【课后练习】人教A版 选择性必修二 4.2　4.2.2　第1课时　等差数列前n项和公式及其性质（含解析）

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4．2　等差数列
4．2.2　等差数列的前n项和公式
第1课时　等差数列前n项和公式及其性质
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是(　　)
A．48　　　　　　　　 B．60
C．72 D．24
2．在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a8＋a9＋a13)＝24，则此数列前13项的和是(　　)
A．13 B．26
C．52 D．56
3．已知在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－11，－＝2，则S11＝(　　)
A．－11 B．11
C．10 D．－10
4．已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝(　　)
A． B．
C． D．
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m>1且am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝(　　)
A．38 B．20
C．10 D．9
6．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a7＋a12＝30，则a7＝________，S13＝________．
7．在项数为2n＋1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n＝________．
8．等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为________．
9．在等差数列{an}中．
(1)若a4＋a17＝20，求S20；
(2)若共有n项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n项和Sn＝286，求n.
10．(2021·江苏省张家港高级中学期中)已知等差数列{an}的前三项为a－1，4，2a，记前n项和为Sn.
(1)设Sk＝2 550，求a和k的值；
(2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．
11．设等差数列{an}的前n和为Sn，若－am＜a1＜－am＋1(m＞1，m∈N*)，则必有(　　)
A．Sm＜0且Sm＋1＞0 B．Sm＞0且Sm＋1＞0
C．Sm＜0且Sm＋1＜0 D．Sm＞0且Sm＋1＜0
12．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d. 已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则(　　)
A．a6＞0
B．－＜d＜－3
C．Sn＜0时，n的最小值为13
D．数列中最小项为第7项
13．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
14．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝Sn·Sn＋1，则Sn＝________．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋an＋1＝2n＋1(n∈N*)，则S21的值为________．
16．已知等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值．
参考答案与解析
1.解析：选A.由条件可知解得
S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a9＝3(a1＋8d)＝48.故选A.
2.解析：选B.由等差数列的性质，可得a3＋a5＝2a4，a8＋a9＋a13＝a7＋a10＋a13＝3a10，
由3(a3＋a5)＋2(a8＋a9＋a13)＝24，
可得3×2a4＋2×3a10＝24，即a4＋a10＝4，
故数列{an}的前13项和为S13＝＝＝＝26.故选B.
3.解析：选A.因为{an}为等差数列，所以为等差数列．首项＝a1＝－11，设的公差为d，则－＝2d＝2，所以d＝1.所以＝－11＋10d＝－1.所以S11＝－11.
4.解析：选B.根据等差数列的性质和前n项和公式，有＝＝＝＝＝.故选B.
5.解析：选C.S2m－1＝＝(2m－1)am，am－1＋am＋1－a＝0 2am＝a.由S2m－1＝38，可知am>0.所以am＝2，(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故选C.
6.解析：因为a2＋a7＋a12＝3a7＝30，所以a7＝10，S13＝＝13a7＝13×10＝130.
答案：10　130
7.解析：由＝＝，
解得n＝10.
答案：10
8.解析：设等差数列为{an}，其前n项和为Sn，则由题知S3＝30，S6＝100.又S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，所以2(S6－S3)＝(S9－S6)＋S3，即140＝S9－100＋30，解得S9＝210.
答案：210
9.解：(1)方法一：由等差数列的性质，知a1＋a20＝a4＋a17＝20，所以S20＝(a1＋a20)＝10×20＝200.
方法二：设等差数列{an}的公差为d，
则a4＋a17＝2a1＋19d＝20，所以S20＝20a1＋d＝10(2a1＋19d)＝10×20＝200.
(2)由题意，知a1＋a2＋a3＋a4＝21，an＋an－1＋an－2＋an－3＝67，由等差数列的性质，得a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，
所以4(a1＋an)＝21＋67＝88，所以a1＋an＝22.
又Sn＝，所以286＝，所以n＝26.
10.解：由已知得4×2＝a－1＋2a，解得a＝3，
所以a1＝2，公差d＝a2－a1＝2.
(1)由Sk＝ka1＋d，得2k＋×2＝2 550，
即k2＋k－2 550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)，
所以a＝3，k＝50.
(2)由Sn＝na1＋d，得Sn＝2n＋×2＝n2＋n，所以bn＝＝n＋1.
又b3，b7，b11，…，b4n－1仍是等差数列，且共有n项，
所以b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝＝＝2n2＋2n.
11.解析：选D.由题意，a1＋am＞0，a1＋am＋1＜0，所以Sm＝＞0，Sm＋1＝＜0.
12.解析：选ABCD.因为S12＞0，a7＜0，所以＞0，a1＋6d＜0.所以a6＋a7＞0，a6＞0，A正确．
所以2a1＋11d＞0，a1＋5d＞0.
又因为a3＝a1＋2d＝12，所以－＜d＜－3，a1＞0，B正确．S13＝＝13a7＜0.
所以Sn＜0时，n的最小值为13，C正确．
对于数列，n≤6时，＞0；
7≤n≤12时，＜0；n≥13时，＞0.
当7≤n≤12时，Sn＞0并随着n的增大而减小；an＜0，并随着n的增大而减小，所以＜0，随着n的增大而增大．所以n＝7时，取得最小值．
综上可得，ABCD都正确．
故选ABCD.
13.解析：依题意定义知，a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2，进行累加求和得an＝1＋2(n－1)＝2n－1，故数列{an}的前n项和Sn＝2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝2×－n＝n2.
答案：n2
14.解析：当n＝1时，S1＝a1＝－1，所以＝－1.
因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，
所以－＝1，即－＝－1，
所以是以－1为首项，－1为公差的等差数列，
所以＝(－1)＋(n－1)·(－1)＝－n，所以Sn＝－.
答案：－
15.解析：将n＝1代入an＋an＋1＝2n＋1得a2＝3－1＝2，由an＋an＋1＝2n＋1①，可以得到an＋1＋an＋2＝2n＋3②，②－①得an＋2－an＝2，所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，则a21＝1＋10×2＝21，a20＝2＋9×2＝20，所以S21＝(a1＋a3＋a5＋…＋a21)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝＋＝231.
答案：231
16.解：(1)因为S4＝28，所以＝28，即a1＋a4＝14，所以a2＋a3＝14，又a2a3＝45，公差d＞0，所以a2＜a3，所以a2＝5，a3＝9，
所以解得
所以an＝4n－3，n∈N*.
(2)由(1)，知Sn＝2n2－n，
所以bn＝＝，
所以b1＝，b2＝，b3＝.
又{bn}也是等差数列，所以b1＋b3＝2b2，
即2×＝＋，解得c＝－(c＝0舍去).
当c＝－时，bn＝＝2n，
所以bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(常数)，符合题意．故所求c的值为－.
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