2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学上册5.3三角形的中位线同步达标测评（Word版，附答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学上册5.3三角形的中位线同步达标测评（Word版，附答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 453.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-19 22:17:09 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学上册《5.3三角形的中位线》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
2．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
3．如图，在△ABC中，点D，点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝14，AC＝10，则DF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（ ）
A．2 B． C． D．
5．如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．4
6．如图，△ABC中，M是BC中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，延长交AC于N，若AB＝10，AC＝16，则MD的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7.5
7．如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（ ）
A．BC＝12 B．GF＝6 C．AD＝12 D．EH∥GF
8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合）点E，F分别是线段DM，MN的中点，若线段EF的最大值为2.5，则AD的长为（ ）
A．5 B． C．2.5 D．3
9．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
10．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，点E、F分别为边AB、CD的中点．若四边形ABCD的面积为24，AC+BD＝14，则EF的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，四边形ABCD中，点E、F分别为AD、BC的中点，延长FE交CD延长线于点G，交BA延长线于点H，若∠BHF与∠CGF互余，AB＝4，CD＝6，则EF的长为 ．
12．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分别为AC、BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为 ．
14．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2．照此规律作下去，则C2021＝ ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E分别是边CA，CB的中点，∠CAB的平分线与DE交于点F，则CF的长为 ．
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝ ．
17．如图，已知EF是△ABC的中位线，DE⊥BC交AB于点D，CD与EF交于点G，若CD⊥AC，EF＝9，EG＝4，则AC的长为 ．
18．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为 ．
19．如图，∠AOB＝60°，点C，D在射线OA上，且OC＝4，CD＝2，P是射线OB上的动点，Q是线段DP的中点，则线段CQ长的最小值为 ．
20．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为D，E为AB的中点，连接DE，AC＝15，BC＝27，则DE＝ ．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．
（1）求证：CE＝DE；
（2）若点F为BC的中点，求EF的长．
22．如图，四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF＝∠CQF．
23．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；
（2）如图2，△ABC中，AB＝9，AC＝5，求线段EF的长．
24．如图：点E、F、G、H分别是线段AC、BD、BC、AD的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
25．如图1，已知E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：可连接AC或BD）；
（2）在电脑上用适当的应用程序画出图1，然后用鼠标拖动点D，当点D在原四边形ABCD的内部，在原四边形ABCD的外部时，图1依次变为图2、图3．图2、图3中四边形EFGH还是平行四边形吗？选择其中之一说明理由．
26．如图一，三角形ABC中，D、E分别为AB、AC的中点．
问题（1）：猜想DE与BC的数量关系；（不必说明理由）
如图二，点O是△ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接．
问题（2）：如果DEFG能构成四边形，根据问题（1）的猜想，则四边形DEFG是否为平行四边形，说明理由．
问题（3）：当点O移动到△ABC外时，（2）中的结论是否仍然成立？画出图形，不必说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：延长AF、BC交于点G，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
在△ACF和△GCF中，
，
∴△ACF≌△GCF（ASA），
∴CG＝AC＝7，AF＝FG，
∴BG＝CG﹣CB＝3，
∵AE＝EB，AF＝FG，
∴EF＝BG＝1.5，
故选：A．
2．解：∵P、F分别是BD、CD的中点，
∴PF＝BC，
同理可得：PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
∵∠EPF＝130°，
∴∠PEF＝∠PFE＝×（180°﹣130°）＝25°，
故选：A．
3．解：∵点D，点E分别是AB，AC的中点，BC＝14，
∴DE＝BC＝7，
在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝10，
∴FE＝AC＝5，
∴DF＝DE﹣FE＝7﹣5＝2，
故选：A．
4．解：取BC的中点G，AD的中点H，连接EG、GF、FH、HE，
∵E，G分别是AB，BC的中点，AC＝2
∴EG＝AC＝1，EG∥AC，
同理：FH＝AC，FH∥AC，EG＝AC，GF∥BD，GF＝BD＝1，
∴四边形EGFH为平行四边形，
∵AC＝BD，
∴GE＝GF，
∴平行四边形EGFH为菱形，
∵AC⊥BD，EG∥AC，GF∥BD，
∴EG⊥GF，
∴菱形EGFH为正方形，
∴EF＝EG＝，
故选：D．
5．解：∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠BFD＝∠ABF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠ABF，
∴∠BFD＝∠DBF，
∴DF＝DB＝BC＝＝3，
故选：B．
6．解∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠NAD，
∵BD⊥AD于D，
∴∠ADB＝∠ADN＝90°，
在△ADB和△ADN中，
，
∴△ADB≌△ADN（ASA），
∴AN＝AB＝10，BD＝DN，
∴NC＝AC﹣AN＝16﹣10＝6，
∵M是BC中点，
∴BM＝CM，
∵BD＝DN，BM＝MC，
∴DM＝NC＝3，
故选：A．
7．解：∵点E为AB的中点，点H为BD的中点，
∴EH为△ABD的中位线，
∴EH＝AD，EH∥AD，
∵点F为CD的中点，点G为AC的中点，
∴GF为△ADC的中位线，
∴GF＝AD，GF∥AD，
∴GF＝EH＝6，AD＝2EH＝12，EH∥GF，所以A选项符合题意，B选项、C选项和D选项不符合题意．
故选：A．
8．解：∵点E，F分别是线段DM，MN的中点，
∴ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝DN，
∴DN最大时，EF最大，
∵线段EF的最大值为2.5，
∴DN＝2EF＝5．
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝＝＝5，
∴AD＝3．
故选：D．
9．解：延长BC 到E 使BE＝AD，则四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3，AD＝6，
∴C是BE的中点，
∵M是BD的中点，
∴CM＝DE＝AB，
∵AC⊥BC，
∴AB＝＝＝5，
∴CM＝，
解法二：延长CM交AD于T．
∵AD∥BC，
∴∠MBC＝∠MDT，
∵MD＝MB，∠BMC＝∠DMT，
∴△BMC≌△DMT（ASA），
∴CM＝MT，DT＝BC＝3，
∵AD＝6，
∴AT＝3，
∵AC＝4，∠CAT＝90°，
∴CT＝＝＝5，
∴CM＝MT＝CT＝．
故选：C．
10．解：如图，取BC边的中点G，连接EG、FG，
∵四边形面积为24，AC⊥BD，
∴AC×BD＝48，
又∵AC+BD＝14，
∴AC＝8，BD＝6，
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EG＝AC，FG＝BD．
又BD＝6，AC＝8，AC⊥BD，
∴EG＝4，FG＝3，EG⊥FG，
∴在直角△EGF中，由用勾股定理，得EF＝＝5，
即EF的长度是5；
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM，
∵E、F分别为AD、BC的中点，M为BD的中点，
∴EM，MF分别为△ADB、△BCD的中位线，
∴EM∥AB，MF∥DC，EM＝AB＝2，MF＝DC＝3，
∵MF∥DC，
∴∠BFM＝∠BCD，
∵∠FGC+∠GCF＝∠BFH＝∠BFM+∠EFM，
∴∠FGC＝∠EFM，
∵EM∥AB，
∴∠FEM＝∠FHB，
∵∠BHF与∠CGF互余，
∴∠CGF+∠BHF＝∠EFM+∠FEM＝90°，
∴∠EMF＝180°﹣∠EFM﹣∠FEM＝90°，
∴△EMF是直角三角形，
∴EF＝，
故答案为：．
12．解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
．
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MN＝DE＝．
故答案是：．
13．解：∵D、E分别为AC、BC的中点，
即DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∴AB＝2DE，DF∥AB，
又∵BF∥AC，
∴BF∥AD，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∵AB⊥BE，
∴S平行四边形ABFD＝AB BE，
∵DE＝2，
∴AB＝2×2＝4，
在Rt△ABC中，
∵∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝2×4＝8，
∴BC＝＝＝4，
∴BE＝BC＝2，
∴S平行四边形ABFD＝4×2＝8，
故答案为8．
14．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵E是BC的中点，ED∥AB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝，AD＝AC＝，
∵EF∥AC，
∴四边形EDAF是菱形，
∴C1＝4×，…，
∴ n＝4×，
∴C2021＝4×＝，
故答案为：．
15．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵点D，E分别是边CA，CB的中点，
∴DE∥AB，AD＝CD，
∴∠AFD＝∠FAG，
∵AF是∠CAB的平分线，
∴∠CAF＝∠GAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∴AD＝DF＝CD，
∴∠AFC＝90°，
延长CF交AB于G，
∵∠AFC＝∠AFG，AF＝AF，
∴△ACF≌△AGF（ASA），
∴AG＝AC＝3，CF＝GF，
∴BG＝2，
过G作GH⊥BC于H，
∴AC∥GH，
∴GH＝，BH＝，
∴CH＝4﹣＝，
∴CG＝＝＝，
∴CF＝CG＝，
故答案为：．
16．解：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示：
∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点，
∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，
∴NF∥BE，MF∥AD，NF＝BE＝5，MF＝AD＝12，
∵∠ACB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵MF∥AD，
∴MF⊥BC，
∵NF∥BE，
∴NF⊥MF，
在Rt△MNF中，由勾股定理得：MN＝＝＝13；
故答案为：13．
17．解：∵EF是△ABC的中位线，
∴AB＝2EF＝18，EF∥AB，AF＝CF，CE＝BE，
∴G是CD的中点，
∴GE是△BCD的中位线，
∴BD＝2EG＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝10，
∵DE⊥BC，CE＝BE，
∴CD＝BD＝8，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝＝＝6；
故答案为：6．
18．解：∵AD平分∠BAC，
∴∠GAF＝∠CAF，
∵CG⊥AD，
∴∠AFG＝∠AFC，
在△AGF和△ACF中，，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG＝AC＝7，GF＝CF，
则BG＝AB﹣AG＝10﹣7＝3．
又∵BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF＝BG＝1.5．
故答案是：1.5．
19．解：如图所示，取OD的中点E，连接EQ，
又∵Q是DP的中点，
∴EQ是△DOP的中位线，
∴EQ∥OP，
∴∠CEQ＝∠AOB＝60°，即点Q在过点E且平行于OB的直线上运动，
如图，当∠CQE＝90°时，CQ⊥EQ，依据垂线段最短可知，此时CQ最短，
∵OC＝4，CD＝2，E是OD的中点，
∴CE＝OC﹣OE＝4﹣OD＝4﹣3＝1，
∴Rt△CEQ中，CQ＝，
故答案为：．
20．解：在△CDA和△CDF中，
，
∴△CDA≌△CDF，
∴AD＝DF，CF＝AC＝15，
∴BF＝BC﹣CF＝12，
∵AD＝DF，AE＝EB，
∴DE＝BF＝6，
故答案为：6．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．（1）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝∠AED＝90°，
在△AEC和△AED中，
，
∴△AEC≌△AED（ASA），
∴CE＝DE；
（2）在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，
∴，
∵△AEC≌△AED，
∴AD＝AC＝6，
∴BD＝AB﹣AD＝4，
∵点E为CD中点，点F为BC中点，
∴．
22．证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．
∵点E是AD的中点，
∴在△ABD中，EM∥AB，EM＝AB，
∴∠MEF＝∠P
同理可证：FM∥CD，FM＝CD．
∴∠MFQ＝∠CQF，
又∵AB＝CD，
∴EM＝FM，
∴∠MEF＝∠MFE，
∴∠P＝∠CQF．
23．（1）证明：在△AEB和△AED中，
，
∴△AEB≌△AED（ASA）
∴BE＝ED，AD＝AB，
∵BE＝ED，BF＝FC，
∴EF＝CD＝（AC﹣AD）＝（AC﹣AB）；
（2）解：分别延长BE、AC交于点H，
在△AEB和△AEH中，
，
∴△AEB≌△AEH（ASA）
∴BE＝EH，AH＝AB＝9，
∵BE＝EH，BF＝FC，
∴EF＝CH＝（AH﹣AC）＝2．
24．证明：如图，连接AB，CD．
∵点E、F、G、H分别是线段AC、BD、BC、AD的中点，
∴EG∥AB，HF∥AB，GF∥DC，EH∥DC，
∴GE∥HF，GF∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
25．（1）证明：如图1，连接AC，
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△DAC的中位线，
∴EF∥AC，；HG∥AC，．
∴EFGH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：四边形EFGH均为平行四边形．
证明（以图2为例）：连接AC．
在△BAC中，∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，；
在△DAC中，∵G、H分别为AD、CD的中点，∴HG∥AC，．
∴EF平行且等于GH．
∴四边形EFGH是平行四边形；
26．解：问题（1）根据三角形的中位线定理猜想：DE＝BC；
问题（2）四边形DEFG是平行四边形．
理由如下：∵D、G分别为AB、AC的中点，
∴DG∥BC且DG＝BC，
∵E、F分别为OB、OC的中点，
∴EF∥BC且EF＝BC，
∴DG∥EF且DG＝EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
问题（3）如图所示，仍然成立．
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
2．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
3．如图，在△ABC中，点D，点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝14，AC＝10，则DF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（ ）
A．2 B． C． D．
5．如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．4
6．如图，△ABC中，M是BC中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，延长交AC于N，若AB＝10，AC＝16，则MD的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7.5
7．如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（ ）
A．BC＝12 B．GF＝6 C．AD＝12 D．EH∥GF
8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合）点E，F分别是线段DM，MN的中点，若线段EF的最大值为2.5，则AD的长为（ ）
A．5 B． C．2.5 D．3
9．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
10．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，点E、F分别为边AB、CD的中点．若四边形ABCD的面积为24，AC+BD＝14，则EF的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，四边形ABCD中，点E、F分别为AD、BC的中点，延长FE交CD延长线于点G，交BA延长线于点H，若∠BHF与∠CGF互余，AB＝4，CD＝6，则EF的长为 ．
12．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分别为AC、BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为 ．
14．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2．照此规律作下去，则C2021＝ ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E分别是边CA，CB的中点，∠CAB的平分线与DE交于点F，则CF的长为 ．
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝ ．
17．如图，已知EF是△ABC的中位线，DE⊥BC交AB于点D，CD与EF交于点G，若CD⊥AC，EF＝9，EG＝4，则AC的长为 ．
18．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为 ．
19．如图，∠AOB＝60°，点C，D在射线OA上，且OC＝4，CD＝2，P是射线OB上的动点，Q是线段DP的中点，则线段CQ长的最小值为 ．
20．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为D，E为AB的中点，连接DE，AC＝15，BC＝27，则DE＝ ．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．
（1）求证：CE＝DE；
（2）若点F为BC的中点，求EF的长．
22．如图，四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF＝∠CQF．
23．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；
（2）如图2，△ABC中，AB＝9，AC＝5，求线段EF的长．
24．如图：点E、F、G、H分别是线段AC、BD、BC、AD的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
25．如图1，已知E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：可连接AC或BD）；
（2）在电脑上用适当的应用程序画出图1，然后用鼠标拖动点D，当点D在原四边形ABCD的内部，在原四边形ABCD的外部时，图1依次变为图2、图3．图2、图3中四边形EFGH还是平行四边形吗？选择其中之一说明理由．
26．如图一，三角形ABC中，D、E分别为AB、AC的中点．
问题（1）：猜想DE与BC的数量关系；（不必说明理由）
如图二，点O是△ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接．
问题（2）：如果DEFG能构成四边形，根据问题（1）的猜想，则四边形DEFG是否为平行四边形，说明理由．
问题（3）：当点O移动到△ABC外时，（2）中的结论是否仍然成立？画出图形，不必说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：延长AF、BC交于点G，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
在△ACF和△GCF中，
，
∴△ACF≌△GCF（ASA），
∴CG＝AC＝7，AF＝FG，
∴BG＝CG﹣CB＝3，
∵AE＝EB，AF＝FG，
∴EF＝BG＝1.5，
故选：A．
2．解：∵P、F分别是BD、CD的中点，
∴PF＝BC，
同理可得：PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
∵∠EPF＝130°，
∴∠PEF＝∠PFE＝×（180°﹣130°）＝25°，
故选：A．
3．解：∵点D，点E分别是AB，AC的中点，BC＝14，
∴DE＝BC＝7，
在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝10，
∴FE＝AC＝5，
∴DF＝DE﹣FE＝7﹣5＝2，
故选：A．
4．解：取BC的中点G，AD的中点H，连接EG、GF、FH、HE，
∵E，G分别是AB，BC的中点，AC＝2
∴EG＝AC＝1，EG∥AC，
同理：FH＝AC，FH∥AC，EG＝AC，GF∥BD，GF＝BD＝1，
∴四边形EGFH为平行四边形，
∵AC＝BD，
∴GE＝GF，
∴平行四边形EGFH为菱形，
∵AC⊥BD，EG∥AC，GF∥BD，
∴EG⊥GF，
∴菱形EGFH为正方形，
∴EF＝EG＝，
故选：D．
5．解：∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠BFD＝∠ABF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠ABF，
∴∠BFD＝∠DBF，
∴DF＝DB＝BC＝＝3，
故选：B．
6．解∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠NAD，
∵BD⊥AD于D，
∴∠ADB＝∠ADN＝90°，
在△ADB和△ADN中，
，
∴△ADB≌△ADN（ASA），
∴AN＝AB＝10，BD＝DN，
∴NC＝AC﹣AN＝16﹣10＝6，
∵M是BC中点，
∴BM＝CM，
∵BD＝DN，BM＝MC，
∴DM＝NC＝3，
故选：A．
7．解：∵点E为AB的中点，点H为BD的中点，
∴EH为△ABD的中位线，
∴EH＝AD，EH∥AD，
∵点F为CD的中点，点G为AC的中点，
∴GF为△ADC的中位线，
∴GF＝AD，GF∥AD，
∴GF＝EH＝6，AD＝2EH＝12，EH∥GF，所以A选项符合题意，B选项、C选项和D选项不符合题意．
故选：A．
8．解：∵点E，F分别是线段DM，MN的中点，
∴ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝DN，
∴DN最大时，EF最大，
∵线段EF的最大值为2.5，
∴DN＝2EF＝5．
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝＝＝5，
∴AD＝3．
故选：D．
9．解：延长BC 到E 使BE＝AD，则四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3，AD＝6，
∴C是BE的中点，
∵M是BD的中点，
∴CM＝DE＝AB，
∵AC⊥BC，
∴AB＝＝＝5，
∴CM＝，
解法二：延长CM交AD于T．
∵AD∥BC，
∴∠MBC＝∠MDT，
∵MD＝MB，∠BMC＝∠DMT，
∴△BMC≌△DMT（ASA），
∴CM＝MT，DT＝BC＝3，
∵AD＝6，
∴AT＝3，
∵AC＝4，∠CAT＝90°，
∴CT＝＝＝5，
∴CM＝MT＝CT＝．
故选：C．
10．解：如图，取BC边的中点G，连接EG、FG，
∵四边形面积为24，AC⊥BD，
∴AC×BD＝48，
又∵AC+BD＝14，
∴AC＝8，BD＝6，
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EG＝AC，FG＝BD．
又BD＝6，AC＝8，AC⊥BD，
∴EG＝4，FG＝3，EG⊥FG，
∴在直角△EGF中，由用勾股定理，得EF＝＝5，
即EF的长度是5；
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM，
∵E、F分别为AD、BC的中点，M为BD的中点，
∴EM，MF分别为△ADB、△BCD的中位线，
∴EM∥AB，MF∥DC，EM＝AB＝2，MF＝DC＝3，
∵MF∥DC，
∴∠BFM＝∠BCD，
∵∠FGC+∠GCF＝∠BFH＝∠BFM+∠EFM，
∴∠FGC＝∠EFM，
∵EM∥AB，
∴∠FEM＝∠FHB，
∵∠BHF与∠CGF互余，
∴∠CGF+∠BHF＝∠EFM+∠FEM＝90°，
∴∠EMF＝180°﹣∠EFM﹣∠FEM＝90°，
∴△EMF是直角三角形，
∴EF＝，
故答案为：．
12．解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
．
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MN＝DE＝．
故答案是：．
13．解：∵D、E分别为AC、BC的中点，
即DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∴AB＝2DE，DF∥AB，
又∵BF∥AC，
∴BF∥AD，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∵AB⊥BE，
∴S平行四边形ABFD＝AB BE，
∵DE＝2，
∴AB＝2×2＝4，
在Rt△ABC中，
∵∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝2×4＝8，
∴BC＝＝＝4，
∴BE＝BC＝2，
∴S平行四边形ABFD＝4×2＝8，
故答案为8．
14．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵E是BC的中点，ED∥AB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝，AD＝AC＝，
∵EF∥AC，
∴四边形EDAF是菱形，
∴C1＝4×，…，
∴ n＝4×，
∴C2021＝4×＝，
故答案为：．
15．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵点D，E分别是边CA，CB的中点，
∴DE∥AB，AD＝CD，
∴∠AFD＝∠FAG，
∵AF是∠CAB的平分线，
∴∠CAF＝∠GAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∴AD＝DF＝CD，
∴∠AFC＝90°，
延长CF交AB于G，
∵∠AFC＝∠AFG，AF＝AF，
∴△ACF≌△AGF（ASA），
∴AG＝AC＝3，CF＝GF，
∴BG＝2，
过G作GH⊥BC于H，
∴AC∥GH，
∴GH＝，BH＝，
∴CH＝4﹣＝，
∴CG＝＝＝，
∴CF＝CG＝，
故答案为：．
16．解：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示：
∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点，
∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，
∴NF∥BE，MF∥AD，NF＝BE＝5，MF＝AD＝12，
∵∠ACB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵MF∥AD，
∴MF⊥BC，
∵NF∥BE，
∴NF⊥MF，
在Rt△MNF中，由勾股定理得：MN＝＝＝13；
故答案为：13．
17．解：∵EF是△ABC的中位线，
∴AB＝2EF＝18，EF∥AB，AF＝CF，CE＝BE，
∴G是CD的中点，
∴GE是△BCD的中位线，
∴BD＝2EG＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝10，
∵DE⊥BC，CE＝BE，
∴CD＝BD＝8，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝＝＝6；
故答案为：6．
18．解：∵AD平分∠BAC，
∴∠GAF＝∠CAF，
∵CG⊥AD，
∴∠AFG＝∠AFC，
在△AGF和△ACF中，，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG＝AC＝7，GF＝CF，
则BG＝AB﹣AG＝10﹣7＝3．
又∵BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF＝BG＝1.5．
故答案是：1.5．
19．解：如图所示，取OD的中点E，连接EQ，
又∵Q是DP的中点，
∴EQ是△DOP的中位线，
∴EQ∥OP，
∴∠CEQ＝∠AOB＝60°，即点Q在过点E且平行于OB的直线上运动，
如图，当∠CQE＝90°时，CQ⊥EQ，依据垂线段最短可知，此时CQ最短，
∵OC＝4，CD＝2，E是OD的中点，
∴CE＝OC﹣OE＝4﹣OD＝4﹣3＝1，
∴Rt△CEQ中，CQ＝，
故答案为：．
20．解：在△CDA和△CDF中，
，
∴△CDA≌△CDF，
∴AD＝DF，CF＝AC＝15，
∴BF＝BC﹣CF＝12，
∵AD＝DF，AE＝EB，
∴DE＝BF＝6，
故答案为：6．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．（1）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝∠AED＝90°，
在△AEC和△AED中，
，
∴△AEC≌△AED（ASA），
∴CE＝DE；
（2）在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，
∴，
∵△AEC≌△AED，
∴AD＝AC＝6，
∴BD＝AB﹣AD＝4，
∵点E为CD中点，点F为BC中点，
∴．
22．证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．
∵点E是AD的中点，
∴在△ABD中，EM∥AB，EM＝AB，
∴∠MEF＝∠P
同理可证：FM∥CD，FM＝CD．
∴∠MFQ＝∠CQF，
又∵AB＝CD，
∴EM＝FM，
∴∠MEF＝∠MFE，
∴∠P＝∠CQF．
23．（1）证明：在△AEB和△AED中，
，
∴△AEB≌△AED（ASA）
∴BE＝ED，AD＝AB，
∵BE＝ED，BF＝FC，
∴EF＝CD＝（AC﹣AD）＝（AC﹣AB）；
（2）解：分别延长BE、AC交于点H，
在△AEB和△AEH中，
，
∴△AEB≌△AEH（ASA）
∴BE＝EH，AH＝AB＝9，
∵BE＝EH，BF＝FC，
∴EF＝CH＝（AH﹣AC）＝2．
24．证明：如图，连接AB，CD．
∵点E、F、G、H分别是线段AC、BD、BC、AD的中点，
∴EG∥AB，HF∥AB，GF∥DC，EH∥DC，
∴GE∥HF，GF∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
25．（1）证明：如图1，连接AC，
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△DAC的中位线，
∴EF∥AC，；HG∥AC，．
∴EFGH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：四边形EFGH均为平行四边形．
证明（以图2为例）：连接AC．
在△BAC中，∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，；
在△DAC中，∵G、H分别为AD、CD的中点，∴HG∥AC，．
∴EF平行且等于GH．
∴四边形EFGH是平行四边形；
26．解：问题（1）根据三角形的中位线定理猜想：DE＝BC；
问题（2）四边形DEFG是平行四边形．
理由如下：∵D、G分别为AB、AC的中点，
∴DG∥BC且DG＝BC，
∵E、F分别为OB、OC的中点，
∴EF∥BC且EF＝BC，
∴DG∥EF且DG＝EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
问题（3）如图所示，仍然成立．