安徽省亳州市2013届高三10月摸底考试数学理试题

安徽省亳州市
2013届高三摸底考试
数学（理）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1．答题前，务必在试题卷、答题卷规定填写自己的姓名、座位号．
2．答第I卷时，每小题选出答案后，用0．5毫米的黑色墨水签字笔把对应题目的答案写在答题卷上的答题方格内。
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰，必须在题号所指示的答题方框内作答，超出答题方框书写的答案无效。
第I卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的的共轭复数是
A． B．— C．i D．—i
2．下列函数是奇函数，在区问（0，+∞）上又是增函数的是
A．y=-2x B．y= C．y=x2 D．y=|x|
3．椭圆的离心率是
A． B． C． D．
4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的K的值是
A．4 B．5
C．6 D．7
5．样本中共右五个个体，其值分别为a，2，3，4，5，若
该样本的平均值为3，则样本方差为
A． B．
C． D．2
6．设Rt△ABC的三边长分别为a，b，c（a A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
7．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n； ②若；
③若m上α，m⊥n，则n∥α； ④若
其中，真命题的序号是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
8．的展开式中x3的系数为10，则实数a为
A．-2 B．-1 C． 1 D． 2
9．已知函数的图像分别交于M、N两点，则的最大值是
A．1 B． C． D．
10．从10名大学生村官中选3个人担任乡长助理，则甲、丙至少有1人人选，而乙没有人选的不同选法的种数位为
A． 85 B． 56 C． 49 D． 28
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。
11．设实数x，y满足，则的最大值为 。
12．三视图如下的几何体的体积为 。
13．由曲线围成的封闭图形面积为____．
14．已知向量的最小
值是 。
15．已知圆C的圆必是抛物线的焦点。直线
4x-3y-3=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=8，则圆C的方程
为 。
三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知函数以，其相邻两个最值点的横坐标之差为2π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c满足（2a-c）cosB=bcosC，求函f（A）的值域．
17．（本小题满分12分）
某中学在高三开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课。对于该年级的甲、乙、丙3名学生，回答下面的问题：
（1）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；
（2）某一选修课被这3名学生选修的人数的数学期望．
18．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA1平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）证明：AE⊥PD‘
（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为求二面角E-AF-C的余弦值
19．（本小题满分13分）
数列为正项等比数列，且满足；设正项数列的前n项和为Sn，满足．
（1）求的通项公式；
（2）设的前项的和Tn．
20．（本小题满分13分）
已知函数．
（1）若函数f（x）的图象在处的切线斜率为3，求实数m的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数在[1，2]上是减函数，求实数m的取值范围．
21．（本小题满分13分）
已知椭圆的离心率为，定点M（1，0），椭圆短轴的端点是B1，B2，且
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由，
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
A
D
C
B
A
B
C
二、填空题
11．2 12.1 13. 14. 6 15.
三、解答题
16．（1）
∵
∴的单调递增区间为
（2）∵
∴
∵
∴
17．解:(1) 3名学生选择的选修课互不相同的概率: ;
(2)设某一选修课被这3名学生选择的人数为,则,
,,.
所以的分布列为
0
1
2
3
数学期望
18．（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.
因为 E为BC的中点，所以AE⊥BC.
又 BC∥AD，因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.
因为PA∩AD=A，所以 AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.
所以 AE⊥PD.
（2）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.
由（1）知 AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中，AE=，
所以 当AH最短时，∠EHA最大，
即 当AH⊥PD时，∠EHA最大.
此时 tan∠EHA= （第18题图）
因此 AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，
所以 PA=2.
解法一：因为 PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，
所以 平面PAC⊥平面ABCD.
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，
过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,
又
在Rt△ESO中，cos∠ESO=
即所求二面角的余弦值为
解法二：由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以
E、F分别为BC、PC的中点，所以
A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），
所以
设平面AEF的一法向量为,
则
因此
取,则
因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以 BD⊥平面AFC，
故 为平面AFC的一法向量.
又 =（-），
所以 cos＜m, ＞=
因为 二面角E-AF-C为锐角，
所以所求二面角的余弦值为
19．解：（1）设数列的公比为，由得所以由条件可知 故由得所以
故数列的通项公式为：；
（2）又由得：
当时，

即
数列为等差数列，且公差
又，

由得，

①
②
①-②得：

20．（本小题满分13分）
解：（1）
由已知，解得.
（2）函数的定义域为.
①当时, ，的单调递增区间为；
②当时.
当变化时，的变化情况如下：
-
+
极小值
由上表可知，函数的单调递减区间是；
单调递增区间是.
（3）由得，
由已知函数为上的单调减函数，
则在上恒成立，
即在上恒成立.
即在上恒成立.
令，在上，
所以在为减函数. ,
所以.
21．（本小题满分13分）
（1）解：由 ， 得 .
因为，所以△是等腰直角三角形，
所以，.
所以椭圆的方程是.
（2）解：设，，直线的方程为.
将直线的方程与椭圆的方程联立，
消去得 .
所以 ，.
若平分，则直线，的倾斜角互补，
所以.
设，则有 .
将 ，代入上式，
整理得 ，
所以 .
将 ，代入上式，
整理得 .
由于上式对任意实数都成立，所以 .
综上，存在定点，使平分.