【中考数学培优复习考点专题突破】专题04 一次方程（组）(考点讲解)（含解析）

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2021年中考数学培优复习考点专题突破 第二章 方程与不等式
【思维导图】
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专题04 一次方程（组）
【考纲要求】
1.了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质．[来2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法．3．会列方程(组)解决实际问题.
【备考指南】
中考中多以选择题、填空题、解方程 ( http: / / www.21cnjy.com )(组)的形式考查方程(组)的解法，结合社会关注的热点，考查列方程(组)解决实际问题的能力．同时还注重对方程思想、转化思想以及分析问题和解决问题能力的考查．
【考点总结】一、等式及方程的有关概念
1．等式及其性质
(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．
(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数 ( http: / / www.21cnjy.com )或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．21世纪教育网版权所有
2．方程的有关概念
(1)含有未知数的等式叫做方程．21世纪教育网
(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方的解，也叫它的根．
(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程．
【考点总结】二、一元一次方程
1．只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于零的整式方程叫做一元一次方程，其标准形式为ax＋b＝0(a≠0)，其解为x＝.21cnjy.com
2．解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母；
(2)去括号；
(3)移项；
(4)合并同类项；
(5)未知数的系数化为1.
【考点总结】三、二元一次方程组的有关概念
1．二元一次方程
(1)概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做二元一次方程．
(2)一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
(3)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．
2．二元一次方程组
(1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
(2)一般形式：(a1，a2，b1，b2均不为零)．
(3)二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
【考点总结】四、二元一次方程组的解法
1、代入法的定义：在二元一次方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )中，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．www.21-cn-jy.com
2、代入法解二元一次方程组的基本思想是：通过代入达到消元的目的，从而将解二元一次方程组转化为解一元一次方程．其步骤为：2·1·c·n·j·y
①变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程， ( http: / / www.21cnjy.com )将这个方程化为用含一个字母的代数式表示另一个字母．例如y，用含x的代数式表示出来，得y＝ax＋b.【来源：21·世纪·教育·网】
②代入：将y＝ax＋b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程．
③解元：解所得的一元一次方程，求出x的值．
④求值：把求得的x的值代入y＝ax＋b中，求出y的值，从而得到方程组的解．
⑤把求得的x，y的值联立起来就是方程组的解．
取的原则是：
①选择未知数的系数是1或－1的方程；
②常数项为0的方程；
③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对 ( http: / / www.21cnjy.com )值较小的方程，将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代入没有变形的方程中去．这样就把二元一次方程组转化为一元一次方程了．总之，用代入消元法解二元一次方程组时，一定要使变形后的方程比较简单或代入消元后化简比较容易，这样不但避免错误，还能提高运算速度．21·cn·jy·com
1、加减法的定义：两个二元一次方程中同一 ( http: / / www.21cnjy.com )未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．21·世纪*教育网
2、加减法的基本思想是：解二元一次方程组时， ( http: / / www.21cnjy.com )使方程组中同一个未知数的系数相等或是互为相反数，再将所得两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，从而转化为一元一次方程．其步骤为：
①变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知 ( http: / / www.21cnjy.com )数的系数既不相等又不互为相反数，就要用适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数．www-2-1-cnjy-com
②加减：当同一个未知数的系 ( http: / / www.21cnjy.com )数互为相反数时，用加法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程；当同一个未知数的系数相等时，用减法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程．
③解元：解所得的一元一次方程，求出未知数的值．
④求值：把求出的未知数的值代入原方程组中的任一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
⑤求得的两个未知数的值联立起来就是方程组的解．
谈重点 加减消元法解二元一次方程组
当方程组中两个未知数的系数均不成整数倍时，一 ( http: / / www.21cnjy.com )般选择系数较为简单的未知数消元，将两个方程分别乘以某个数，使该未知数的系数的绝对值相等，再加减消元求解，但必须注意，在方程两边同乘以某个数时，每一项都要乘，尤其常数项不要漏乘．2-1-c-n-j-y
【考点总结】五、列方程(组)解应用题
步骤：(1)设未知数；(2)列出方程 ( http: / / www.21cnjy.com )(组)；(3)解方程(组)；(4)检验求得的未知数的值是否符合实际意义；(5)写出答案(包括单位名称)．【出处：21教育名师】
【考点】一、一元一次方程的解法
例1、解方程：－＝1.
解：去分母，得2(2x＋1)－(10x＋1)＝6，
去括号，得4x＋2－10x－1＝6，
移项，得4x－10x＝6－2＋1，
合并同类项，得－6x＝5，
系数化为1，得x＝－.
解一元一次方程时，首先要清楚基本方法与一般步骤，明确每步的理论依据，根据其特点选用解题步骤．
【考点】二、二元一次方程组的有关概念
例2、已知是二元一次方程组的解，则2m－n的算术平方根为(　　)．
A．4 B．2 C． D．±2
解析：∵是方程组的解．
∴解得
∴＝＝＝2.
答案：B
方程组的解适合于方程组的每一个方程，把它代入原方程组，就会得到一个新的方程组，解新方程组即可得出待定字母系数的值．21教育网
【考点】三、二元一次方程组的解法
例3、解方程组：
解：方法一：用加减消元法解方程组．
①×2得6x－2y＝10，③
②＋③得11x＝33，∴x＝3.
把x＝3代入①得9－y＝5，∴y＝4.
所以原方程组的解为
方法二：用代入消元法解方程组．
由①得y＝3x－5，③
把③代入②得5x＋2(3x－5)＝23，
所以11x＝33，则x＝3.
把x＝3代入③得y＝4.
所以原方程组的解为
解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元 ( http: / / www.21cnjy.com )一次方程组转化为一元一次方程．最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结合方程组的特点，灵活选用消元方法．如果出现未知数的系数为1或-1，宜用代入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂，宜用加减消元法解．21*cnjy*com
【考点】四、列方程(组)解决实际问题
例4、某工厂承接了生产第16届亚运会会标和亚 ( http: / / www.21cnjy.com )运会吉祥物“乐羊羊”的生产任务，需要用到甲、乙两种原料．已知生产一套亚运会标志需要甲原料和乙原料分别为0.4 kg和0.3 kg，生产一套亚运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为0.5 kg和1 kg.该厂购进甲、乙原料的量分别为2 300 kg和3 600 kg，如果所进原料全部用完，求该厂能生产亚运会标志和亚运会吉祥物各多少套？【来源：21cnj*y.co*m】
解：设生产亚运会标志x套，生产亚运会吉祥物y套．
根据题意，得
①×2－②×1得0.5x＝1 000，
∴x＝2 000.
把x＝2 000代入②得600＋y＝3 600，
∴y＝3 000.
答：该厂能生产亚运会标志2 000套，生产亚运会吉祥物3 000套．
对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解容易．列二元一次方程组，首先要对具体的问题进行具体分析，从中抽取等量关系，再根据相应的等量关系列出方程组，注意所求的解要符合实际问题．【版权所有：21教育】
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