【课后练习】人教A版 选择性必修二 4.2　4.2.1　第1课时　等差数列的概念及通项公式（含解析）

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4．2　等差数列
4．2.1　等差数列的概念
第1课时　等差数列的概念及通项公式
1．下列数列中不是等差数列的为(　　)
A．－10，－12，－14，－16，－18
B．－2，－1，0，1，2
C．5，8，11，14
D．1，2，2，2，2
2．(2021·陕西省韩城市象山中学月考)在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101＝(　　)
A．49　　　　　　　　 B．50
C．51 D．52
3．已知在等差数列{an}中各项都不相等，若a1＝2且a4＋a8＝a，则公差d＝(　　)
A．0 B．
C．2 D．0或
4．已知首项为－24的等差数列{an}从第10项起为正数，则公差d的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
5．(2021·山东省青岛市期末)在数列{an}中，若a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，则a4＝(　　)
A． B．
C． D．
6．一个等差数列的连续4项是a，x，b，2x，则＝________．
7．(2021·天津市耀华中学高二期末)在等差数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3，则数列{an}的通项公式为________．
8．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝________．
9．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.
(1)求数列的第10项；
(2)112是数列{an}的第几项？
(3)在80到110之间数列{an}有多少项？
10．(2021·东北师大附中高一检测)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，设bn＝，n∈N*.求证数列{bn}是等差数列，并求其通项公式bn.
11．(多选)下列关于等差数列的命题中正确的是(　　)
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列
12．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且＋＝(n≥2)，则xn＝(　　)
A． B．
C． D．
13．(2021·徐州高二检测)若数列{an}是公差不为0的等差数列，ln a1，ln a2，ln a5成等差数列，则的值为________．
14．已知等差数列{an}中，a2＝4，a6＝16.
(1)证明：数列是公差为－2的等差数列；
(2)若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，求新数列的第41项．
15．如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合).若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)
A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列
C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列
16．在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．给出下列命题：
①数列{(－1)n}是“等方差数列”；
②若{an}是“等方差数列”，则{a}是等差数列；
③若{an}是“等方差数列”，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是“等方差数列”；
④若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确的命题为________．(填序号)
参考答案与解析
1.解析：选D.A中数列的公差为－2；B中数列的公差为1；C中数列的公差为3；D中，2－1＝1，2－2＝0，2－2＝0，2－2＝0，差不是同一个常数，因此该数列不是等差数列．
2.解析：选D.由条件可得an＋1－an＝，故{an}是等差数列，从而a101＝a1＋(101－1)×＝2＋50＝52.
3.解析：选B.根据题意知d≠0，a4＋a8＝a，所以a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2.又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，解得d＝或d＝0(舍去)，故选B.
4.解析：选D.易知an＝－24＋(n－1)d.由题意，可知第10项是该等差数列的第一个正数项，则
解得5.解析：选A.由题意可得＝＋，解得a4＝.
6.解析：由题意，得，所以a＝x，b＝x，所以＝.
答案：
7.解析：由数列{an}为等差数列，a5＝4a3，得a1＋4d＝4(a1＋2d)，联立a1＝1，可得d＝－，所以an＝1＋(n－1)×＝－n＋(n∈N*).
答案：an＝－n＋
8.解析：设数列的公差为d，因为－＝－＝＝2d，所以d＝.
同理，－＝4d＝4×＝，所以＝＋＝＋＝，所以a10＝.
答案：
9.解：设数列{an}的公差为d，则
解得
(1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.
(2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
由112＝3n－5，解得n＝39，39∈N*.
所以112是数列{an}的第39项．
(3)由80<3n－5<110，解得28所以n的取值为29，30，…，38，共10个，即在80到110之间数列{an}有10项．
10.解：方法一：由条件知，＝＝＋1，
所以－＝1，所以bn＋1－bn＝1.又b1＝＝1，
所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
故数列{bn}的通项公式为bn＝n.
方法二：由条件，得bn＋1－bn＝－＝－＝＝1.又b1＝＝1，
所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
故数列{bn}的通项公式为bn＝n.
11.解析：选BCD.对于A，取a＝1，b＝2，c＝3，可得a2＝1，b2＝4，c2＝9，显然，a2，b2，c2不成等差数列，故A错；对于B，取a＝b＝c，可得2a＝2b＝2c，故B正确；
对于C，因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b，所以(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，即ka＋2，kb＋2，kc＋2成等差数列，故C正确；对于D，a＝b＝c≠0 ＝＝，故D正确．综上可知，B，C，D正确．故选BCD.
12.解析：选C.由已知可得数列是等差数列，且＝1，＝，故公差d＝，则＝1＋(n－1)×＝，故xn＝，故选C.
13.解析：数列{an}是公差不为0的等差数列，ln a1，ln a2，ln a5 成等差数列，
所以2ln (a1＋d)＝ln a1＋ln (a1＋4d)，
所以(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，
所以a＋2a1d＋d2＝a＋4a1d，
解得d＝2a1，所以＝＝3.
答案：3
14.(1)证明：设数列{an}的公差为d，因为a2＝4，a6＝16，
所以4d＝a6－a2＝12，得d＝3，
所以an＝a2＋(n－2)d＝3n－2，
设bn＝an－3n，则bn＝－2n－，
所以bn＋1－bn＝－2，
即数列是公差为－2的等差数列．
(2)解：由(1)得a1＝4－3＝1，设新数列为{cn}，其公差为d1，则c1＝1，c5＝4，所以4d1＝3，得d1＝，
所以c41＝1＋(41－1)×＝31.
15.解析：选A.由题意，过点A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分别作直线B1Bn＋1的垂线，高分别记为h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根据平行线的性质，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等差数列，又Sn＝×|BnBn＋1|×hn，|BnBn＋1|为定值，所以{Sn}是等差数列．
16.解析：对于①，因为[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0，所以{(－1)n}是“等方差数列”；
对于②，根据“等方差数列”和等差数列的定义，易得{a}是等差数列；
对于③，设a－a＝p，当n≥2，n∈N*时，a－a＝a－a＋a－a＋…＋a－a＝kp为常数，故{akn}为“等方差数列”；
对于④，数列{an}满足a－a＝p，an－an－1＝d(p，d为常数，n≥2，n∈N*)，若d＝0，则{an}为常数列．
若d≠0，则两式相除得an＋an－1＝(n≥2，n∈N*)，所以an＝为常数，
即{an}为常数列．
答案：①②③④
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