【中考数学培优复习考点专题突破】专题12 三角形与全等三角形(考点讲解)（含解析）

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2021年中考数学培优复习考点专题突破 第四章 几何初步与三角形
专题12 三角形与全等三角形
【考纲要求】
1.了解三角形和全等三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系．2.理解三角形内角和定理及推论．3.理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质．4.掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明.
【备考指南】
中考中多以填空题、选择题的形式考查三角形的边角关系,通过解答题来考查全等三角形的性质及判定．全等三角形在中考中常与平行四边形、二次函数、圆等知识相结合，考查学生综合运用知识的能力．
【考点总结】一、三角形的概念及性质
1．概念：(1)由三条线段首 ( http: / / www.21cnjy.com )尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．(2)三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．21世纪教育网版权所有
2．性质：(1)三角形的内角和是180°；三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．(2)三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边．21cnjy.com
【考点总结】二、三角形中的重要线段
1．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．21·cn·jy·com
特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心．
2．三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．www.21-cn-jy.com
特性：三角形的三条高线相交于一点．
3．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点．2·1·c·n·j·y
4．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半．
【考点总结】三、全等三角形的性质与判定
1．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等．
3．判定：(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；
(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；
(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；
(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；
(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．
【考点总结】四、定义、命题、定理、公理
1．定义：对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义．
2．命题：判断一件事情的语句．21世纪教育网
(1)命题由题设和结论两部分组成．命题通常写成“如果…那么…”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．21教育网
(2)命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题 ( http: / / www.21cnjy.com )的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．【来源：21·世纪·教育·网】
3．定理：经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题．所以不是所有的定理都有逆定理．21·世纪*教育网
4．公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫公理．【出处：21教育名师】
【考点总结】五、证明
1．证明：从一个命题的条件出发，根据定义、公理及定理，经过逻辑推理，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明．【版权所有：21教育】
2．证明的一般步骤：(1)审题，找 ( http: / / www.21cnjy.com )出命题的题设和结论；(2)由题意画出图形，具有一般性；(3)用数学语言写出已知、求证；(4)分析证明的思路；(5)写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．
3．反证法：先假设命题中结论 ( http: / / www.21cnjy.com )的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾，从而结论的反面不可能成立，借此证明原命题结论是成立的．这种证明的方法叫做反证法．
【考点】一、三角形的边角关系
例1、若三角形三边长分别为3,4，x－1，则x的取值范围是(　　)．
A．0＜x＜8 B．2＜x＜8 C．0＜x＜6 D．2＜x＜6
解析：已知三角形两边a，b的 ( http: / / www.21cnjy.com )长，确定第三边c的取值范围，c应满足|a－b|＜c＜a＋b；要判断三条线段能否组成三角形，只要检验较短的两条线段之和是否大于第三条线段即可．根据三角形的三边关系定理，得1＜x－1＜7，
∴2＜x＜8.
答案：B
三角形边的关系的应用：(1)判定三条线段是否构成三角形；(2)已知两边的长，确定第三边的取值范围；(3)可证明线段之间的不等关系．21*cnjy*com
【考点】二、全等三角形的性质与判定
例2、如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE.
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(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)若∠D＝50°，求∠B的度数．
分析：本题综合考查三角形的全等及性质，利用“SAS”判定△ACD≌△BCE后，再利用性质可得到∠E＝50°，从而求出∠B．
解：(1)证明：∵C是线段AB的中点，
∴AC＝BC．
∵CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.
又∵CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)．
(2)∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3.
∴∠3＝60°.
由△ACD≌△BCE，得∠D＝∠E.
∵∠D＝50°，∴∠E＝50°.
则∠B＝180°－∠E－∠3＝180°－50°－60°＝70°.
1．判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等．www-2-1-cnjy-com
2．全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积等之间的等量关系．【来源：21cnj*y.co*m】
【考点】三、证明的方法
【精典例题】4、如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E. 2-1-c-n-j-y
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求证：(1)△BFC≌△DFC；
(2)AD＝DE.
证明：(1)∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF.
在△BFC和△DFC中
∴△BFC≌△DFC．
(2)如图，连接BD．
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∵△BFC≌△DFC，
∴BF=DF.∴∠FBD=∠FDB．
∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB．
∴∠ABD=∠FBD．
∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC．
∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC．∴∠BDA=∠BDC．
又BD是公共边，∴△BAD≌△BED．∴AD=DE.
1．证明问题时，首先要理清证明的思路，做到证明过程的每一步都有理有据，推理严密．要证明线段、角相等时，证全等是常用的方法．
2．证明的基本方法：(1)综合法，从已知条件入手，探索解题途径的方法；
(2)分析法，从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法；
(3)两头“凑”的方法，综合应用以上两种方法找证明思路的方法．
【考点】四、真假命题的判断
例4、下列命题，正确的是(　　)．
A．如果|a|＝|b|，那么a＝b
B．等腰梯形的对角线互相垂直
C．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
D．相等的圆周角所对的弧相等
解析：A项不正确，例如：|－2|＝|2|， ( http: / / www.21cnjy.com )但－2≠2；B项不正确，等腰梯形的对角线可能垂直，但并不是所有的等腰梯形对角线都垂直；C项正确，可以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定得到；D项错误，相等的圆周角所对的弧相等，必须是在同圆或等圆中．21世纪教育网21*cnjy*com
答案：C
对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题．21教育名师原创作品
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