【课后练习】人教A版 选择性必修二 4.1　第2课时　数列的递推公式与前n项和（含解析）

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4．1　数列的概念
第2课时　数列的递推公式与前n项和
1．(2021·江西省九江市检测)已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝＋1，则这个数列的第4项是(　　)
A．　　　B．　　　　C．　　　 D．6
2．已知在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－(n∈N*)，使an＝3的n可以为(　　)
A．17 B．16 C．15 D．14
3．已知数列{an}的项满足an＋1＝an，而a1＝1，通过计算a2，a3，则an＝(　　)
A． B．
C． D．
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18＝(　　)
A．33 B．34 C．35 D．36
5．已知a1＝1，an＝2(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是(　　)
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
6．已知数列{an}中，当a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，则a4＝________．
7．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2 021项的乘积a1·a2·a3·…·a2 021＝________．　
8．(2021·江苏省扬州市期中)已知数列{an}满足an＝(n－λ)2n(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，n∈N*，求它的通项公式．
10．已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*).
(1)求证：an＞－2.
(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？
11．(2021·辛集高二检测)已知an＝(n∈N*)，则数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是(　　)
A．a1，a50 B．a1，a44
C．a45，a50 D．a44，a45
12．数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
13．(2021·山西省太原市期中)已知数列{an}的通项公式为an＝(3n＋7)×0.9n，则数列{an}的最大项是(　　)
A．a5 B．a6
C．a7 D．a8
14．已知数列{an}的通项公式为an＝1＋，其中a∈R.
(1)若a＝－9，求数列{an}的最小项和最大项；
(2)若不等式an≤a8对任意的n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．
15．(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　)
A．a8＝34
B．S8＝54
C．S2 020＝a2 022－1
D．a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝a2 022
16．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
参考答案与解析
1.解析：选B.由a1＝1和递推公式可得a2＝＋1＝3，a3＝＋1＝，a4＝＋1＝.
2.解析：选B.由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3，所以数列{an}是周期为3的数列，则由选项知a16＝3，故选B.
3.解析：选B.a1＝1＝，因为an＋1＝an，所以a2＝＝.同理a3＝＝，所以an＝.
4.解析：选B.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，故a2＋a18＝34.
5.解析：选B.由an＝2(an＋1－an)(n∈N*)，知an＋1＝an，
所以an＝an－1＝an－2＝…＝a1，又a1＝1，故an＝，
故选B.
6.解析：当n≥2时，an－an－1＝2n－1，所以a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，所以a4－a1＝15，又a1＝1，所以a4＝16.
答案：16
7.解析：由题意可得，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1，所以数列{an}是以4为周期的数列，并且a1a2a3a4＝1.而2 021＝4×505＋1，所以a1·a2·a3·…·a2 021＝a1＝2.
答案：2
8.解析：因为{an}是递增数列，所以an＋1＞an，所以(n＋1－λ)2n＋1＞(n－λ)2n，即λ＜n＋2，又n∈N*，所以λ＜3.
答案：(－∞，3)
9.解：当n＝1时，a1＝S1＝0；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n＋1－[2(n－1)2－3(n－1)＋1]＝4n－5，
又当n＝1时，不符合上式．
故an＝
10.(1)证明：因为f(x)＝＝＝－2＋，
所以an＝－2＋.
因为n∈N*，所以an＞－2.
(2)解：数列{an}为递减数列．理由如下．
因为an＝－2＋，所以an＋1－an＝－＝－＝＜0，
即an＋1＜an，所以数列{an}为递减数列．
11.解析：选D.an＝＝1＋，
因为442＝1 936，452＝2 025，所以n≤44时，数列{an}单调递减，且01.
所以在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是a44，a45
12.解析：选C.因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9，故选C.
13.解析：选C.令an＋1－an＝(3n＋10)×0.9n＋1－(3n＋7)×0.9n＝0.9n×≤0，解得n≥，又an－an－1＝(3n＋7)×0.9n－(3n＋4)×0.9n－1＝0.9n－1×≥0，解得n≤.又n∈N*，则数列{an}的最大项为a7.
14.解：(1)若a＝－9，则an＝1＋.
于是，结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，且a5＞a6＞a7＞…＞1.
故数列{an}的最小项为a4＝1＋＝0，最大项为a5＝1＋＝2.
(2)对an＝1＋进行变形，可得an＝1＋.
因为不等式an≤a8对任意的n∈N*恒成立，
所以结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知应满足7＜－＜8，解得－16＜a＜－14，故实数a的取值范围是(－16，－14).
15.解析：选BCD.对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误；对于B，S8＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＝54，故B正确；对于C，可得an＝an＋1－an－1(n≥2).则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an＝a1＋(a3－a1)＋(a4－a2)＋(a5－a3)＋…＋(an＋1－an－1).
即Sn＝－a2＋an＋an＋1＝an＋2－1，
所以S2 020＝a2 022－1，故C正确；
对于D，由an＝an＋1－an－1(n≥2)可得，
a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝a2＋(a4－a2)＋(a6－a4)＋…＋(a2 022－a2 020)＝a2 022，故D正确．
16.解：(1)由题意知S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.令n＝1，有S－(12＋1－3)S1－3×(12＋1)＝0，
可得S＋S1－6＝0，解得S1＝－3或S1＝2，即a1＝－3或a1＝2.又an为正数，所以a1＝2.
(2)由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*，可得(Sn＋3)(Sn－n2－n)＝0，则Sn＝n2＋n或Sn＝－3.又数列{an}的各项均为正数，所以Sn＝n2＋n，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1).所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n.又a1＝2＝2×1，适合上式，所以an＝2n(n∈N*).
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