2021-2022学年高二上学期数学 人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1 等差数列的概念 课件(共23张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学 人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1 等差数列的概念 课件(共23张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 933.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-19 21:56:48 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
4.2.1 等 差 数 列 的 概 念
1.数列的定义：
按确定的顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做数列的项.
2.数列的通项公式：
如果数列的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式 。
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么
这个式子叫做这个数列的递推公式.
3.数列的递推公式：
复习回顾
情境导入
圜丘坛是我国明朝嘉庆年间建立的一个三层露天圆台，别名祭天台，有圜丘，皇穹宇、神厨、三库及宰牲亭等组成。其位于天坛南部，为皇帝冬至日祭天大典的场所。
课堂导入
请看下面几个问题中的数列.
1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成,最中间是圆形的天心石,围绕天心石的是9圈扇环形的石板,从内到外各圈的石板数依次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81. (1)
2.S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48. (2)
3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度,得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位： ）依次为
25,24,23,22,21. (3)
课堂导入
4.某人向银行贷款 万元,贷款时间为 年.如果个人贷款月利为 ,那么按照等额本金方式还款,他从某月开始,每月应还本金 元,每月支付给银行的利息（单位:元）依次为
. (4)
思考:在代数的学习中,我们常常通过运算来发现规律.例如,在指数函数的学习中,我们通过运算发现了甲、乙两地旅游人数的变化规律.类似地,你能通过运算发现以上数列的取值规律吗
概念学习
① 9，18，27，36，45，54，63，72，81.
② 38，40，42，44，46，48.
③ 25，24，23，22，21.
对于①，我们发现
18=9+9，27=18+9....81=72+9，
换一种写法，就是
18-9=9，27-18=9....81-72=9.
如果用{an}表示数列①，
那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9.
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。数列②—③也有这样的取值规律。
思考：我们常通过运算来发现规律。你能通过运算发现数列①—③的取值规律吗？
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
【注意】
①判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：
an+1-an是不是同一个常数？
②公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，千万别把被减数与减数弄颠倒了！！
③公差可以是正数，负数，也可以为0.
等差数列的定义
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
符号表示：an+1 - an=d（d为常数，n∈N*）
练习 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差
（1） 1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10
（2） 3，3，3，3，3，3
（3） 3x，6x，9x，12x，15x
（4）95，82，69，56，43，30
（5） 1，1.1，1.11，1.111，1.1111
（6） 1，－2，3，－4，5，－6
（7）
a1=3，公差 d=0 常数列
a1=3x 公差 d= 3x
×
a1=95 公差 d=－13
×
×
a1=1 公差 d=
概念学习
想一想，一个等差数列最少有几项？
它们之间有什么关系？
等差中项
练习 （1）3和7的等差中项是多少？
（2）3和11的等差中项是多少？
答案：3和7的等差中项是5，3和11的等差中项是7
变式：数列：1，3，5，7，9，11，13…
（1）7是哪两项的等差中项？
（2）5和7的等差中项是多少？
若已知等差数列{an}的首项和公差，你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？
a2=a1+d
a3=a2+d=（a1+d ）+d=a1+2d
a4=a3+d=（a1+2d ）+d=a1+3d
…
an=an-1+d=a1+（n-1）d （n ≥ 2）
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+（n-1）d
方法1： 由等差数列的定义可得
不完全归纳法
an+1-an=d
思考 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
能用累加方法求通项公式吗？
首项a1公差d的等差数列{an}的通项公式为
练习4 求下列等差数列的通项公式
（1）9，18，27，36，45，54，63，72...
（2）38，40，42，44，46，48...
（3）25，24，23，22，21.
等差数列的通项公式的一般形式：an＝am＋（n－m）d
等差数列的通项公式
a1 、an、n、d知三求一
思考:观察等差数列的通项公式,它与熟悉的哪一类函数有关
概念学习
①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点（n，an）组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.
②任给一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数），则f(1)＝k＋b，
f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，
其首项为________，公差为____.
典型例题
例1 (1) 已知等差数列 的通项公式为 求 的公差和首项.
(2) 求等差数列8,5,2, 的第20项.
分析:(1)已知等差数列的通项公式,只要根据等差数列的定义,由
即可求出公差
(2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式,再利用通项公式求数列的第20项.
典型例题
解:
例2 是不是等差数列 的项 如果是,是第几项？
解: 由 得这个数列的通项公式为
令 解这个关于 的方程,得
所以, 是这个数列的项,是第100项.
练习1 在等差数列中，已知a5=10，a12=31，求首项与公差.
解：设数列的首项为a1与公差为d
由题意可知
即这个等差数列的首项是-２，公差是３.
解得
归纳：在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n，知三求一
练习2. 已知等差数列 中, 求
解：由题意,得
即 解得 所以
练习3. 在7和21中插入3个数,使这5个数成等差数列.
思考:
下列数列是否为等差数列？
（1） （2）
例. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
（1）数列{}是否为等差数列？说明理由；（2）求an.
等差数列的判定与证明
等差数列的判定与证明
等差数列
an=a1+(n-1)d
直线上均匀排开的一群孤立的点
1定义:
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数
公差：d=an-an-1 (n≥2，n∈N*)
2通项公式:
推导公式:
an=am+(n－m)d
4图象:
课堂总结
3等差中项：a，A，b成等差数列 2A=a+b
感谢大家的聆听,祝大家学习顺利.
结 束 语
4.2.1 等 差 数 列 的 概 念
1.数列的定义：
按确定的顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做数列的项.
2.数列的通项公式：
如果数列的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式 。
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么
这个式子叫做这个数列的递推公式.
3.数列的递推公式：
复习回顾
情境导入
圜丘坛是我国明朝嘉庆年间建立的一个三层露天圆台，别名祭天台，有圜丘，皇穹宇、神厨、三库及宰牲亭等组成。其位于天坛南部，为皇帝冬至日祭天大典的场所。
课堂导入
请看下面几个问题中的数列.
1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成,最中间是圆形的天心石,围绕天心石的是9圈扇环形的石板,从内到外各圈的石板数依次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81. (1)
2.S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48. (2)
3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度,得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位： ）依次为
25,24,23,22,21. (3)
课堂导入
4.某人向银行贷款 万元,贷款时间为 年.如果个人贷款月利为 ,那么按照等额本金方式还款,他从某月开始,每月应还本金 元,每月支付给银行的利息（单位:元）依次为
. (4)
思考:在代数的学习中,我们常常通过运算来发现规律.例如,在指数函数的学习中,我们通过运算发现了甲、乙两地旅游人数的变化规律.类似地,你能通过运算发现以上数列的取值规律吗
概念学习
① 9，18，27，36，45，54，63，72，81.
② 38，40，42，44，46，48.
③ 25，24，23，22，21.
对于①，我们发现
18=9+9，27=18+9....81=72+9，
换一种写法，就是
18-9=9，27-18=9....81-72=9.
如果用{an}表示数列①，
那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9.
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。数列②—③也有这样的取值规律。
思考：我们常通过运算来发现规律。你能通过运算发现数列①—③的取值规律吗？
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
【注意】
①判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：
an+1-an是不是同一个常数？
②公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，千万别把被减数与减数弄颠倒了！！
③公差可以是正数，负数，也可以为0.
等差数列的定义
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
符号表示：an+1 - an=d（d为常数，n∈N*）
练习 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差
（1） 1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10
（2） 3，3，3，3，3，3
（3） 3x，6x，9x，12x，15x
（4）95，82，69，56，43，30
（5） 1，1.1，1.11，1.111，1.1111
（6） 1，－2，3，－4，5，－6
（7）
a1=3，公差 d=0 常数列
a1=3x 公差 d= 3x
×
a1=95 公差 d=－13
×
×
a1=1 公差 d=
概念学习
想一想，一个等差数列最少有几项？
它们之间有什么关系？
等差中项
练习 （1）3和7的等差中项是多少？
（2）3和11的等差中项是多少？
答案：3和7的等差中项是5，3和11的等差中项是7
变式：数列：1，3，5，7，9，11，13…
（1）7是哪两项的等差中项？
（2）5和7的等差中项是多少？
若已知等差数列{an}的首项和公差，你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？
a2=a1+d
a3=a2+d=（a1+d ）+d=a1+2d
a4=a3+d=（a1+2d ）+d=a1+3d
…
an=an-1+d=a1+（n-1）d （n ≥ 2）
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+（n-1）d
方法1： 由等差数列的定义可得
不完全归纳法
an+1-an=d
思考 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
能用累加方法求通项公式吗？
首项a1公差d的等差数列{an}的通项公式为
练习4 求下列等差数列的通项公式
（1）9，18，27，36，45，54，63，72...
（2）38，40，42，44，46，48...
（3）25，24，23，22，21.
等差数列的通项公式的一般形式：an＝am＋（n－m）d
等差数列的通项公式
a1 、an、n、d知三求一
思考:观察等差数列的通项公式,它与熟悉的哪一类函数有关
概念学习
①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点（n，an）组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.
②任给一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数），则f(1)＝k＋b，
f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，
其首项为________，公差为____.
典型例题
例1 (1) 已知等差数列 的通项公式为 求 的公差和首项.
(2) 求等差数列8,5,2, 的第20项.
分析:(1)已知等差数列的通项公式,只要根据等差数列的定义,由
即可求出公差
(2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式,再利用通项公式求数列的第20项.
典型例题
解:
例2 是不是等差数列 的项 如果是,是第几项？
解: 由 得这个数列的通项公式为
令 解这个关于 的方程,得
所以, 是这个数列的项,是第100项.
练习1 在等差数列中，已知a5=10，a12=31，求首项与公差.
解：设数列的首项为a1与公差为d
由题意可知
即这个等差数列的首项是-２，公差是３.
解得
归纳：在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n，知三求一
练习2. 已知等差数列 中, 求
解：由题意,得
即 解得 所以
练习3. 在7和21中插入3个数,使这5个数成等差数列.
思考:
下列数列是否为等差数列？
（1） （2）
例. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
（1）数列{}是否为等差数列？说明理由；（2）求an.
等差数列的判定与证明
等差数列的判定与证明
等差数列
an=a1+(n-1)d
直线上均匀排开的一群孤立的点
1定义:
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数
公差：d=an-an-1 (n≥2，n∈N*)
2通项公式:
推导公式:
an=am+(n－m)d
4图象:
课堂总结
3等差中项：a，A，b成等差数列 2A=a+b
感谢大家的聆听,祝大家学习顺利.
结 束 语