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折，再对折,再对折...依次对折50次，你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗？(月球与地球的平均距离是384400公里)
纸的层数
2，
4，
8，
16，
…… ,
第1天
第2天
第3天
第4天
第n天
引例2：
《庄子 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半 ，万世不竭.”从数学眼光来看，就是如果把“一尺之棰”的长度看成单位1，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是
课堂探究
引例3.某人存入银行a元,存期为五年,年利率为r,那么按照复利,他五年内每年末得到的本利和分别是(注： )
(复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息)
课堂探究
a(1+r)
第1年末
a(1+r)2
a(1+r)3
a(1+r)4
a(1+r)5
第2年末
第3年末
第4年末
第5年末
a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5
思考1：以上数列有怎样的
取值规律？
如果用{an}表示数列①，那么有
表明,数列①有这样的取值规律:
从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于2.
思考2：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？
课堂探究
①
②
③
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示 .
符号表示：
课堂探究
1.等比数列的定义
观察并判断下列数列是否是等比数列,若是，说出公比.
概念辨析
当q＞0时,数列各项符号相同,
当q＜0时,数列各项符号相反.
非零常数列既是等差数列
也是等比数列
×
×
分类讨论
每一项与它的前一项的比
都等于同一个常数.
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后，三个数就会成为一个等比数列：
（1）1， ，9 （2）-1， ，-4
±3
±2
课堂探究
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
2.等比中项
此时G2=ab.
（3）-1， ，4
×
同号的两数的等比中项有两个,它们互为相反数；异号的两数没有等比中项.
探究1：你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等比数列 的公比为 ．根据等比数列的定义，可得
所以
由此可得 ．
又 ，这就是说，当 时上式也成立．因此，首项为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为 ．
验证 n=1
不完全归纳法
课堂探究
课堂探究
又a1=a1q0=a1q1-1，这就是说，
当n=1时上式也成立.
设一个等比数列 的公比为 ．根据等比数列的定义，可得
即 ．
验证 n=1
累乘法
相乘得
探究1：你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
课堂探究
3、等比数列通项公式
小试牛刀
探究2：在等差数列中，公差 的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比 满足什么条件的数列可以与相应的指数函数建立类似的关系？
课堂探究
课堂探究
构成一个等比数列{kan}，首项为ka, 公比为a.
指数型函数f(x)=kax
(k、a为常数,k≠0,a＞0且a≠1)
f(1)=ka，f(2)=ka2，...，f(n)=kan,...
探究3：类比指数函数的性质，判断公比 的等比数列的单调性.
课堂探究
递增数列
递减数列
递减数列
递增数列
常数列
例1.若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项.
例题解析
数列的
某一项
给定两个
独立条件
等比数列的首项和公比
法1：基本量法
法二：∵a5是a4与a6的等比中项
∴ =a4×a6=48×12=576
∴ a5 = =±24
故{an}的第5项是24或－24
例1.若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项.
例题解析
等比中项法
若等比数列{an}的第2项和第6项分别为2和32,求{an}的第4项.
变式练习
(解法1:基本量法)
解设等比数列 的首项为 , 公比为q ,
①
②
②
①
得，
把 代入①，得
把 代入②，得
(解法2:等比中项法)
解：
又根据等比数列中的偶数项符号相同,
解：由题意，得
①
②
②的两边分别除以①的两边，得
所以，
例2.已知等比数列{an}的公比为 , 试用{an}的第 项am表示an.
例题解析
等比数列的任意一项都可以由该数列的
某一项和公比表示
解：设前三项的公比为 , 后三项的公差为 , 则数列的各项依次为
于是得
解方程组, 得
所以这个数列是
例3.数列{an}共有5项, 前三项成等比数列, 后三项成等差数列,第3项等于80,第2项与第4项的和等于136, 第1项与第5项的和等于132.求这个数列.
例题解析
课堂小结
1.知识方面
(1)等比数列及等比中项的定义;
2.思想方法：
类比、数形结合思想、函数与方程思想
回顾本节课的探究过程，你学到了什么？
(2)等比数列的通项公式;
递推公式、不完全归纳法和累乘法
(3)等比数列与相应的指数型函数的关系；
(4)通项公式的应用.
当堂检测
0
BC
5
作业布置
题案《4.3.1等比数列的概念》