2021-2022学年人教版数学九年级下册第28章锐角三角函数知识点总结+典型例题课件(共85张PPT)

(共85张PPT)
锐角三角函数
知识点总结+经典例题
正弦函数
正弦函数的概念
正弦函数的应用
已知边长求正弦值
已知正弦值求边长
∠A的对边
斜边
sin A =
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
∠A的对边
斜边
sin A =
例 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
解：（1）在Rt△ABC中，
因此
（2）在Rt△ABC中，
因此
利用正弦的定义求有关角的正弦值
A
B
C
3
4
（1）
A
B
C
13
5
（2）
求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比.
,
,
,
,
.
.
例 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA .
A (3，0)
在Rt△APO中，由勾股定理得
因此
α
在平面直角坐标系内求锐角的正弦值
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ，
BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
A
B
C
提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
利用正弦求直角三角形的边长
∴ AB = 3BC =3×3=9.
∴
∴
∴
A
B
C
解：∵在 Rt△ABC 中，
∴ .
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，
sinB = h，AB = c，则
BC = ck，
AC = ch.
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，
sinB = h，BC=a，则
归纳：
A
B
C
，
.
解：设BC=7x，则AB=25x，在 Rt△ABC中，由勾股定理得
即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
所以 △ABC 的周长为 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm).
利用方程和正弦求直角三角形中线段的长度
例 在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm， ，求这个三角形的周长．
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, , AC=12.
求sinB的值.
5
13
解:在Rt △ABC中,
设AB=13x，BC=5x,
由勾股定理得：(5x)2+122=(13x)2.
A
B
C
12
解得x=1.所以AB=13，BC=5.
因此
如图，在 △ABC中， AB= BC = 5， ，求 △ABC 的面积.
D
5
5
C
B
A
解：作BD⊥AC于点D，
∴
又∵ △ABC 为等腰三角形, BD⊥AC, ∴ AC=2AD=6，
∴S△ABC=AC×BD÷2=12.
∵ ，
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值.
　如图, ∠C=90°，CD⊥AB. sinB可以由哪两条线段之比得到
若AC=5,CD=3,求sinB的值.
┌
A
C
B
D
解: ∵∠B =∠ACD,
∴sinB = sin∠ACD.
在Rt△ACD中, ，
∴ .
∴ ,
余弦函数和
正切函数
余弦
正切
性质
∠A的邻边
斜边
cos A =
∠A的对边
tan A =
∠A的邻边
∠A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关
1. sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).
2. sinA、 cosA是一个比值（数值）.
3. sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
正弦:
余弦:
注意：
A
B
C
斜边c
∠A的邻边b
∠A的对边a
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切，记作 tanA.
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值.
A
B
C
斜边c
∠A的邻边b
∠A的对边a
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数.
sin A=
cos A=
tan A=
脑中有“图”，心中有“式”
锐角三角函数的定义
A
B
C
斜边c
∠A的邻边b
∠A的对边a
∠A的邻边
斜边
∠A的对边
斜边
∠A的对边
∠A的邻边
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
A
B
C
10
6
解：由勾股定理,得
因此
已知直角三角形两边求锐角三角函数的值
A
B
C
6
又
在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值.
已知一边及一锐角三角函数值求函数值
例 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6，
，求 cosA , tanB 的值．
∴
解：∵在Rt△ABC中，
∴
A
B
C
8
解：∵在 Rt△ABC中，
∴
∴
∴
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8， ，求sinA，cosB 的值．
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值.
解: ∵ ∠ACB＝∠ADC =90°，
∴∠B+ ∠A=90°,
∠ACD+ ∠A =90°.
∴∠B = ∠ACD.
∴
30°，45°，60°角的三角函数值
通过三角函数值求角度
特殊角的三角函数值
两块三角尺中有几个不同的
锐角？分别求出这几个锐角的正
弦值、余弦值和正切值？
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，
另一条直角边长＝
30°
60°
45°
45°
30°
特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值
∴
解：
设两条直角边长为a，则斜边长＝
60°
45°
∴
∴
例 求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260°; （2）
解： （1） cos260°＋sin260°
= 1;
（2）
=0.
特殊角的三角函数值的运算
提示：sin260°表示（sin60°）2
这道例题的两个式子中包含几种运算？运算顺序是怎样的？
计算：
(1) sin30°+ cos45°；
解：（1）原式
(2) sin230°+ cos230°－tan45°.
（2）原式
＝1-1
＝0.
解：在 Rt△ABC中,
A
B
C
∴ ∠A = 45°.
∵
利用三角函数值求特殊角
例 (1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°， ，
，求 ∠A 的度数；
解：在 Rt△ABO中
A
B
O
∴ α = 60°.
(2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径， ，求 α 的度数.
∵
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
求∠A，∠B的度数．
A
B
C
解： 由勾股定理,得
∴ ∠ A=30°,
∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°.
∴
例 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ |＝0，试判断 △ABC 的形状．
∴ tanA＝1， ，
∠C＝180°－45°－60°＝75°，
∴ △ABC 是锐角三角形．
特殊角的三角函数值的应用
解：∵ (1－tanA)2 ＋ | sinB－ |＝0，
∴ ∠A＝45°，∠B＝60°，
已知：
求∠A，∠B的度数.
解：
即
∴
∴
∵
3.求满足下列条件的锐角 α .
(1) 2sinα － = 0； (2) tanα－1 = 0.
∴ ∠α = 60°.
(2) tanα =1，
解：(1) ，
∴ ∠α = 45°.
已知 α为锐角，且 tan α是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一个根，求 2 sin2 α + cos2 α － tan (α +15°)的值．
解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3.
∵ tan α ＞0，∴ tanα =1，∴ α = 45°.
∴ 2 sin2 α + cos2 α － tan (α +15°)
= 2 sin245°+cos245°－ tan60°
如图，在△ABC中，AD⊥BC，M为AB的中点，∠B=30°，
. 求tan∠BCM.
E
M
D
C
B
A
解：过点M作ME⊥BC于点E.
∴CD=AD,又∵M是AB的中点
∴BE=DE，AD=2ME.
又∵∠B=30°，
∵AD⊥BC，
∴
∴
∴
如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，请验证sin2 α + cos2 α =1的结论.
证明：在 Rt△ABC中，a2 + b2 = c2，
b
A
B
C
a
c
α
∴
解直角三角形
依据
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素.
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数
在Rt△ABC中，∠C＝90°， a = 30 , b = 20,
解这个直角三角形.
解：根据勾股定理，得
A
B
C
b=20
a=30
c
∵
∴
如图，在Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
6
75°
已知一边和一锐角解直角三角形
例 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
A
B
C
b
20
c
a
35°
解：
已知一边和一锐角解直角三角形
在Rt△ABC,∠C=90°, ∠A=45°, c=4 解这个直角三角形.
C
B
A
45°
c=4
解：
∵ ∠A=45°，
∴ ∠B=90°—∠A=45.
a
b
∵
∴
∵
∴
也可以：
∵ ∠A= ∠B=45°，
∴ b=a= .
解：过点A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD= AC · sinC = 2sin45°= .
在△ABD中，∠B=30°，
如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.
D
A
B
C
∴
∴
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°， ，
BC = 5， 试求AB的长.
A
C
B
设
在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解.
已知一边和三角函数值解直角三角形
∴
∵
解：
∵
∴
∴ （舍去）.
∴ AB的长为
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
如图，在△ABC中，BC=12， ，B=30°；求AC和AB的长．
H
∴ ， ，
∴ ，
∴AH=8，
在Rt△ACH中， ，
∴ .
在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝72°，c = 14.
根据条件解直角三角形.
A
B
C
b
a
c=14
∵
解：
∵
∴
∴
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC
的平分线 ，解这个直角三角形.
∵ AD平分∠BAC，
D
A
B
C
6
∴∠CAD=30°.
解：
∵
∴
∴∠CAB=60°, ∠B=30°,
（2）两锐角之间的关系；
（3）边角之间的关系.
（1）三边之间的关系；
A
B
a
b
c
C
利用解直角三角形解答简单的问题
A
B
C
小明乘坐索道缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°，缆车行进速度为2m/s，小明需要多长时间才能到达目的地？
A
B
D
C
E
60°
200m
小明需要115.5s才
能到达目的地.
解：
231÷2=115.5（s）
30°
2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km，π取3.142 ，结果取整数）？
O
F
P
Q
FQ是☉O的切线，∠FQO为直角.
最远点
求 PQ的长，要先求∠POQ的度数
建立直角三角形模型解答简单的问题
解：设∠FOQ =α，FQ是⊙O切线，△FOQ是直角三角形．
当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km.
O
F
P
Q
∴ 的长为
小结
归纳总结
解直角三角形的应用：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；
(3)得到数学问题答案；
(4)得到实际问题答案.
注：数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解.
如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米？
A
B
C
解：如图所示，依题意可知∠B= 60°
答：梯子的长至少4.62米.
如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？
0.5m
3m
60°
建立直角三角形模型解答生活问题
0.5m
3m
A
B
C
D
E
60°
分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.因此，本题可抽象为：已知 DE=0.5m，AD=AB=3m，∠DAB=60°，△ACB为直角三角形，求CE的长度.
解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，
3m
A
B
D
E
60°
C
∴AC=ABcos∠CAB=1.5m.
∴ CD=AD－AC=1.5m.
∴ CE=CD+DE=2.0m.
即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m.
F
E
A
(1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m ,
两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°,求南楼的影子在北楼上有多高？
北
A
B
D
C
20m
15m
E
F
南
解：过点E作EF∥BC，
∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.
即南楼的影子在北楼上的高度为
∴
∴
(2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC至少应为多少米
A
B
20m
m
北
D
C
南
答案：BC至少为
巩固练习
图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）.
图1
图2
解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，易得四边形AHEF为矩形，
∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°.
∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°.
在Rt△ACF中，∵ ，
∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，
∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），
答：操作平台C离地面的高度为7.6m．
图2
E
F
·
O
C
B
A
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句.如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设AC代表地面，O为地球球心，C是地面上一点， AC=500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997)？
解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是
看C点，AB就是“楼”的高度，
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km).
即这层楼至少要高19km，即19000m. 这是不存在的.
在Rt△OCB中，∠O
·
O
C
B
A
如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号）
G
∴CD=CG+DG= ( +1.5) (米)，
∴ (米).
解：作AG⊥CD于点G，
则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.
∴
(米).
例 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.6，cos37 °≈0.8，
tan 37°≈0.75）
A
B
37°
45°
400米
P
两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题
A
B
O
37°
45°
400米
P
设PO=x米，
在Rt△POB中，∠PBO=45°，
在Rt△POA中，∠PAB=37°，
OB=PO= x米.
解得x=1200.
解：作PO⊥AB交AB的延长线于O.
即
故飞机的高度为1200米.
如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
(1) 求点B到AD的距离；
答案：点B到AD的距离为20m.
E
(2) 求塔高CD（结果用根号表示）．
解：在Rt△ABE中，
∵∠A=30°，∴∠ABE=60°.
∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°.
∴DE=EB=20m，
则
在Rt△ADC中，∠A=30°，
答：塔高CD为 m.
∴ (m).
E
如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高 (结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗
D′
A
B′
B
D
C′
C
解：由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，D′C′=50m.
∴D′B′=x·tan60°，C′B′=x·tan30°，
∴x·tan60°-x·tan30°=50，
D′
A
B′
B
D
C′
C
∵
∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°.
设AB′=x m.
∴
∴
解：由题意，AC＝AB＝610（米）.
目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81）
(1) 求大楼与电视塔之间的距离AC；
解：DE＝AC＝610（米），
在Rt△BDE中， .
(2) 求大楼的高度CD（精确到1米）.
∴ BE＝DEtan39°．
∵CD＝AE，
∴CD＝AB－DE·tan39°
＝610－610×tan39°
≈116（米）.
例 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
65°
34°
P
B
C
A
有关方向角的实际问题——距离
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC=PA·cos（90°－65°）
=80×cos25°
≈80×0.91
=72.505.
在Rt△BPC中，∠B=34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，
它距离灯塔P大约130n mile．
65°
34°
P
B
C
A
例 海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
B
A
C
60°
有关方向角的实际问题——预测路线
30°
解：过A作AF⊥BC于点F，
则AF的长是A到BC的最短距离.
∵BD∥CE∥AF，
∴∠DBA=∠BAF=60°，
∠ACE=∠CAF=30°，
∴∠BAC=∠BAF－∠CAF
=60°－30°
=30°.
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区
(参考数据： ≈1.732， ≈1.414)
北
东
例1 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号)
利用坡度、坡角解答大坝问题
解：过点A作AF⊥BC于点F，
在Rt△ABF中，
∠ABF =∠α=60°，
则AF=AB·sin60°= (m)，
在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，
则 (m).
故改造后的坡长AE 为 m.
F
例 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
i=1:2
利用坡度、坡角解答山坡问题
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，
AC=240m，
解：
用α表示坡角的大小，由题意可得
因此 α≈26.57°.
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m．
从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
因此
B
A
C
i=1:2
1.如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据： ，
解：在Rt△CDE中，∵ ，
∴ ，
∴EF=AD=6m，AF=DE=7m.
∵四边形AFED是矩形，
答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．
在Rt△ABF中，∵∠B=45°，
∴BF=AF=7m.
∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1（m）
.
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB
的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
(1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
i=1:3
解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4，由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α 为22°.
解：分别过点B , C作BE⊥AD于E ，CF⊥AD于F ，
由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
在Rt△ABE中，
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
i=1:3
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
在Rt△DCF中，同理可得
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)，
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
i=1:3
E
F
解：作DE⊥AB于E ， CF⊥AB于F ，
由题意可知，DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)．
一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是12 米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽 (精确到0.1米， ， ).
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
在Rt△ADE中，
E
F
在Rt△BCF中，同理可得
因此 AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.9 (米)．
答： 路基下底的宽约为22.9米．
(米).
(米).
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
E
F