2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.3垂径定理同步达标训练(Word版，附答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.3垂径定理同步达标训练(Word版，附答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 254.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-19 18:11:53 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-3垂径定理》同步达标训练（附答案）
1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm．则DC的长为（ ）
A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm
2．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切于点A，与x轴相交于点（1，0），（5，0），圆心C在第四象限，则⊙C的半径是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝CE D．∠AOC＝60°
5．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB＝8cm，OC＝3cm，则⊙O的半径为（ ）
A．cm B．6cm C．5cm D．4cm
6．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．19 B．16 C．18 D．20
7．如图，⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则⊙O的半径长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
8．已知如图⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
9．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．3≤OM＜5 C．4≤OM≤5 D．4≤OM＜5
10．已知⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为（ ）
A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm
11．如图，在半径为2cm的⊙O中有长为2cm的弦AB，则弦AB所对的圆心角的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
12．如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于 度．
13．如图，⊙M的圆心在x轴上，⊙M与坐标轴的交点A、B坐标分别是A（0，4），B（8，0），则点M坐标为 ．
14．如图⊙O中，半径OC平分弦AB，且AB＝6cm，CD＝1cm，则OC＝ cm．
15．如图所示，⊙P表示的是一个摩天轮，最高处A到地面的距离是80.5米，最低处B到地面的距离是0.5米．小红由B处登上摩天轮，乘坐一周需要12分钟．乘坐一周的过程中，小红距离地面的高度是60.5米的时刻是第 分钟．
16．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点P，若AP＝6cm，PD＝4cm，则⊙O的直径为 cm．
17．如图，⊙O的半径OA＝5cm，若弦AB＝8cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为 cm．
18．如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，AB＝4，OC＝1，求⊙O的半径．
19．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
20．如图，在直径为50 cm的圆中，有两条弦AB和CD，AB∥CD，且AB为40 cm，弦CD为48 cm，求AB与CD之间距离．
21．如图，已知⊙O的半径为15，弦AB＝24，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值．
参考答案
1．解：连接OA，
∵半径OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝×6＝3（cm），
∵OD＝4cm，
∴OA＝＝5（cm），
∴OC＝OA＝5cm，
∴DC＝OC﹣OD＝5﹣4＝1（cm）．
故选：D．
2．解：∵CE＝2，DE＝8，
∴OB＝5，
∴OE＝3，
∵AB⊥CD，
∴在△OBE中，得BE＝4，
∴AB＝2BE＝8．
故选：D．
3．解：
过C作CM⊥x轴于M，连接AC，
∵⊙C切y轴于A，
∴∠CAO＝∠AOM＝∠OMC＝90°，
∴四边形ACMO是矩形，
∴OM＝AC，OA＝CM，
∵E（1，0），F（5，0），
∴EF＝5﹣1＝4，
∵CM⊥EF，
∴由垂径定理得：EM＝FM＝2，
∴OM＝2+1＝3，
∴AC＝OM＝3，
即⊙C半径是3．
故选：B．
4．解：根据⊙O的直径AB⊥弦CD于点E
∴CE＝DE．
故选：B．
5．解：∵OC⊥AB于点C，
∴AC＝AB＝4cm．
根据勾股定理，得
OA＝＝5（cm）．
故选：C．
6．解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；
∵∠A＝∠B＝60°，
∴∠ADB＝60°；
∴△ADB为等边三角形；
∴BD＝AD＝AB＝12；
∴OD＝4，
又∵∠ADB＝60°，
∴DE＝OD＝2；
∴BE＝10；
∴BC＝2BE＝20；
故选：D．
7．解：过点O作OC⊥AB于点C
∵弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm
∴OC＝4，AC＝AB＝3
∴OA＝＝5cm
故选：C．
8．解：连接OA，
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝5，
∵圆心O到弦AB的距离OM的长为3，
由垂径定理知，点M是AB的中点，AM＝AB，
由勾股定理可得，AM＝4，所以AB＝8．
故选：D．
9．解：当M与A或B重合时，达到最大值，即圆的半径5；
当OM⊥AB时，为最小值＝＝3．
故OM的取值范围是：3≤OM≤5．
故选：A．
10．解：（1）AB，CD在圆心的同侧如图（一），连接OD，OB，过O作AB的垂线交CD、AB于E，F，
根据垂径定理得ED＝CD＝×16＝8cm，FB＝AB＝×12＝6cm，
在Rt△OED中，OD＝10cm，ED＝8cm，由勾股定理得OE＝＝＝6（cm），
在Rt△OFB中，OB＝10cm，FB＝6cm，则OF＝＝＝8（cm），
AB和CD的距离是OF﹣OE＝8﹣6＝2（cm）；
（2）AB，CD在圆心的异侧如图（二），连接OD，OB，过O作AB的垂线交CD、AB于E，F，
根据垂径定理得ED＝CD＝×16＝8cm，FB＝AB＝×12＝6cm，
在Rt△OED中，OD＝10cm，ED＝8cm，由勾股定理得OE＝＝＝6（cm），
在Rt△OFB中，OB＝10cm，FB＝6cm，则OF＝＝＝8（cm），
AB和CD的距离是OF+OE＝6+8＝14（cm），
AB和CD的距离是2cm或14cm．
故选：C．
11．解：如图，作OD⊥AB，由垂径定理知，点D是AB的中点，
AD＝AB＝，
∵cosA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠AOD＝AOB＝60°，
∴∠AOB＝120°．
故选：C．
12．解：∵A（0，1），B（0，﹣1），
∴AB＝2，OA＝1，
∴AC＝2，
在Rt△AOC中，cos∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，
故答案为60．
13．解：连接AM，设半径为r，
∵OM＝8﹣r，AO＝4，
∴在Rt△AOM中，（8﹣r）2+42＝r2，
解得，r＝5，
∴OM＝8﹣5＝3，
∴M（3，0）．
故答案为：（3，0）．
14．解：连接OA，由垂径定理，得AD＝AB＝3，
设OA＝OC＝r，则OD＝r﹣1，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD2+OD2＝AO2，
即32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，
∴OC＝5．
故答案为：5．
15．解：∵⊙P表示的是一个摩天轮，最高处A到地面的距离是80.5米，最低处B到地面的距离是0.5米，
∴⊙P的半径为40m，
∵乘坐一周的过程中，小红距离地面的高度是60.5米，
∴当E，F点距离地面为60.5m，此时CM＝60.5m，BM＝60m，
∴MP＝20m，
∵EP＝40m，
∴cos∠MPE＝＝，
∴∠MPE＝60°，
同理可得出：∠MPF＝60°，
∵小红由B处登上摩天轮，乘坐一周需要12分钟，
∴当运动到E点时，需要×12＝4（分钟），当运动到F点时，需要×12＝8（分钟），
故答案为：4或8．
16．解：如图，连接OA．
∵OA＝OD（⊙O的半径），OP+PD＝OD，PD＝4cm，
∴OP＝OA﹣4cm；
∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，
∴∠APO＝90°，
∴OA2＝AP2+OP2，即OA2＝（6cm）2+（OA﹣4cm）2，
∴OA＝cm，
∴⊙O的直径为：2OA＝13cm．
故答案是：13．
17．解：∵当点P到圆心O的最短距离时，OP⊥AB，
∵⊙O的半径OA＝5cm，弦AB＝8cm，P为AB上一动点，
∴点P到圆心O的最短距离为：PO＝＝3．
故答案为：3．
18．解：连接OA，
∵OC⊥AB于点C，AB＝4，
∴AC＝BC＝2，
在Rt△AOC中：
∵OC＝1，AC＝2
由勾股定理得：AO＝．
19．解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，
∵OC⊥AB
∴BD＝AB＝×16＝8cm
由题意可知，CD＝4cm
∴设半径为xcm，则OD＝（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，
由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2
（x﹣4）2+82＝x2
解得：x＝10．
答：这个圆形截面的半径为10cm．
20．解：如图1所示，过O作OM⊥AB，
∵AB∥CD，∴ON⊥CD．
在Rt△BMO中，BO＝25cm．
由垂径定理得BM＝AB＝×40＝20cm，
∴OM＝＝＝15cm．
同理可求ON＝＝＝7cm，
∴MN＝OM﹣ON＝15﹣7＝8cm．
当两弦位于圆心的两旁时，如图2所示：
过O作OM⊥AB，
∵AB∥CD，∴ON⊥CD．
在Rt△BMO中，BO＝25cm．
由垂径定理得BM＝AB＝×40＝20cm，
∴OM＝＝＝15cm．
同理可求ON＝＝＝7cm，
则MN＝OM+ON＝15+7＝22（cm）．
综上所示，AB与CD之间的距离为8cm或22cm．
21．解：过O作OC⊥AB，可得C为AB的中点，
∵AB＝24，
∴AC＝BC＝12，
∴OC＝＝＝9．
在Rt△AOC中，OA＝15，AC＝12，
则cos∠OAB＝＝．
1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm．则DC的长为（ ）
A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm
2．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切于点A，与x轴相交于点（1，0），（5，0），圆心C在第四象限，则⊙C的半径是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝CE D．∠AOC＝60°
5．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB＝8cm，OC＝3cm，则⊙O的半径为（ ）
A．cm B．6cm C．5cm D．4cm
6．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．19 B．16 C．18 D．20
7．如图，⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则⊙O的半径长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
8．已知如图⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
9．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．3≤OM＜5 C．4≤OM≤5 D．4≤OM＜5
10．已知⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为（ ）
A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm
11．如图，在半径为2cm的⊙O中有长为2cm的弦AB，则弦AB所对的圆心角的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
12．如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于 度．
13．如图，⊙M的圆心在x轴上，⊙M与坐标轴的交点A、B坐标分别是A（0，4），B（8，0），则点M坐标为 ．
14．如图⊙O中，半径OC平分弦AB，且AB＝6cm，CD＝1cm，则OC＝ cm．
15．如图所示，⊙P表示的是一个摩天轮，最高处A到地面的距离是80.5米，最低处B到地面的距离是0.5米．小红由B处登上摩天轮，乘坐一周需要12分钟．乘坐一周的过程中，小红距离地面的高度是60.5米的时刻是第 分钟．
16．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点P，若AP＝6cm，PD＝4cm，则⊙O的直径为 cm．
17．如图，⊙O的半径OA＝5cm，若弦AB＝8cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为 cm．
18．如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，AB＝4，OC＝1，求⊙O的半径．
19．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
20．如图，在直径为50 cm的圆中，有两条弦AB和CD，AB∥CD，且AB为40 cm，弦CD为48 cm，求AB与CD之间距离．
21．如图，已知⊙O的半径为15，弦AB＝24，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值．
参考答案
1．解：连接OA，
∵半径OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝×6＝3（cm），
∵OD＝4cm，
∴OA＝＝5（cm），
∴OC＝OA＝5cm，
∴DC＝OC﹣OD＝5﹣4＝1（cm）．
故选：D．
2．解：∵CE＝2，DE＝8，
∴OB＝5，
∴OE＝3，
∵AB⊥CD，
∴在△OBE中，得BE＝4，
∴AB＝2BE＝8．
故选：D．
3．解：
过C作CM⊥x轴于M，连接AC，
∵⊙C切y轴于A，
∴∠CAO＝∠AOM＝∠OMC＝90°，
∴四边形ACMO是矩形，
∴OM＝AC，OA＝CM，
∵E（1，0），F（5，0），
∴EF＝5﹣1＝4，
∵CM⊥EF，
∴由垂径定理得：EM＝FM＝2，
∴OM＝2+1＝3，
∴AC＝OM＝3，
即⊙C半径是3．
故选：B．
4．解：根据⊙O的直径AB⊥弦CD于点E
∴CE＝DE．
故选：B．
5．解：∵OC⊥AB于点C，
∴AC＝AB＝4cm．
根据勾股定理，得
OA＝＝5（cm）．
故选：C．
6．解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；
∵∠A＝∠B＝60°，
∴∠ADB＝60°；
∴△ADB为等边三角形；
∴BD＝AD＝AB＝12；
∴OD＝4，
又∵∠ADB＝60°，
∴DE＝OD＝2；
∴BE＝10；
∴BC＝2BE＝20；
故选：D．
7．解：过点O作OC⊥AB于点C
∵弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm
∴OC＝4，AC＝AB＝3
∴OA＝＝5cm
故选：C．
8．解：连接OA，
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝5，
∵圆心O到弦AB的距离OM的长为3，
由垂径定理知，点M是AB的中点，AM＝AB，
由勾股定理可得，AM＝4，所以AB＝8．
故选：D．
9．解：当M与A或B重合时，达到最大值，即圆的半径5；
当OM⊥AB时，为最小值＝＝3．
故OM的取值范围是：3≤OM≤5．
故选：A．
10．解：（1）AB，CD在圆心的同侧如图（一），连接OD，OB，过O作AB的垂线交CD、AB于E，F，
根据垂径定理得ED＝CD＝×16＝8cm，FB＝AB＝×12＝6cm，
在Rt△OED中，OD＝10cm，ED＝8cm，由勾股定理得OE＝＝＝6（cm），
在Rt△OFB中，OB＝10cm，FB＝6cm，则OF＝＝＝8（cm），
AB和CD的距离是OF﹣OE＝8﹣6＝2（cm）；
（2）AB，CD在圆心的异侧如图（二），连接OD，OB，过O作AB的垂线交CD、AB于E，F，
根据垂径定理得ED＝CD＝×16＝8cm，FB＝AB＝×12＝6cm，
在Rt△OED中，OD＝10cm，ED＝8cm，由勾股定理得OE＝＝＝6（cm），
在Rt△OFB中，OB＝10cm，FB＝6cm，则OF＝＝＝8（cm），
AB和CD的距离是OF+OE＝6+8＝14（cm），
AB和CD的距离是2cm或14cm．
故选：C．
11．解：如图，作OD⊥AB，由垂径定理知，点D是AB的中点，
AD＝AB＝，
∵cosA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠AOD＝AOB＝60°，
∴∠AOB＝120°．
故选：C．
12．解：∵A（0，1），B（0，﹣1），
∴AB＝2，OA＝1，
∴AC＝2，
在Rt△AOC中，cos∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，
故答案为60．
13．解：连接AM，设半径为r，
∵OM＝8﹣r，AO＝4，
∴在Rt△AOM中，（8﹣r）2+42＝r2，
解得，r＝5，
∴OM＝8﹣5＝3，
∴M（3，0）．
故答案为：（3，0）．
14．解：连接OA，由垂径定理，得AD＝AB＝3，
设OA＝OC＝r，则OD＝r﹣1，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD2+OD2＝AO2，
即32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，
∴OC＝5．
故答案为：5．
15．解：∵⊙P表示的是一个摩天轮，最高处A到地面的距离是80.5米，最低处B到地面的距离是0.5米，
∴⊙P的半径为40m，
∵乘坐一周的过程中，小红距离地面的高度是60.5米，
∴当E，F点距离地面为60.5m，此时CM＝60.5m，BM＝60m，
∴MP＝20m，
∵EP＝40m，
∴cos∠MPE＝＝，
∴∠MPE＝60°，
同理可得出：∠MPF＝60°，
∵小红由B处登上摩天轮，乘坐一周需要12分钟，
∴当运动到E点时，需要×12＝4（分钟），当运动到F点时，需要×12＝8（分钟），
故答案为：4或8．
16．解：如图，连接OA．
∵OA＝OD（⊙O的半径），OP+PD＝OD，PD＝4cm，
∴OP＝OA﹣4cm；
∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，
∴∠APO＝90°，
∴OA2＝AP2+OP2，即OA2＝（6cm）2+（OA﹣4cm）2，
∴OA＝cm，
∴⊙O的直径为：2OA＝13cm．
故答案是：13．
17．解：∵当点P到圆心O的最短距离时，OP⊥AB，
∵⊙O的半径OA＝5cm，弦AB＝8cm，P为AB上一动点，
∴点P到圆心O的最短距离为：PO＝＝3．
故答案为：3．
18．解：连接OA，
∵OC⊥AB于点C，AB＝4，
∴AC＝BC＝2，
在Rt△AOC中：
∵OC＝1，AC＝2
由勾股定理得：AO＝．
19．解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，
∵OC⊥AB
∴BD＝AB＝×16＝8cm
由题意可知，CD＝4cm
∴设半径为xcm，则OD＝（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，
由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2
（x﹣4）2+82＝x2
解得：x＝10．
答：这个圆形截面的半径为10cm．
20．解：如图1所示，过O作OM⊥AB，
∵AB∥CD，∴ON⊥CD．
在Rt△BMO中，BO＝25cm．
由垂径定理得BM＝AB＝×40＝20cm，
∴OM＝＝＝15cm．
同理可求ON＝＝＝7cm，
∴MN＝OM﹣ON＝15﹣7＝8cm．
当两弦位于圆心的两旁时，如图2所示：
过O作OM⊥AB，
∵AB∥CD，∴ON⊥CD．
在Rt△BMO中，BO＝25cm．
由垂径定理得BM＝AB＝×40＝20cm，
∴OM＝＝＝15cm．
同理可求ON＝＝＝7cm，
则MN＝OM+ON＝15+7＝22（cm）．
综上所示，AB与CD之间的距离为8cm或22cm．
21．解：过O作OC⊥AB，可得C为AB的中点，
∵AB＝24，
∴AC＝BC＝12，
∴OC＝＝＝9．
在Rt△AOC中，OA＝15，AC＝12，
则cos∠OAB＝＝．