四川省雅安市高中2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题（Word版含答案）

雅安市高中2021-2022学年高二上学期期中考试
数学试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．直线l过点，且与直线垂直，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．直线且的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．北京舞蹈学院为了解大一舞蹈专业新生的体重情况，对报到的1000名舞蹈专业生的数据（单位：）进行统计，得到如图所示的体重频率分布直方图，则体重在以上的人数为（ ）
A．100 B．150 C．200 D．250
4．篮球比赛中，张英皓同学投球三次，设事件A为“三次投球全不是三分球”，事件B为“三次全是三分球”，事件C为“三次投球不全是三分球”，则下列结论正确的是（ ）
A．A与C对立 B．B与C对立 C．任两个均对立 D．任两个均不对立
5．已知斜率为1的直线与圆相切于点P，经过点P且与垂直的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．若圆与圆有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．执行如图所示的程序框图，若输出S的值为0.99，则判断框内可填入的条件是（ ）
A．i<100 B．i>100 C．i<99 D．i<98
8．张华和李明相约周日早上8：00～9：00到市图书大厦门口见面，规定先到的同学等候分钟，若还没有等到，则可以离去，则他们两个可以见面的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆的焦距等于，则实数的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．或
10．在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中 分别为椭圆的左 右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知直线，其中为常数且．有以下结论：
①直线的倾斜角为； ②无论为何值，直线总与一定圆相切；
③若直线与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；
④若是直线上的任意一点，则． 其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．某单位有员工人，其中女员工有人，为做某项调查，拟采用分层抽样的方法抽取容量为的样本，则应抽取的男员工人数是_______________________．
14．摇两次骰子，将结果记为，，则为整数的概率是___________.
15．平面上一动点满足，则的轨迹方程为__________．
16．若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则的取值范围是___________.
三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．已知的三个顶点分别为，，，BC中点为D点，求：
（1）边所在直线的方程
（2）边上中线AD所在直线的方程
（3）边的垂直平分线的方程.
18．已知圆C的圆心在直线上，且与x轴的正半轴相切，圆C截y轴所得弦的弦长为.
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点作圆C的切线，求切线的方程.
19．已知椭圆的离心率为，椭圆上长轴顶点和短轴顶点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的左焦点且斜率为2的直线交椭圆于两点，求.
20．某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年100户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600），[600，700），[700，800），[800，900]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中的值并估计居民月均用电量的中位数；
（2）现从第8组和第9组的居民中任选取2户居民进行访问，则两组中各有一户被选中的概率.
21．据不完全统计，某厂的生产原料耗费单位：百万元与销售额单位：百万元如下：
x 2 4 6 8
y 20 35 65 80
变量x、y为线性相关关系．
（1）求线性回归方程必过的点；（2）求线性回归方程；
（3）若实际销售额要求不少于113百万元，则原材料耗费至少要多少百万元．
22．已知点到的距离是点到的距离的2倍.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点与点关于点对称，点，求的最大值;
（3）若过的直线与第二问中的轨迹交于，两点，探索是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
雅安市高中2021-2022学年高二上学期期中考试
参考答案
一、选择题
1．B 由题意，直线l与直线垂直，故，且过点
则直线l的方程为：，即故选：B
2．C 直线方程可化为：，直线的斜率，
直线的倾斜角为.故选：C.
3．D ，， 故选：D．
4．B 篮球比赛中，张英皓同学投球三次，设事件为“三次投球全不是三分球”，
事件为“三次全是三分球”，事件为“三次投球不全是三分球”，对于，事件与事件能同时发生，不是对立事件，故错误；对于，事件与事件是对立事件，故正确；
对于，事件与事件能同时发生，不是对立事件，故错误；对于，事件与事件是对立事件，故错误．故选：．
5．A 圆的圆心为， 因为与垂直，直线的斜率为1，
所以直线的斜率为，因为直线与圆相切于点P，经过点P且与垂直的直线为，所以直线过圆心，所以直线的方程为，即，故选：A
6．A 由题意可知圆的圆心是原点，半径，圆的圆心是，半径，
两圆的圆心距.∵圆与圆有公共点，∴，
即，解得或.∴实数a的取值范围是.故选：A.
7．A 由程序框图知，，
解得，由于是计算后，赋值，因此循环条件是，故选：A．
8．D 如图，设张华到的时间为，李明到的时间为．
可以看成平面中的点，所有情况构成的区域为，区域面积为：，
两人见面所包含的基本时间构成的区域为： ，
由，令得，所以图中阴影部分面积为：，
所以两人见面的概率为：．故选：．
9．A 若椭圆的焦点在轴上，则，，则，解得；若椭圆的焦点在轴上，则，，则，解得.综上所述，或.故选：A.
10．D 因为，而，所以可得，因为在椭圆上，所以，所以，可得，又因为，所以故选：D．
11．D 由可得，等式两边平方得，整理可得，所以曲线表示圆的下半圆，如下图所示：
当直线过点时，则，当直线与曲线相切于点时，，且有，解得（舍）或，
由图可知，当时，直线与曲线有公共点.故选：D.
12．C 对于①，直线的倾斜角的取值范围为，与角a的不同，故①错误；
对于②，点到直线的距离为，则无论为何值，直线总与相切，故②正确；对于③，若直线与两坐标轴都相交，则截距分别为，，则与两坐标轴围成的三角形的面积为，故③正确；
对于④，由②知直线总与相切，则直线l上的点到原点的距离大于等于1，即，故④正确；综上所述，②③④共3个正确；故选：C
二、填空题
13． 由题意，设应抽取的男员工人数是则解得：
14． 记摇两次骰子的结果为，则共有共36种情况，
为整数的有：
共14种情况.
为整数的概率为=故答案为：
15． 解：动点的坐标满足，
动点到和的距离之和等于4，动点的轨迹是以点为焦点的椭圆，设其方程为，由题得.
动点的轨迹方程是.故答案为：．
16． ，圆心为，半径，圆心到直线的距离为.恰有2个点到直线的距离等于1，则，
即，解得.故答案为：
三、解答题
17．解：（1），故边所在直线的方程为：，
化简得到.
（2）中点为，即，故，
故AD所在直线的方程为，即.
（3），故垂直平分线的斜率为，中点为，
故垂直平分线的方程为，即.
18．解：（1）设圆心，因为圆C与x轴的正半轴相切，
所以，圆的半径为，因为圆C截y轴所得弦的弦长为，
所以，即，又，所以，所以圆；
（2）当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
则圆心到切线的距离为，则有，
两边同时平方，解得，所以一条切线为
当斜率不存在时，切线为，故所求切线方程为或.
19．解：（1）由题意：，即短轴一个顶点到长轴一个顶点的距离为
即，而，所以，，所以椭圆的方程：；
（2）由（1），左焦点，直线的方程：，设，
联立直线与椭圆的方程，消去整理得：所以，
20．解：（1），
解得：，设中位数是度，前组的频率之和为，而前组的频率之和为，所以中位数位于第组，由，
解得：，即居民月均用电量的中位数为度.
（2）第组的户数为，分别设为，
第组的户数为，分别设为，则从中任选出户的基本事件为：
，，，，，，，，，
，，，，，共个，
其中两组中各有一户被选中的基本事件为：，，，，，，，共有个，所以第，组各有一户被选中的概率.
21．解：(1)由题意得，，所以线性回归方程必过的点；（2），
，所以线性回归方程为：；
（3）由，得 解得，所以原材料耗费至少要11百万元.
22．解：（1）设点，由題意可得，即，
化简可得.
（2）设，由（1）点满足方程:，代入上式消去可得，即的轨迹为
令，所以，，
所以.因此的最大值为138
（3）当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为，
由，消去，得，显然，
设，则，，
又，，
则
当直线的斜率不存在时，，，
所以定值.
答案第1页，共2页
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