【课后练习】人教A版 选择性必修二 4.2　4.2.1　第2课时　等差数列的性质及应用（含解析）

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4．2　等差数列
4．2.1　等差数列的概念
第2课时　等差数列的性质及应用
1．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(　　)
A．5　　　　　　　　　 B．8
C．10 D．14
2．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　)
A．a1＋a101＞0 B．a2＋a101＜0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
3．在等差数列－5，－，－2，－，…的每相邻两项插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新数列的通项公式为　(　　)
A．an＝n－ B．an＝－5－(n－1)
C．an＝－5－(n－1) D．an＝n2－3n
4．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是(　　)
A．{|an|} B．{an＋1－an}
C．{pan＋q}(p，q为常数) D．{2an＋n}
5．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3 L，下面3节的容积共4 L，则第5节的容积为(　　)
A．1 L B． L
C． L D． L
7．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
8．已知数列{an}满足a1＝1，若点(n∈N*)在斜率为1的直线上，则an＝________．
9．(1)已知数列{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13，求数列{an}的通项公式；
(2)在等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，求n的值．
10．通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km，4 km，8 km 高度的气温．
11．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11＝(　　)
A．14 B．15
C．16 D．17
12．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．1或2
13．(多选)下列关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题中真命题是(　　)
A．数列{an}是递增数列
B．数列{nan}是递增数列
C．数列是递增数列
D．数列{an＋3nd}是递增数列
14．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则公差d＝________，|m－n|＝________．
15．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________．
16．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？
参考答案与解析
1.解析：选B.由等差数列的性质可得
a1＋a7＝a3＋a5＝10，
又因为a1＝2，所以a7＝8.
2.解析：选C.根据等差数列的性质得，
a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，
由于a1＋a2＋…＋a101＝0，所以a51＝0，
又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选C.
3.解析：选A.新数列的公差d＝＝，所以an＝－5＋(n－1)×＝n－.故选A.
4.解析：选BCD.数列－1，1，3是等差数列，取绝对值后1，1，3不是等差数列，A不成立．若{an}是等差数列，利用等差数列的定义，{an＋1－an}为常数列，故是等差数列，B成立．若{an}的公差为d，则(pan＋q)－(pan－1＋q)＝p(an－an－1)＝pd为常数，故{pan＋q}是等差数列，C成立．(2an＋n)－(2an－1＋n－1)＝2(an－an－1)＋1＝2d＋1，故{2an＋n}是等差数列，D成立．故选BCD.
5.解析：选B.设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有
即解得
则a5＝a1＋4d＝，故第5节的容积为 L．
6.6．已知在等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，则a6＝________，a4＋a8＝________．
解析：根据等差数列的性质，可得a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，所以a6＝.所以a4＋a8＝2a6＝.
答案：　
7.解析：设这三个数为a－d，a，a＋d，
则解得或
所以这三个数为－1，3，7或7，3，－1.
则这三个数的积为－21.
答案：－21
8.解析：由题意可得，为等差数列，且公差d＝1.
又a1＝1，所以＝＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.
答案：n2
9.解：(1)设an＝a1＋(n－1)d，
则解得
所以数列{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)因为a2＋a5＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＝2a1＋5d＝4，
所以d＝，所以an＝a1＋(n－1)×＝n－.
由an＝n－＝33，解得n＝50.
10.解：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，
解得d＝－6.5，
所以an＝15－6.5n.
所以a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，
即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃.
11.解析：选C.设数列{an}的公差为d，因为a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，所以5a8＝120，解得a8＝24，所以a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.
12.解析：选D.因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
13.解析：选AD.因为对于公差d>0的等差数列{an}，an＋1－an＝d>0，所以数列{an}是递增数列成立，A是真命题．对于数列{nan}，第n＋1项与第n项的差等于(n＋1)·an＋1－nan＝(n＋1)d＋an，不一定是正实数，B是假命题．对于数列，第n＋1项与第n项的差等于－＝＝，不一定是正实数，C是假命题．对于数列{an＋3nd}，第n＋1项与第n项的差等于an＋1＋3(n＋1)d－an－3nd＝4d>0，数列{an＋3nd}是递增数列成立，D是真命题．故选AD.
14.解析：设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，
则a1＋a4＝a2＋a3＝2.再设此等差数列的公差为d，
则2a1＋3d＝2，因为a1＝，所以d＝.
所以a2＝＋＝，a3＝＋1＝，a4＝＋＝.
所以|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝＝.
答案：　
15.解析：因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19.
又{cn}为21项的“对称”数列，所以c2＝c20＝19.
答案：19
16.解：(1)由题意，等差数列{an}的通项公式为an＝3－5(n－1)＝8－5n，设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N*.
所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27.
(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，所以数列{bn}也为等差数列，且首项b1＝－7，公差d′＝－20，所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.
(3)因为m＝4n－1，n∈N*，
所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439，
所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项．
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