2021_2022新教材高中数学第二章圆与方程1第一课时圆的标准方程学案苏教版选择性必修第一册(学案+课件)

文档属性

名称 2021_2022新教材高中数学第二章圆与方程1第一课时圆的标准方程学案苏教版选择性必修第一册(学案+课件)
格式 zip
文件大小 3.6MB
资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2021-12-19 19:35:07

文档简介

圆的方程
新课程标准解读 核心素养
回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程 直观想象、数学运算
第一课时 圆的标准方程
月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、吟咏月亮.有诗道:“明月四时有,何事喜中秋?瑶台宝鉴,宜挂玉宇最高头;放出白豪千丈,散作太虚一色.万象入吾眸,星斗避光彩,风露助清幽.”
[问题] 如果把天空看作一个平面,在上面建立一个平面直角坐标系,那么月亮的坐标方程如何表示?
                                    
                                    
                                    
知识点 圆的标准方程
1.圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径.
2.圆的要素:圆心和半径,如图所示.
3.圆的标准方程:圆心为C(a,b),半径长为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆.(  )
(2)若圆的标准方程为(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),此圆的半径一定是a.(  )
答案:(1)× (2)×
2.给定圆的方程:(x-2)2+(y+8)2=9,则过坐标原点和圆心的直线方程为(  )
A.4x-y=0       B.4x+y=0
C.x-4y=0 D.x+4y=0
解析:选B 由圆的标准方程,知圆心为(2,-8),则过坐标原点和圆心的直线方程为y=-4x,即4x+y=0.
3.经过原点,圆心在x轴的负半轴上,半径为2的圆的方程是________________.
解析:圆心是(-2,0),半径是2,所以圆的方程是(x+2)2+y2=4.
答案:(x+2)2+y2=4
圆的标准方程的定义
[例1] 写出圆心为A(2,-3),半径为5的圆的标准方程,并判断点M1(5,-7),M2(-2,-1)是否在这个圆上.若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内?
[解] 圆心为A(2,-3),半径为5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25.
把点M1(5,-7)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边,得(5-2)2+(-7+3)2=25,左右两边相等,点M1的坐标满足圆的方程,所以点M1在这个圆上.
把点M2(-2,-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边,得(-2-2)2+(-1+3)2=20,左右两边不相等,点M2的坐标不满足圆的方程,所以点M2不在这个圆上.
又因为点M2到圆心A的距离d=|M2A|==2<5.
故点M2在圆内.
判断点P与圆C位置关系的方法
方法一:利用点P到圆心C的距离d与半径r大小关系来判断:
若d>r则点P在圆外;
若d=r则点P在圆上;
若d方法二:根据点M(x0,y0)的坐标与圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的关系判断:
(x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在圆外;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在圆上;
(x0-a)2+(y0-b)2<r2 点在圆内.    
[跟踪训练]
已知两点P1(3,8)和P2(5,4),求以线段P1P2为直径的圆的标准方程,并判断点M(5,3),N(3,4),P(3,5)是在圆上、圆内、还是圆外.
解:设圆心为C(a,b),半径为r,则由C为线段P1P2的中点得a==4,b==6,即圆心为C(4,6),
由两点间的距离公式得r=|CP1|==,故所求圆的标准方程为(x-4)2+(y-6)2=5.
法一:分别计算点M,N,P到圆心C的距离:
|CM|==>,
|CN|==,
|CP|==<,
所以点M在圆外,点N在圆上,点P在圆内.
法二:由于(5-4)2+(3-6)2=10>5,故点M在圆外;
由于(3-4)2+(4-6)2=5,故点N在圆上;
由于(3-4)2+(5-6)2=2<5,故点P在圆内.
求圆的标准方程
[例2] (链接教科书第52页例1)求经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的方程.
[解] 法一(待定系数法):
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
则有解得
∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.
法二(几何法):
由题意知OP是圆的弦,其垂直平分线为x+y-1=0.
∵弦的垂直平分线过圆心,
∴由得
即圆心坐标为(4,-3),半径r==5.
∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.
[母题探究]
(变设问)本例条件不变,试判断点M(2,1)在圆上还是在圆内或圆外?
解:因为(2-4)2+(1+3)2=20<25,
所以点M在圆内.
求圆的标准方程的两种方法
(1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
(2)几何法即是利用平面几何知识,求出圆心和半径,然后写出圆的标准方程.
[跟踪训练]
1.圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4),则圆的标准方程为________.
解析:设圆心为C(0,b),
则(3-0)2+(-4-b)2=52,
∴b=0或b=-8,
∴圆心为(0,0)或(0,-8),
又r=5,
∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.
答案:x2+y2=25或x2+(y+8)2=25
2.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),求该三角形的外接圆的方程.
解:法一:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
因为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)都在圆上,所以它们的坐标都满足圆的标准方程,
于是有
解得
故所求圆的标准方程是(x+3)2+(y-1)2=25.
法二:因为A(0,5),B(1,-2),所以线段AB的中点的坐标为,直线AB的斜率kAB==-7,因此线段AB的垂直平分线的方程是y-=,即x-7y+10=0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x+y+5=0.
由得圆心的坐标为(-3,1),
又圆的半径长r==5,
故所求圆的标准方程是(x+3)2+(y-1)2=25.
圆的标准方程的实际应用
[例3] (链接教科书第52页例2)赵州桥位于我国河北省,是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥.如图所示,赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥,利用解析几何的方法,用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径.
[解] 作出示意图如图所示,其中AB表示跨度,O为AB中点,OC为圆拱高.以O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,根据已知条件有B,C(0,b).
可以看出,圆弧所在圆的圆心在y轴的负半轴上,因此可设圆心的坐标为(0,t),半径为r,则因为B,C都在圆上,
所以
由此可解得r=.
求与圆的方程有关的实际应用问题的解题步骤
    
[跟踪训练]
某圆拱桥的水面跨度20 m,拱高4 m.现有一船,宽10 m,水面以上高3 m,这条船能否从桥下通过?
解:建立如图所示的坐标系,使圆心C在y轴上. 依题意,有A(-10,0),B(10,0),P(0,4),D(-5,0),E(5,0).设这座圆拱桥的拱圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,于是有
解此方程组,得a=0,b=-10.5,r=14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52(0≤y≤4).把点D的横坐标x=-5代入上式,得y≈3.1.由于船在水面以上高3 m,3<3.1,所以该船可以从桥下通过.
1.若某圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径长分别为(  )
A.(-1,5),       B.(1,-5),
C.(-1,5),3 D.(1,-5),3
答案:B
2.圆心为(1,-2),半径为3的圆的方程是(  )
A.(x+1)2+(y-2)2=9
B.(x-1)2+(y+2)2=3
C.(x+1)2+(y-2)2=3
D.(x-1)2+(y+2)2=9
解析:选D 由圆的标准方程得(x-1)2+(y+2)2=9.
3.点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是(  )
A.在圆外 B.在圆内
C.在圆上 D.不确定
答案:B 
4.求圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程.
解:法一(直接法):
设圆的圆心为C(0,b),则=1,
∴b=2,∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
法二(数形结合法):
作图(如图),根据点(1,2)到圆心的距离为1易知,圆心为(0,2),故圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
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2.1 圆的方程