2012-2013学年高二数学：第一章 数列 综合测试（北师大版必修5）

第一章 数列 综合测试
（时间：120分钟　满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题　60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中）
1.在等差数列{an}中，a3=-6,a7=a5+4,则a1等于（　　）
A.-10 B.-2 C.2 D.10
［答案］　A?
［解析］　设公差为d,∴a7-a5=2d=4,
∴d=2,又a3=a1+2d,
∴-6=a1+4,∴a1=-10.
2.在等比数列{an}中，a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根，则a8等于（　　）
A.1 B.-1 C.±1 D.不能确定?
［答案］　B
［解析］　由题意得,a4+a12=-3<0,
a4·a12=1>0,∴a4<0,a12<0.?
∴a8<0,又∵a28=a4·a12=1,?
∴a8=-1.
3.（2011·江西理，5）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，那么a10= (　　　)
A.1 B.9 C.10 D.55
［答案］　A?
［解析］　本题主要考查数列的求和公式和赋值法.?
令m=n=1,则S1+S1＝S2,即a1+a1=a1+a2,所以a2=a1=1；?
令n=1,m=2,所以S1+S2=S3.即a1+a1+a2=a1+a2+a3,则a3=a1＝a2=1,…,故a10=1,故选A.
4.在等比数列{an}中，anA.6 B. C. D.
［答案］　B?
［解析］　∵a4·a9=a2a11=6,?
又∵a4+a9=5,且an∴a4=2,a9=3,?
∴q5==,?
又==.
5.数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S5等于（　　）
A.1 B. C. D.
［答案］　B?
［解析］　∵an==,
∴S5=a1+a2+…+a5?
=(1-)+（-）+…+（-）
=1-=.
6.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°,公差为5°，那么这个多边形的边数n等于（　　）
A.12 B.16 C.9 D.16或9?
［答案］　C?
［解析］　由题意得,120°n+n(n-1)×5°=180°(n-2),?
化简整理，得n2-25n+144=0,
解得n=9或16.?
当n=16时，最大角为120°+(16-1)×5°
=195°>180°,不合题意.?
∴n≠16.
故选C.
7.设{an}是公差为-2的等差数列，若a1+a4+a7+…+a97=50,则a3+a6+a9+…+a99的值为（　　）
A.-78 B.-82 C.-148 D.-182?
［答案］　B?
［解析］　∵a1+a4+a7+…+a97=50,d=-2,
∴a3+a6+a9+…+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)
=(a1+a4+a7+…+a97)+33×2d
=50+33×(-4)=-82.
8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,Sn=x·3n-1-,则x的值为（　　）
A. B.- C. D.-
［答案］　C
［解析］　a1=S1=x-,?
a2=S2-S1=3x--x+=2x,?
a3=S3-S2=9x--3x+=6x,?
∵{an}为等比数列，?
∴a22=a1a3,∴4x2=6x（x-）,?
解得x=.
9.（2012·浙江省金华十校）等差数列｛an｝中，Sn是｛an｝前n项和，已知S6=2,S9=5,则S15=（　　）
A.15 B.30 C.45 D.60
［答案］　A?
S6=2
［解析］　解法1：由等差数列的求和公式及 知，
? S9=5
6a1+d=2 a1=-
，∴ ，
9a1+d=5 d=
∴S15=15a1+d=15.?
解法2：由等差数列性质知，{}成等差数列，设其公差为D,则-＝3D=,
∴D=,?
∴,∴S15=15.
10.各项都是正数的等比数列｛an｝中，a2, a3,a1成等差数列，则的值为（　　）
A. B. C. D. 或
［答案］　B?
［解析］　设｛an｝的公比为q,?
∵a1+a2=a3,?
∴a1+a1q=a1q2,即q2-q-1=0,?
∴q=,又∵an>0,∴q>0,∴q=,
∴=q=.故选B.
11.(2011·四川理，8)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn=an+1-an(n∈N+).若b3=-2，b10=12,则a8=（　　）
A.0 B.3 C.8 D.11 ?
［答案］　B?
［解析］　本题主要考查等差数列的性质及累加法求通项，由b3=-2,b10=12，∴d=2
b1=-6,∴bn=2n-8,
∵bn=an+1-an
∴a8=(a8-a7)+(a7-a6)+(a6-a5)+(a5-a4)+(a4-a3)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1
=b7+b6+b5+b4+b3+b2+b1+a1
=＋3＝3.
12.(2012·杭州模拟)有限数列A:a1,a2,…,an,Sn为其前n项和，定义为A的“凯森和”，若有99项的数列a1,a2,…,a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，a1,a2,…,a99的“凯森和”为（　　）
A.1001 B.991 C.999 D.990?
［答案］　B?
［解析］　由定义知＝1000
∴数列1，a1,a2,…,a99的“凯森和”为
==＝991.
第Ⅱ卷（非选择题　共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）
13.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5=-2,a8=16,则S6等于 .
［答案］　
［解析］　∵{an}为等比数列，∴a8=a5q3,∴q3==-8,∴q=-2.?
又a5=a1q4,∴a1==-,?
∴S6===.
14.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=3,S6=24,则a9= .?
［答案］　15?
［解析］　设等差数列公差为d,则S3=3a1+×d=3a1+3d=3,
a1+d=1, ①?
又S6=6a1+×d=6a1+15d=24,
即2a1+5d=8. ②
联立①②两式得a1=-1,d=2,
故a9=a1+8d=-1+8×2=15.
15.在等差数列｛an｝中，Sn为它的前n项和，若a1＞0，S16＞0，S17＜0， 则当n= 时，Sn最大.
［答案］　8
S16==8(a8+a9)＞0
［解析］　∵ ,
S17==17a9＜0
∴a8＞0而a1＞0，∴数列{an}是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n=8时，Sn最大.
16.设｛an｝为公比q>1的等比数列，若a2009和a2010是方程4x2-8x+3=0的两根，则a2011＋a2012＝ .
［答案］　18?
［解析］　∵a2009和a2010是方程4x2-8x+3=0的两根，故有
a2009＝ a2009＝
或 (舍)，∴q=3.
a2010= a2010=
a2011+a2012=a2010(q+q2)= ×（3＋32）=18.
三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）设等差数列{an}满足a3=5,a10=-9.
（1）求{an}的通项公式；?
（2）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.
a1+2d=5 a1=9
［解析］　(1)由题意得 ,解得 .
a1+9d=-9 d=-2
∴an=a1+(n-1)d=9-2(n-1)=11-2n.
(2)由（1）知，Sn=na1+d
=10n-n2=-(n-5) 2+25,
∴当n=5时，Sn取最大值.
18.（本小题满分12分）(2011·重庆文，16)设{an}是公比为正数的等比数列，a1=2,a3=a2+4.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;?
(Ⅱ)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn.
［分析］　（1）问设出公比q，由已知建立有关q的方程，求出公比q，写出通项公式.
（2）问用分组求和，先求an的和，再求bn的和，然后相加得Sn.
［解析］　（1）设等比数列{an}的公比为q，由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4
即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍)，∴q=2
∴an=a1·qn-1=2·2n-1=2n
（2）数列bn=1+2(n-1)=2n-1
∴Sn=+n×1+×2
=2n+1-2+n2-n+n=2n+1+n2-2.
［点评］　此题考查等差、等比数列的通项公式，及求和公式，考查方程的思想，注意等比数列的公比为正数，此题属基础保分题.
19.(本小题满分12分)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.
（1）求数列{an}的通项；
（2）求数列{2an}的前n项和Sn.?
［解析］　(1)由题设知公差d≠0,由a1=1,a1,a3,a9成等比数列，得=,
解得d=1或d=0(舍去).
故{an}的通项an=1+(n-1)×1=n.
(2)由（1）知2an=2n,由等比数列前n项和公式，得Sn=2+22+23+…+2n==2n+1-2.
20.（本小题满分12分）(2010·山东)已知等差数列{an}满足：a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.?
（1）求an及Sn；
（2）令bn= (n∈N+)，求数列{bn}的前n项和Tn.
［解析］　（1）设等差数列{an}的公差为d,?
a1+2d=7 a1=3
由题意，得 ，解得 .
2a1+10d=26 d=2
∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1.?
Sn=na1+n(n-1)d
=3n+n(n-1)×2=n2+2n.
(2)由（1）知an=2n+1
∴bn=
∴Tn=
=.
21.（本小题满分12分）已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,数列{bn}中，b1=1,且点(bn+1,bn)在直线y=x-1上.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的通项公式；?
（3）若cn=an+3,求数列{bncn}的前n项和Sn.
［解析］　(1)∵an+1=2an+3,
∴an+1+3=2(an+3),
∴=2,?a1+3=4,
∴{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列，
∴an+3=4·2n-1=2n+1,
∴an=2n+1-3.
(2)∵(bn+1,bn)在直线y=x-1上，∴bn=bn+1-1,即bn+1-bn=1,又b1=1,
∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴bn=n.?
(3)cn=an+3=2n+1-3+3=2n+1,
∴bncn=n·2n+1.
Sn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,?
2Sn=1×23+2×24+…+(n-1)·2n+1?+n·2n+2,
两式相减，得-Sn=22+23+24+…+2n+1-n·2n+2
=
=2n+2-4-n·2n+2,
∴Sn=(n-1)·2n+2+4.
22.（本小题满分14分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8％.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底,?
（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2009年累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％？
［分析］　本题主要考查构建数学模型解决实际问题，通过阅读之后，找出题目中的相关信息，构建等差数列和等比数列，利用等差数列和等比数列中的相关知识求解.?
［解析］　（1）设中低价房面积构成数列｛an｝，由题意知：｛an｝是等差数列，其中a1=250,d=50
∴Sn=250n+
令25n2+225n≥4750
即n2+9n-190≥0
解得n≤-19或n≥10
∴n≥10
故到2018年底，该市历年所建中低价房累计面积首次不少于4750万m2.
(2)设新建住房面积构成等比数列｛bn｝.?
由题意知｛bn｝为等比数列，b1=400,q=1.08.
∴bn=400×（1.08）n-1
令an>0.85bn
即250＋（n-1）×50>400×（1.08）n-1×0.85
∴满足不等式的最小正整数n=6.?
故到2014年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％.