山东临沂罗庄高考补习学校2013届高三十月月考数学（理）试题（含解析）

2012年10月罗庄高考补习学校月考试题
数 学
(时间：120分钟，满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果全集U＝R，A＝{x|2A．(2,3)∪(3,4)　　　　　B．(2,4)
C．(2,3)∪(3,4] D．(2,4]
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
3．若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan 的值为(　　)
A．0 B. C．1 D.
4．已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
5．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8 B．4 C．1 D.
6．已知:命题：“是的充分必要条件”；
命题：“”.则下列命题正确的是
A．命题“∧”是真命题
B．命题“（┐）∧”是真命题
C．命题“∧（┐）”是真命题
D．命题“（┐）∧（┐）”是真命题
7．设方程、的根分别为、，则
A． B． C． D．
8．函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
9．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
10．如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是(　　)
11．已知定义在R上奇函数满足①对任意，都有成立；②当时，则在［-4，4］上根的个数是
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
12．若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：
①P、Q都在函数y=f(x)的图象上；②P、Q关于原点对称．
则称点对[P，Q]是函数Y= f(x)的一对“友好点对”(点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”)．
已知函数，f(x)=，则此函数的“友好点对”有
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13．在实数集R上定义运算○×：x○×y＝(x＋a)(1－y)，若f(x)＝x2，g(x)＝x.若F(x)＝f(x)○×g(x)在R上为减函数，则a的取值范围是________．
14．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝________.
15．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．
16．给出下列命题：
①命题“＞0”的否定是“”；
②命题“若＜，则＜b”的逆命题是真命题；
③是上的奇函数，＞0时的解析式是则＜0时的解析式为；
④若随机变量且，则
其中真命题的序号是_____▲______.（写出所有你认为正确命题的序号）
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知其中
，若f(x)图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于。
（I）求的取值范围
（II）在中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，。当取最大值时，f(A)=1，求b，c的值。
18．(12分)设f(x)＝，g(x)＝ax＋5－2a(a>0)．
(1)求f(x)在x∈[0,1]上的值域；
(2)若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．
19．(12分)在2010年上海世博会临近前的一段时间，为确保博览会期间某路段的交通秩序，交通部门决定对某路段的车流量进行监测，以制定合理的交通限行方案．现测得该路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y＝(v＞0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速率v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？
(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
20．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx.
(1)若函数y＝f(x)在x＝2处有极值－6，求y＝f(x)的单调递减区间；
(2)若y＝f(x)的导数f′(x)对x∈[－1,1]都有f′(x)≤2，求的范围．
21．(13分)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1－ln x.
(1)若f(x)在(0，)上是减函数，求a的取值范围；
(2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．
22．(13分)已知函数，f(x)=(x2—3x+3)ex，x∈[一2，t] (t>－2)．
(1)当t<1时，求函数y= f(x)的单调区间；
(11)设f(一2)=m，f(t) =n，求证m(Ⅲ)设g(x)=f(x)+(x一2) ex，判断并证明是否存在区间[a，b](a>1)使函数y=g(x)在[a,b]上的值域也是[a,b].
罗庄高考补习学校高三理科数学十月月考试题答案

一、
1.解析：由已知，得?UB＝{x|x∈R，x≠3且x≠4}，
∴A∩(?UB)＝(2,3)∪(3,4)． 答案：A
2．解析：∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3. 答案：A
3．解析：∵点(a,9)在函数y＝3x的图象上，∴9＝3a，
∴a＝2，∴tan ＝tan ＝. 答案：D
4．解析：∵－log30.3＝log3>1，且<3.4，
∴log31，
∴log43.6∴5log23.4>5log3>5log43.6， 即5log23.4>log30.3>5log43.6，
故a>c>b. 答案：C
5．解析：由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.
因为a>0，b>0，所以＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4.当且仅当a＝b时，等号成立． 答案：B
6． 答案：B
7 ．答案：A
8．解析：令1－x＝t，则x＝1－t.
由－2≤x≤4，知－2≤1－t≤4，所以－3≤t≤3.
又y＝2sin πx＝2sin π(1－t)＝2sin πt.
在同一坐标系下作出y＝和y＝2sin πt的图象．
由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．
因此这8个交点的横坐标的和为0，即t1＋t2＋…＋t8＝0.
也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0，
因此x1＋x2＋…＋x8＝8. 答案：D
9．解析：∵f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，∴当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.
由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x<6时，f(x)＝0有两个根，即x5＝4，x6＝5.x7＝6也是f(x)＝0的根．
故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7.
答案：B
10． 解析：小圆沿大圆内壁滚动时，在大圆上经过的弧长与小圆上滚动过的弧长应相等，当它们处于如图虚圆位置时，设大圆的圆心为O，∠MOC＝α，则M的长度＝α×1＝α.而∠CO1P＝2α，则C的长度＝2α×＝α，则点P即为M运动后的点，说明α为锐角时，点M在MO上运动；由∠OO1B＝2α可知O的长度＝2α×＝α，则点B即为N运动后的点，说明α为锐角时，点N在OA上运动．以后运动可同理分析 ． 答案：A
11． B 12．C
二、13．解析：由已知，得F(x)＝(x2＋a)(1－x)
＝－x3＋x2－ax＋a，
∵F(x)在R上是减函数， ∴F′(x)＝－3x2＋2x－a≤0恒成立，
∴Δ＝4－12a≤0， ∴a≥. 答案：a≥
14．解析：∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴m＝－3. 答案：－3
15．解析：因为f(x)是偶函数，所以恒有f(－x)＝f(x)，
即－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，化简得x(e－x＋ex)(a＋1)＝0.
因为上式对任意实数x都成立，所以a＝－1. 答案：－1
16．① ③④
三、17．解析：（I）……3分
∵ 图像中相邻的对称轴间的距离不下于
∴…………………5分
（Ⅱ） …………8分
……………①
……………②
由①②，得b=1，c=2;或b=2;c=1.…………………………12分
18．解析：(1)方法一　(导数法)f′(x)＝
＝≥0在x∈[0,1]上恒成立．
∴f(x)在[0,1]上单调递增，∴f(x)在x∈[0,1]上的值域为[0,1]．
方法二　f(x)＝＝x∈(0,1]，用复合函数求值域．
方法三　f(x)＝＝＝2(x＋1)＋－4，用均值不等式求值域．
(2)f(x)在x∈[0,1]上的值域为[0,1]，g(x)＝ax＋5－2a(a>0)在x∈[0,1]上的值域为[5－2a,5－a]．
由条件，只需[0,1]?[5－2a,5－a]，∴?≤a≤4.
19．解析：(1)依题意y＝≤＝12，
当且仅当v＝，即v＝35时等号成立，∴ymax＝12.
(2)由题意得：y＝＞9.∵v2－58v＋1 225＝(v－29)2＋384＞0，
∴v2－74v＋1 225＜0，∴25＜v＜49.
答：(1)当v＝35千米/小时时车流量最大，最大车流量为12千辆/小时；
(2)如果要求在该时段内车流量超过9千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于49千米/小时．
20．解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有，
即，解得.
∴f′(x)＝3x2－5x－2， 由f′(x)＜0，得－＜x＜2，
∴y＝f(x)的单调递减区间是(－，2)．
(2)由
，得.
不等式组确定的平面区域如图中阴影部分所示：
由，得，∴Q点的坐标为(0，－1)．
设z＝，则z表示平面区域内的点(a，b)与点P(1,0)连线的斜率．
∵kPQ＝1，由图可知z≥1或z≤－2，即∈(－∞，－2]∪[1，＋∞)．
21．解析：(1)f′(x)＝－2x＋a－，
∵f(x)在(0，)上为减函数，∴当x∈(0，)时，－2x＋a－＜0恒成立，
即a＜2x＋恒成立．设g(x)＝2x＋，则g′(x)＝2－.∵x∈(0，)时，＞4， ∴g′(x)＜0，∴g(x)在(0，)上单调递减， g(x)＞g()＝3，∴a≤3.
(2)若f(x)既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0必须有两个不等的正实数根x1，x2，即2x2－ax＋1＝0有两个不等的正实数根．
故a应满足??a＞2，
∴当a＞2时，f′(x)＝0有两个不等的正实数根．
不妨设x1＜x2，由f′(x)＝－(2x2－ax＋1) ＝－(x－x1)(x－x2)知，
0＜x＜x1时f′(x)＜0，x1＜x＜x2时f′(x)＞0，x＞x2时f′(x)＜0，
∴当a＞2时f(x)既有极大值f(x2)，又有极小值f(x1)．