青岛版九年级下册数学5.5二次函数表达式复习练习（word版含解析）

5.5二次函数的表达式复习练习
例、如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，，，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，，，．
求抛物线的函数表达式；
若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积；
在的条件下，点是轴上一点，点是抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，，，为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
练习：
一、选择题
将二次函数配方为的形式为
A. B.
C. D.
已知某二次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是
A. B.
C. D.
如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，则以下结论：无论取何值，的值总是正数当时，其中正确结论是
A.
B.
C.
D.
如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点、在线段上，分别过点、作轴的垂线交抛物线于、两点当四边形为正方形时，线段的长为
A.
B.
C.
D.
已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如表所示：则的值为
A. B. C. D.
关于的二次函数的图象过原点，则的值为
A. B. C. D.
如图，坐标平面上，二次函数的图形与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，且若与的面积比为：，则值为
B.
C.
D.
如图，一条抛物线与轴相交于，两点点在点的左侧，其顶点在线段上移动，点，的坐标分别为，，点的横坐标的最大值为，则点的横坐标的最小值为
A. B. C. D.
如果抛物线经过点和，且与轴交于点，若则这条抛物线的解析式是
A.
B. 或
C.
D. 或
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为______．
10题图 13题图
二次函数的图象经过点，且当时，有最大值，则该二次函数解析式为______．
将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式______．
如图，在平面直角坐标中，已知抛物线与轴交于点、在左侧，与轴交于点，经过点的射线与轴正半轴相交于点，与抛物线的另一个交点为，且点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是轴上一点，且，则点的坐标是________．
抛物线绕坐标原点旋转所得的抛物线的解析式是______ ．
三、解答题
如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与轴相交于点、，与轴相交于点，其中点的横坐标为．
求该二次函数的表达式；
求．
如图，抛物线过点，．
求抛物线的解析式；
在第一象限内的抛物线上有一点，当时，求点的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，异于顶点的点在该函数图象上．
当时，求的值．
当时，若点在第一象限内，结合图象，求当时，自变量的取值范围．
作直线与轴相交于点当点在轴上方，且在线段上时，求的取值范围．
如图，已知，抛物线与轴交于，两点，过点的直线与该抛物线交于点，点是该抛物线上不与，重合的动点，过点作轴于，交直线于点．
求抛物线的解析式；
若，当时，求点坐标；
当中直线为时，是否存在实数，使与相似？若存在请求出的值；若不存在，请说明你的理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：
，
故选：．
根据配方法求解可得．
本题主要考查二次函数的三种形式，解题的关键是熟练掌握配方法的基本步骤．
2.【答案】
【解析】解：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
抛物线满足条件．
故选：．
先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线，然后对各选项进行判断．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质．
3.【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，点的系数法求二次函数的解析式，根据与的图象在轴上方即可得出的取值范围；把代入抛物线即可得出的值；由抛物线与轴的交点求出，的值；根据两函数的解析式直接得出与的关系即可．
【解答】
解：因为，开口向上，顶点坐标为，所以无论取何值，的值总是正数，故正确
因为点在抛物线上，所以，解得，故错误
当时，，故错误
因为点的坐标为，，两点关于直线对称，所以点的坐标为．
又，两点关于直线对称，所以点的坐标为．
所以，所以，故正确．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质与正方形的性质，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．通过待定系数法求出函数解析式，然后设点横坐标为，则，从而得出点坐标为，将点坐标代入解析式求解．
【解答】
解：把代入中得，
解得，
，
设点横坐标为，则，
点坐标为，
，
解得舍或．
．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数图象点的坐标特征，二次函数解析式求法有关知识，利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可得出二次函数的解析式为：，化成一般式即可求得．
【解答】
解：由题意可得二次函数的顶点坐标为，
二次函数的解析式为：，即，
，
故选D．
6.【答案】
【解析】解：把代入得，解得，，
而，
所以的值为．
故选：．
把原点坐标代入解析式得到，再解关于的方程，然后利用二次函数的定义确定的值．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，也考查了二次函数的定义．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．求出顶点和的坐标，由三角形的面积关系得出关于的方程，解方程即可．
【解答】
解：，
顶点，，
，
的面积，的面积，与的面积比为：，
，
解得：．
故选D．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数与轴的交点，以及二次函数解析式求解方法．
当图象顶点在点时，点的横坐标的最大值为，求出；当顶点在点时，点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：，令，求出值，即可求解．
【解答】
解：当图象顶点在点时，点的横坐标的最大值为，
则此时抛物线的表达式为：，
把点的坐标代入得：，
解得：，
当顶点在点时，点的横坐标为最小，
此时抛物线的表达式为：，
令，则或，
即点的横坐标的最小值为，
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
由于已知抛物线与轴的交点坐标，则可交点式，再由得到点坐标为或，然后把和分别代入可求出对应的的值，从而可得抛物线解析式．
【解答】
解：设抛物线解析式为，
，
点坐标为或，
把代入得，解得，此时抛物线解析式为，即；
把代入得，解得，此时抛物线解析式为，即．
即抛物线解析式为或．
故选D．
10.【答案】
【解析】
【分析】
先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得，且轴，从而求得的纵坐标为，代入求得的解析式即可求得的坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得的纵坐标是解题的关键．
【解答】
解：的顶点在抛物线上，
，解得，
抛物线为，
点，
，
，
将绕点顺时针旋转，得到，
点在轴上，且，
，
，
轴，
点的纵坐标为，
代入，得，
解得，
．
故答案为．
11.【答案】
【解析】解：设二次函数的解析式为，
把点代入得：，
解得，
．
故答案为．
根据题意设出函数的顶点式，代入点，根据待定系数法即可求得．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
先确定抛物线的顶点坐标为，再利用点平移的规律得到点平移所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标为，
点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得对应点的坐标为，
所以新抛物线的解析式为，
故答案为．
13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、锐角三角函数的定义，分类讨论是解答本题的关键．
过点作轴，垂足为设，则，则，将点的坐标代入抛物线的解析式可求得的值，最后，依据的值；然后求得，则当点在的上方时可证明，从而可求得点的坐标；当点在的下方时，设与轴交点为，则，可得到，从而可求得的值，然后再求得的解析式，从而可得到点的坐标．
【解答】
解：过点作轴，垂足为．
．
，．
易得抛物线的对称轴为，．
设，则．
，
．
．
将点代入得：，解得．
．
点是点关于抛物线对称轴的对称点，
．
，
．
如下图所示：
当点在的上方时，，
，
．
由可知：，．
．
点的坐标为．
当点在的下方时，如下图所示：
设与轴交点为，则，可得到，
，解得：，
．
设的解析式为，将点和点的坐标代入得：，
解得：，．
综上所述，点的坐标为或
故答案是：或
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的三种形式，利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式是解题的关键．
将抛物线解析式变形为顶点式，再根据“绕原点旋转度就是变成、变成、变成”即可得出结论．
【解答】
解：，
抛物线绕坐标原点旋转所得的抛物线的解析式是．
故答案为：．
15.【答案】解：由题意可设抛物线解析式为：，．
把代入，得，
解得．
故该二次函数解析式为；
令，则则．
因为二次函数图象的顶点坐标为，，则点与点关系直线对称，
所以．
所以．
所以，即．
【解析】考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数关系式以及解直角三角形．解题时，充分利用了二次函数图象的对称性质．
由题意可设抛物线解析式为：，将代入解析式来求的值．
由锐角三角函数定义解答．
16.【答案】解：把点，代入得，解得，
所以抛物线解析式为；
过点作轴于，于，
，，
，，，
，
，
，
设，则，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
整理得，，
解得或舍去，
．
【解析】把点，分别代入中得到关于、的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；
过点作轴于，于，由，得出，从而得出，然后根据得出是等腰直角三角形，设，即可得到，解得即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，表示出线段的长度是解题的关键．
17.【答案】解：当时，，
当时，．
当时，将代入函数表达式，得，
解得或舍弃，
此时抛物线的对称轴，
根据抛物线的对称性可知，当时，或，
的取值范围为．
点与点不重合，
，
抛物线的顶点的坐标是，
抛物线的顶点在直线上，
当时，，
点的坐标为，
抛物线从图的位置向左平移到图的位置，逐渐减小，点沿轴向上移动，
当点与重合时，，
解得或，
当点与点重合时，如图，顶点也与，重合，点到达最高点，
点，
，解得，
当抛物线从图的位置继续向左平移时，如图点不在线段上，
点在线段上时，的取值范围是：或．
【解析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考常压轴题．
利用待定系数法求解即可．
求出时，的值即可判断．
由题意点的坐标为，求出几个特殊位置的值即可判断．
18.【答案】解：将点，代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
当时，直线的解析式为，
设，则，，
则，，
，
，
当时，
解得，舍去，，
；
当时，
解得，舍去，，
；
综上所述，点的坐标为或；
存在，理由如下；
，
要使与相似，
必有或，
当时，
如图，轴，
，根据对称性可得，
将，代入直线解析式中，
得，
解得，；
当时，
如图，过点作于点，
则有，
则∽，
，
在直线上，当时，，
，
，
由
得或
，
，
，，
，
解得，，此时与重合，舍去，
综上，当或时，与相似．
【解析】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数之间的关系，相似三角形的存在性等，解题关键是确定三角形相似时注意分类讨论思想的运用．
将点，的坐标代入即可；
写出直线的解析式，设，则，，写出，的长度，利用这一等量关系列出方程即可；
存在，因为，所以要使与相似，必有或，分两种情况进行讨论，由相似三角形的性质可分别求出的值．
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