【中考数学培优复习考点专题突破】专题03　二次根式(考点讲解)（含解析）

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2021年中考数学培优复习考点专题突破 第一章　数与式
专题03　二次根式
【考纲要求】
1．掌握二次根式有意义的条件和基本性质()2＝a(a≥0)．2．能用二次根式的性质＝|a|来化简根式．3．能识别最简二次根式、同类二次根式．4．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.
【备考指南】
二次根式的知识点是新课标的基本考查内容之一，常常以客观题形式进行考查，重点要求熟练掌握基本运算．二次根式运算的另一考查形式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母类型的题目是考查的热点.
【考点总结】一、二次根式
1、二次根式的概念：形如(a≥0)的式子.
2、二次根式有意义的条件：要使二次根式有意义，则a≥0.
3、最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式21世纪教育网版权所有
【考点总结】二、二次根式的性质
（1）双重非负性：
①被开方数是非负数，即a≥0；
②二次根式的值是非负数，即≥0.
注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.
(2)两个重要性质：
①()2＝a(a≥0)；②＝|a|＝；
(3)积的算术平方根：＝·(a≥0，b≥0)；
(4)商的算术平方根： (a≥0，b＞0)．
【考点总结】三、二次根式的运算
1．二次根式的加减法
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．21教育网
2．二次根式的乘除法
(1)二次根式的乘法：·=(a≥0，b≥0)；
(2)二次根式的除法： = (a≥0，b＞0)．
3．二次根式的混合运算
运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．21·cn·jy·com
【考点】一、二次根式有意义的条件
例1、若使有意义，则x的取值范围是________．
解析：x＋1与2－x都是二次根式的被开方数，都要大于等于零．又因2－x不能为零，可得不等式组解得－1≤x＜2.2·1·c·n·j·y
答案：－1≤x＜2
方法总结 利用二次根式有意义 ( http: / / www.21cnjy.com )的条件求字母的取值范围时，首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，如分母不等于零，最后解不等式(组)．【来源：21·世纪·教育·网】
例2、要使式子有意义，则a的取值范围为__________．
解析：a≥－2且a≠0　由题意，得解得a≥－2且a≠0.
【考点】二、二次根式的性质
例3、把二次根式a化简后，结果正确的是(　　)
A． B．－ C．－ D．
解析：要使a有意义，必须－＞0，即a＜0.
所以a＝a＝＝－.
答案：B
方法总结 如果题目中对根号内的字母给出了取 ( http: / / www.21cnjy.com )值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．www.21-cn-jy.com
例4、 如果＝1－2a，则(　　)
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
解析：B　因为二次根式具有非负性，
所以1－2a≥0，解得a≤，故选B.
【考点】三、最简二次根式与同类二次根式
例(1)下列二次根式中，最简二次根式是(　　)
A． B． C． D．
(2)在下列二次根式中，与是同类二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
解析：(1)A选项中的被开方 ( http: / / www.21cnjy.com )数中含开得尽方的因式，C选项中的被开方数中含开得尽方的因数，D选项中的被开方数中含有分母，故B选项正确；(2)将各选项中能化简的二次根式分别化简后，可得出＝|a|，＝a，＝a2，结合同类二次根式的概念，可得出与是同类二次根式．
答案：(1)B　(2)C
方法总结 1．最简二次根式的判断方法：
最简二次根式必须同时满足如下条件：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)；
(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
2．判断同类二次根式的步骤：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．21cnjy.com
例 若最简二次根式与是同类二次根式，则ab＝__________.
解析：1　由题意，得解得
∴ab＝1.
【考点】四、二次根式的运算
例计算：(－)÷.
解：原式＝(5－2)÷＝3÷＝3.
方法总结 1．二次根式加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)合并同类二次根式．21·世纪*教育网
2．二次根式乘除法运算的步骤：先利用法则将被开方数化为积(或商)的二次根式，再化简；最后结果要化为最简二次根式或整式或分式．www-2-1-cnjy-com
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