湖南省常德市鼎城区第一高级中学2021-2022学年高一上学期12月月考数学试题（Word版含答案）

鼎城一中2021-2022学年高一上学期12月阶段检测试卷
数学
时量：120分钟 分值：150分 命题人：
单项选择题：本题共8小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0A．[－1,4] B．(0,3] C．(－1,0]∪(1,4] D．[－1,0]∪(1,4]
解析：选A　A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤4}．
2、命题“ x＞0，＞0”的否定是(　　)
A． x0＜0，≤0　　 B． x0＞0,0≤x0≤1
C． x＞0，≤0 D． x＜0,0≤x≤1
解析：选B　因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是 x0＞0,0≤x0≤1，故选B.
3、已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：选A　由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c；因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.
4、．函数y＝ 的定义域是(　　)
A．[1，2]　　　　B．[1，2) C. D.
解析：选C　由即解得x≥.
5、若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是(　　)
[解析]　因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x＝－<0，只有选项C适合．故选C.
　6、已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
[解析]　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．[答案]　C
7、已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C　令f(x)＋3x＝0，则或
解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2。
8、已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是A. B.
C. D.
解析：选D　由|x－m|<1，得m－1二、多项选择题：每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分5．
9、已知a，b，c是实数，下列结论正确的是(　　)
A．“a2＞b2”是“a＞b”的充分条件
B．“a2＞b2”是“a＞b”的必要条件
C．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分条件
D．“|a|＞|b|”是“a＞b”的既不充分也不必要条件
解析：选CD　对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2＞b2，但是a＜b，所以充分性不成立；对于B，当a＝1，b＝－2时，满足a＞b，但是a2＜b2，所以必要性不成立；对于C，由ac2＞bc2得c≠0，则有a＞b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a|＞|b|成立，但是a＜b，所以充分性不成立，当a＝1，b＝－2时，满足a＞b，但是|a|＜|b|，所以必要性也不成立，故“|a|＞|b|”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选C、D.
10、下列四个命题中，是真命题的是(　　)
A． x∈R，且x≠0，x＋≥2 B． x0∈R，使得x＋1≤2x0
C．若x＞0，y＞0，则 ≥
D．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则实数m的取值范围是(－∞，－5]
解析：选BCD　对于A， x∈R，且x≠0，x＋≥2对x＜0时不成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2,2x＝2，x2＋1≤2x成立，正确；对于C，若x＞0，y＞0，则(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，化为 ≥，当且仅当x＝y＞0时取等号，正确；对于D，当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m＜－，令f(x)＝－，x∈(1,2)．则f′(x)＝－1＋＝＞0，所以函数f(x)在x∈(1,2)上单调递增．所以f(x)＞f(1)＝－5.所以m≤－5，因此实数m的取值范围是(－∞，－5]，正确．
11、已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是(　　)
A．a2＋a－2＝7 B．a3＋a－3＝18
C．a＋a－＝± D．a＋＝2
解析：选ABD　在选项A中，因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故A正确；在选项B中，因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故B正确；在选项C中，因为a＋a－1＝3，所以(a＋a－)2＝a＋a－1＋2＝5，且a＞0，所以a＋a－＝，故C错误；在选项D中，因为a3＋a－3＝18，且a＞0，所以＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故D正确．
12、已知函数f(x)＝－log2x，0＜a＜b＜c，f(a)f(b)f(c)＜0，实数d是函数f(x)的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是(　　)
A．d＜a B．d＞b C．d＞c D．d＜c
解析：选ABD　由y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)＝－log2x在定义域(0，＋∞)上是单调减函数，当0＜a＜b＜c时，f(a)＞f(b)＞f(c)，又因为f(a)f(b)f(c)＜0，f(d)＝0，所以①f(a)，f(b)，f(c)都为负值，则a，b，c都大于d，②f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＜0，则a，b都小于d，c大于d.综合①②可得d＞c不可能成立．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、计算：＋0.002－－10(－2)－1＋π0＝________．　
解析：原式＝＋500－＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
答案：－
14、已知2x＝12，log2＝y，则x＋y的值为________．
解析：因为2x＝12，所以x＝log212，所以x＋y＝log212＋log2＝log24＝2.
答案：2
15、已知f(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么实数m的取值范围是________．
解析：∵f(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，∴－10可转化为f(m－2)>－f(2m－3)，即f(m－2)>f(－2m＋3)．∵f(x)是减函数，∴∴116、(一题两空)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，＋的最小值为________．
解析：∵a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，∴ab＝a·2b≤×2＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴ab的最大值为2.∵＋＝·＝≥·＝，当且仅当a＝b时等号成立，∴＋的最小值为.
答案：2 　
四、解答题：
17、已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，对称轴为x＝－∈[－2，3]，
∴f(x)min＝f＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，∴函数f(x)的值域为.
(2)∵函数f(x)的对称轴为x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；
②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－或－1。
18、已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．
(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝ ，求a的取值范围．
解：已知A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|2(1)由题意，A B，当a＝0时，B＝ ，不合题意．当a>0时，B＝{x|a则解得≤a≤2.当a<0时，B＝{x|3a综上，a的取值范围为.
(2)要满足A∩B＝ ，当a>0时，B＝{x|a当a<0时，B＝{x|3a综上，a的取值范围为∪[4，＋∞)．
19、(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
（2）求函数y＝的值域。
解：(1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋.
当x<时，有3－2x>0，∴＋≥2 ＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.
（2）设t＝x2＋2x－1，则y＝.
因为0<<1，所以y＝为关于t的减函数．
因为t＝－2≥－2，所以020、已知函数f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)．
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．
解：(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
对于定义域内任意x，有f(－x)＝(－x)3＝(－x)3
＝(－x)3＝x3＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．
(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x＞0时的情况．当x＞0时，要使f(x)＞0，
则x3＞0，即＋＞0，即＞0，则ax＞1.
又∵x＞0，∴a＞1.∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.
21、某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(参考数据：28
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
[解]　(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3，
∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.
∴f(x)＝
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，显然当x＝6时，ymax＝185；
对于y＝－3x2＋68x－115＝－3＋(6＜x≤20，x∈Z)，
当x＝11时，ymax＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多。
22、已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]，故函数h(x)的值域为[0,2]．
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0,2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，所以4t＋－15的最小值为－3.所以k<－3.综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．