【课后练习】人教A版 选择性必修二 4.1数列的概念&4.2等差数列 强化练习（含解析）

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4.1数列的概念4.2等差数列
强化练习
一、选择题
1．已知数列，3，，…，，…，则9在此数列中的项数是(　　)
A．12　　　　　　　　　 B．13
C．14 D．15
2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是(　　)
A．15 B．30
C．31 D．64
3．若数列{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是(　　)
A．公差为3的等差数列 B．公差为4的等差数列
C．公差为6的等差数列 D．公差为9的等差数列
4．已知等差数列{an}的前9项和为27，a10＝8，则a100＝(　　)
A．100 B．99
C．98 D．97
5．已知等差数列{an}一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为(　　)
A． B．
C．1 D．
6．已知数列{an}的通项公式an＝n cos ，其前n项和为Sn，则S2 020＝(　　)
A．1 006 B．2 020
C．505 D．1 010
7．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝an＋1an，则a31＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
8．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布(　　)
A．30尺 B．90尺
C．150尺 D．180尺
9．已知数列{an}满足：a1＝，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝an(1－an)，则a2 019－a2 020＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
10．(多选)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*).则下列命题为真命题的是(　　)
A．若S3＝S11，则必有S14＝0
B．若S3＝S11，则必有S7是Sn中最大的项
C．若S7>S8，则必有S8>S9
D．若S7>S8，则必有S6>S9
二、填空题
11．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋an＋1(n∈N*)，则a6＝________．
12．已知在等差数列{an}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则an＝________．
13．已知在等差数列{an}中，a2＝2，a4＝8，若abn＝3n－1，则an＝________，b2 020＝________．
14．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋的值为________．
三、解答题
15．在等差数列{an}中，
(1)已知a2＝－1，S15＝75，求an与Sn；
(2)已知d＝2，S100＝10 000，求a1与an.
16．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．
18．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22.
(1)数列{an}的前多少项和最大？
(2)求{|an|}的前n项和Sn.
参考答案与解析
1.解析：选C.根据题意，an＝.由an＝＝9，解得n＝14，即9是此数列的第14项．故选C.
2.解析：选A.设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a4＋a5＝3，所以3a4＝3，即a1＋3d＝1.又由a8＝8得a1＋7d＝8，联立解得a1＝－，d＝，则a12＝－＋×11＝15.故选A.
3.解析：选C.设数列{an}的公差为d，令bn＝a2n－1＋2a2n，则bn＋1＝a2n＋1＋2a2n＋2，所以bn＋1－bn＝a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2－a2n)＝2d＋4d＝6d＝6×1＝6.
4.解析：选C.设等差数列{an}的公差为d，因为{an}为等差数列且S9＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1.所以a100＝a5＋95d＝98.
5.解析：选D.设等差数列{an}的公差为d，由题意得
解得
所以中间一项为a5＝a1＋4d＝＋4×＝.故选D.
6.解析：选D.由题意知，a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，故a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，k∈N，故S2 020＝505×2＝1 010.
7.解析：选B.由已知可得－＝－1，设bn＝，则数列{bn}是以为首项，公差为－1的等差数列，所以b31＝＋(31－1)×(－1)＝－，故a31＝－.
8.解析：选B.由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{an}，其中a1＝5，a30＝1，所以S30＝＝90，即共织布90尺．
9.解析：选D.a1＝，a2＝××＝，a3＝××＝，a4＝××＝，….归纳可知，当n为大于1的奇数时，an＝；当n为正偶数时，an＝.故a2 019－a2 020＝.
10.解析：选ABCD.根据等差数列的性质，若S11－S3＝4(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，S14＝＝7(a7＋a8)＝0；根据等差数列Sn的图象，当S3＝S11时，对称轴是n＝＝7，那么S7是最大值；若S7>S8，则a8<0，那么d<0，所以a9<0.所以S9－S8<0，即S8>S9，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，即S6>S9.故ABCD均正确．
11.解析：因为an＋2＝an＋an＋1，所以a3＝a1＋a2＝2.a4＝a2＋a3＝3，a5＝a3＋a4＝5，a6＝a4＋a5＝8.
答案：8
12.解析：设等差数列{an}的公差为d，依题意，a4＝5，a5＝7，又a5＝a4＋d，得d＝2.
所以a1＝a4－3d＝5－3×2＝－1.
故an＝a1＋2(n－1)＝2n－3.
答案：2n－3
13.解析：由a2＝2，a4＝8，得公差d＝＝3，所以an＝2＋(n－2)×3＝3n－4.所以an＋1＝3n－1.又因为数列{an}的公差不为0，所以结合abn＝3n－1，可得bn＝n＋1，故b2 020＝2 021.
答案：3n－4　2 021
14.解析：因为{an}，{bn}为等差数列，所以＋＝＋＝＝.因为＝＝＝＝，所以＝，即＋＝.
答案：
15.解：(1)设{an}的公差为d.因为{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a2＝－1，S15＝75，
所以
解得a1＝－2，d＝1，
所以an＝－2＋(n－1)×1＝n－3.
Sn＝－2n＋×1＝.
(2)因为S100＝100a1＋×2＝10 000，
所以a1＝1.
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
16.解：设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d.
因为S7＝7，S15＝75，所以解得a1＝－2，d＝1.
所以Sn＝.所以＝n－.
所以数列是等差数列，其首项为－2，公差为.
所以Tn＝－2n＋×＝n2－n.
17.解：(1)依题意
即
由a3＝12，得a1＋2d＝12.③
将③分别代入①②，得
解得－故公差d的取值范围为.
(2)由d<0可知{an}是递减数列，
由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，可得a6>0，a7<0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．
18.解：(1)由解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.
令an＞0，得n＜，
所以当n≤17，n∈N*时，an＞0；
当n≥18，n∈N*时，an＜0.
所以{an}的前17项和最大．
(2)当n≤17，n∈N*时，
|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n.
当n≥18，n∈N*时，
|a1|＋|a2|＋…＋ |an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2(－×172＋×17)－(－n2＋n)
＝n2－n＋884.
所以Sn＝
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