【中考数学培优复习考点专题突破】专题02　整式和分式(考点讲解)（含解析）

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2021年中考数学培优复习考点专题突破 第一章　数与式
专题02　整式和分式
【考纲要求】
1．能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示，会求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．2．了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念和有关法则，会进行整式加、减、乘、除运算．3．会推导平方差公式和完全平方公式，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解.4．理解分式、最简分式、最简公分母的概念，掌握分式的基本性质，能熟练地进行约分、通分．5．能根据分式的加、减、乘、除的运算法则解决计算、化简、求值等问题，并掌握分式有意义、无意义和值为零的约束条件．6．会进行简单的分式加、减、乘、除之间的混合运算.
【备考指南】
整式及因式分解主要考查用代数式表示数量关系，单项式的系数及次数，多项式的项和次数，整式的运算，多项式的因式分解等内容．中考题型以选择题、填空题为主，同时也会设计一些新颖的探索型问题。重点考查分式有意义、分式的值为零的条件，分式的运算、分式的化简、求值的方法和技巧．命题多以选择题、填空题、计算题或化简求值的形式出现．
【考点总结】一、整式的有关概念
1．整式
整式是单项式与多项式的统称．
2．单项式
单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．21世纪教育网版权所有
3．多项式
几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．21教育网
【考点总结】二、整数指数幂的运算
正整数指数幂的运算法则：am·an＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，＝am－n(m，n是正整数)．
【考点总结】三、同类项与合并同类项
1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．
2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．21cnjy.com
【考点总结】四、求代数式的值
1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．
2．求代数式的值的基本步骤：
(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；
(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．
【考点总结】五、整式的运算
1．整式的加减
(1)整式的加减实质就是合并同类项；21世纪教育网
(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．21·cn·jy·com
2．整式的乘除
(1)整式的乘法
①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．www.21-cn-jy.com
②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC．
③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nB．
(2)整式的除法
①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．【来源：21·世纪·教育·网】
②多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.
3．乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
【考点总结】六、因式分解
1．因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．
2．因式分解的方法
(1)提公因式法
公因式的确定：第一，确定系数( ( http: / / www.21cnjy.com )取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．21·世纪*教育网
(2)运用公式法
①运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
②运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
【考点总结】七、分式
1．分式的概念：形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
2．分式有意义、无意义的条件：因为0不能做除数，所以在分式中，若B≠0，则分式有意义；若B＝0，那么分式没有意义．2-1-c-n-j-y
3．分式值为零的条件：在分式中，当A＝0且B≠0时，分式的值为0.
【考点总结】八、分式的基本性质
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：
＝，＝(其中M是不等于0的整式)．
分式的约分与通分
1．约分：将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分．
2．通分：将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分．
【考点总结】九、分式的运算
1．分式的加减法
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即±＝.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即±＝.www-2-1-cnjy-com
2．分式的乘除法
分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即·＝.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即÷＝·＝.21*cnjy*com
3．分式的混合运算
在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．【出处：21教育名师】
【考点】一、整数指数幂的运算
【精典例题】1、下列运算正确的是(　　)．
A．3ab－2ab＝1 B．x4·x2＝x6 C．(x2)3＝x5 D．3x2÷x＝2x
解析：A项是整式的加减运算，3 ( http: / / www.21cnjy.com )ab－2ab＝ab，A项错；B项是同底数幂相乘，x4·x2＝x4＋2＝x6，B项正确；C项是幂的乘方，(x2)3＝x2×3＝x6，C项错；D项是单项式相除，3x2÷x＝(3÷1)x2－1＝3x，D项错．
答案：B
幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘．【版权所有：21教育】
【考点】二、同类项与合并同类项
【精典例题】2、单项式－xa＋b·ya－1与3x2y是同类项，则a－b的值为(　　)．
A．2 B．0 C．－2 D．1[来源
解析：本题主要考查了同类项的概念及方程组的解法，由－xa＋b·ya－1与3x2y是同类项，
得得∴a－b＝2－0＝2.
答案：A
1．同类项必须具备以下两个条件：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数分别相同．二者必须同时具备，缺一不可；21教育名师原创作品
2．同类项与项的系数无关，与项中字母的排列顺序无关，如xy2与－y2x也是同类项；
3．几个常数项都是同类项，如－1,5，等都是同类项．
【考点】三、整式的运算
【精典例题】3、先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2，其中a＝3，b＝－.
解：(a＋b)(a－b)＋(a＋b ( http: / / www.21cnjy.com ))2－2a2＝a2－b2＋a2＋2ab＋b2－2a2＝2ab，当a＝3，b＝－时，2ab＝2×3×＝－2.21*cnjy*com
整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，必须在理解的基础上加强记忆，并在运算时灵活运用法则进行计算．使用乘法公式时，要认清公式中a，b所表示的两个数及公式的结构特征，不要犯类似下面的错误：(a+b)2=a2+b2，(a-b)2=a2-b2.
【考点】四、因式分解
【精典例题】4、分解因式：－x3－2x2－x＝__________.
解析：由于多项式中有公因式－x，先提公因式再用公式法．－x3－2x2－x＝－x(x2＋2x＋1)＝－x(x＋1)2.
答案：－x(x＋1)2
因式分解的一般步骤：
(1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式；
(2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式；
(3)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
【考点】五、分式有意义、无意义、值为零的条件
【精典例题】5、若的值为零，则x的值是(　　)．
A．±1 B．1 C．－1 D．不存在
解析：当分式的分子是零，分母不是零时分式 ( http: / / www.21cnjy.com )值为零，当|x|－1＝0时，x＝±1，而x＝1时，分母x2＋2x－3＝0，分式无意义，所以x＝－1.
答案：C
分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零用分母不为零．
【考点】六、分式的基本性质
【精典例题】6、下列运算中，错误的是(　　)．
A．＝(c≠0) B．＝－1 C．＝ D．＝
解析：应用分式的基本性质时，要注意“都”与“同”这两个字的含义，避免犯只乘分子或分母的错误．D项＝＝－.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：D
运用分式的基本性质解题必须理解和掌握分式的基本性质：，(其中m≠0)和分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变．
【考点】七、分式的约分与通分
【精典例题】7、化简：＝__________.
解析：＝＝.
答案：
1．分式约分的步骤：(1)找出分 ( http: / / www.21cnjy.com )式的分子与分母的公因式，当分子、分母是多项式时，要先把分式的分子与分母分解因式；(2)约去分子与分母的公因式．
2．通分的关键是确定最简公分母．
求最简公分母的方法是：(1)将各个分母分解因式；(2)找各分母系数的最小公倍数；(3)找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足(2)(3)的因式之积即为各分式的最简公分母．
【考点】八、分式的运算
【精典例题】 (1)化简：.
(2)先化简，再求值：，其中x＝－1.
解：(1)原式＝÷
＝×＝；
(2)÷
＝÷
＝·＝x－2.
当x＝－1时，原式＝－1－2＝－3.
在分式运算的过程中，要注意对分式的分子、分母进行因式分解，然后简化运算，再运用四则运算法则进行求值计算．分式混合运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，其乘除运算归根到底是乘法运算，实质是约分，分式加减实质是通分，结果要化简．2·1·c·n·j·y
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