专题 《统计与统计案例》讲义
16.1 抽样方法与统计图表
题型一. 抽样方法
1．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；
②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．
I．简单随机抽样法；
Ⅱ．分层抽样法．
上述两问题和两方法配对正确的是（ ）
A．①配I，②配Ⅱ B．①配Ⅱ，②配Ⅰ C．①配I，②配I D．①配Ⅱ，②配Ⅱ
2．某学校有男学生400名，女学生600名，为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是 ．
3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
4．一个总体的60个个体编号为00，01，…，59，现需从中抽取一容量为6的样本，请从随机数表的倒数第5行（如下，且下一行接在上一行右边）第10列开始，向右读取，直到取足样本，则抽取样本的第五个号码是 ．
第五行 95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79
58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25
题型二.统计图表
1．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是 ．
①月接待游客量逐月增加；
②年接待游客量逐年增加；
③各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；
④各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳．
2．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁﹣18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图，根据图可得这100名学生中体重在（56.5，64.5）的学生人数是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
3．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ）
A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7
4．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为、，样本标准差分别为SA，SB，则（ ）
A．，SA＞SB B．，SA＞SB
C．，SA＜SB D．，SA＜SB
题型三.统计大题
1．为了调查甲、乙两个交通站的车流量，随机选取了14天，统计每天上午8：00～12：00间各自的车流量（单位：百辆），得如图所示的统计图，试求：
（1）甲、乙两个交通站的车流量的极差分别是多少？
（2）甲交通站的车流量在[10，60]间的频率是多少？
（3）甲、乙两个交通站哪个站更繁忙？并说明理由．
2．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85） [85，95） [95，105） [105，115） [115，125）
频数 6 28 36 20 10
（1）作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值低于95的产品至多占全部产品25%”的规定？
3．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：第一组第1组[20，25）、第2组[25，30）、第3组[30，35）、第4组[35，40）、第5组[40，45]．
（1）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）的人数；
（2）估计抽出的100名志愿者年龄的第50百分位数（精确到0.1）
（3）若在抽出的第2组和第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取5名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这5名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．
课后作业. 抽样方法与统计图表
1．某班有50名学生，男女人数不相等．随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如图所示，则下列说法一定正确的是（ ）
A．这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差
B．这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数
C．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数
D．这种抽样方法是一种分层抽样
2．已知样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，该样本平均数为5，方差为2，现加入一个数5，得到新样本的平均数为，方差为s2，则（ ）
A．5，s2＞2 B．5，s2＜2 C．5，s2＜2 D．5，s2＞2
3．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3．下列说法正确的个数为（ ）
①甲队技术比乙队好；
②乙队发挥比甲队稳定；
③乙队几乎每场都进球；
④甲队表现时好时坏．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其它7个小长方形的面积和的，且样本容量为200，则第8组的频数为（ ）
A．40 B．0.2 C．50 D．0.25
5．某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：
分数段 [60，65） [65，70） [70，75） [75，80） [80，85） [85，90） [90，95）
人数 1 3 6 6 2 1 1
若按笔试成绩择优录取40名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为（ ）
A．70分 B．75分 C．80分 D．85分
6．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 ．
7．某城市一入城交通路段限速50公里/小时，现对某时段通过该交通路段的n辆小汽车车速进行统计，并绘制成频率分布直方图（如图）．若这n辆小汽车中，速度在40～50公里/小时之间的车辆有150辆．
（1）求n的值；
（2）估计这n辆小汽车车速的中位数；
（3）根据交通法规定，小车超速在规定时速10%以内（含10%）不罚款，超过时速规定10%以上，需要罚款．试根据频率分布直方图，估计某辆小汽车在该路段被罚款的概率.
8．某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店外卖覆盖A，B两个区域，骑手入职只能选择其中一个区域．其中区域A无底薪，外卖业务每完成一单提成5元；区域B规定每日底薪150元，外卖业务的前35单没有提成，从第36单开始，每完成一单提成8元．为激励员工，快餐连锁店还规定，凡当日外卖业务超过55单的外卖骑手可额外获得“精英骑手”奖励50元．该快餐连锁店记录了骑手每天的人均业务量，整理得到如图所示的两个区域外卖业务量的频率分布直方图．
（1）从以往统计数据看，新入职骑手选择区域A的概率为0.6，选择区域B的概率为0.4，
（ⅰ）随机抽取一名骑手，求该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率；
（ⅱ）若新入职的甲．乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人区域选择相互独立，求至少有两名骑手选择区域A的概率；
（2）若仅从人均日收入的角度考虑，新聘骑手应选择入职哪一区域？请说明你的理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）．专题 《统计与统计案例》讲义
16.1 抽样方法与统计图表
题型一. 抽样方法
1．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；
②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．
I．简单随机抽样法；
Ⅱ．分层抽样法．
上述两问题和两方法配对正确的是（ ）
A．①配I，②配Ⅱ B．①配Ⅱ，②配Ⅰ C．①配I，②配I D．①配Ⅱ，②配Ⅱ
【解答】解：①、总体中个体明显分层两层：来自城镇的学生和来自农村的学生，故用分层抽样来抽取样本；
②，总体中个体的数目是100，不是很大，故用简单分层抽样来抽取样本．
故选：B．
2．某学校有男学生400名，女学生600名，为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是 分层抽样 ．
【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为400：600＝4：6，所抽取的比例也是4：6，故这种抽样方法是分层抽样
故答案为：分层抽样
3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
【解答】解：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，
∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，
丙车间生产产品所占的比例，
因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，
所以样本容量n＝313；
故选：C．
4．一个总体的60个个体编号为00，01，…，59，现需从中抽取一容量为6的样本，请从随机数表的倒数第5行（如下，且下一行接在上一行右边）第10列开始，向右读取，直到取足样本，则抽取样本的第五个号码是 17 ．
第五行 95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79
58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25
【解答】解：根据题意，60个个体编号为00，01，…，59，现从中抽取一容量为6的样本，
从随机数表的倒数第5行第10列开始，向右读取
01，87（舍去），47，20，01（舍去），83（舍去），87（舍去），95（舍去），
86（舍去），93（舍去），28，17，68（舍去），02共6个；
所以抽取样本的号码是01，47，20，28，17，02．
故答案为：17．
题型二.统计图表
1．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是 ②③④ ．
①月接待游客量逐月增加；
②年接待游客量逐年增加；
③各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；
④各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳．
【解答】解：对于A，由折线图的变化趋势可得，月接待游客量有增有减，故选项A错误；
对于B，由折线图的变化趋势可得，年接待游客量逐年增加，故选项B正确；
对于C，由折线图可得，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故选项C正确；
对于D，由折线图可得，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，
波动性更小，变化比较平稳，故选项D正确．
故答案为：②③④．
2．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁﹣18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图，根据图可得这100名学生中体重在（56.5，64.5）的学生人数是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【解答】解：由频率直方图得，体重在（56.5，64.5）的频率为0.03×2+0.05×2+0.05×2+0.07×2＝0.4，
∴所求人数为100×0.4＝40．
故选：C．
3．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ）
A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7
【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，
故乙组数据的中位数也为65，
即y＝5，
则乙组数据的平均数为：66，
故x＝3，
故选：A．
4．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为、，样本标准差分别为SA，SB，则（ ）
A．，SA＞SB B．，SA＞SB
C．，SA＜SB D．，SA＜SB
【解答】解：∵样本A的数据均不大于10，
而样本B的数据均不小于10，
显然，
由图可知A中数据波动程度较大，
B中数据较稳定，
∴sA＞sB．
故选：B．
题型三.统计大题
1．为了调查甲、乙两个交通站的车流量，随机选取了14天，统计每天上午8：00～12：00间各自的车流量（单位：百辆），得如图所示的统计图，试求：
（1）甲、乙两个交通站的车流量的极差分别是多少？
（2）甲交通站的车流量在[10，60]间的频率是多少？
（3）甲、乙两个交通站哪个站更繁忙？并说明理由．
【解答】解：（1）甲交通站的车流量的极差为73﹣8＝65（百辆），乙交通站的车流量的极差为71﹣5＝66（百辆）；
（2）甲交通站的车流量在[10，60]间的频率为．
（3）甲交通站的车流量集中在茎叶图的下方，而乙交通站的车流量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，甲交通站更繁忙．
2．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85） [85，95） [95，105） [105，115） [115，125）
频数 6 28 36 20 10
（1）作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值低于95的产品至多占全部产品25%”的规定？
【解答】解：（1）由已知作出频率分布表为：
质量指标值分组 [75，85） [85，95） [95，105） [105，115） [115，125）
频数 6 28 36 20 10
频率 0.06 0.28 0.36 0.20 0.10
由频率分布表作出这些数据的频率分布直方图为：
（2）质量指标值的样本平均数为：
80×0.06+90×0.28+100×0.36+110×0.20+120×0.10＝100；
质量指标值的样本方差为：
s2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.28+02×0.36+102×0.20+202×0.10＝112；
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的计值为112；
（3）∵0.06+0.28＝0.34＞0.25，
∴不符合规定．
3．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：第一组第1组[20，25）、第2组[25，30）、第3组[30，35）、第4组[35，40）、第5组[40，45]．
（1）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）的人数；
（2）估计抽出的100名志愿者年龄的第50百分位数（精确到0.1）
（3）若在抽出的第2组和第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取5名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这5名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．
【解答】解：（1）因为小矩形的面积等于频率，
所以 除[35，40）外的频率和为0.7，
所以x0.06，
故在500名志愿者中年龄在[35，40）的人数为0.06×5×500＝150；
（2）前两个分组的频率和为（0.01+0.04）×5＝0.25，
前三个分组的频率和为（0.01+0.04+0.07）×5＝0.6，
所以第50百分位数在[30，45）之间，
第50百分位数为3032.09；
（3）用分层抽样的方法，从中选5名，
则其中第二组的人有2名，第四组的人有3名，
所以从中抽取的2名志愿者中恰来自同一组额概率为．
课后作业. 抽样方法与统计图表
1．某班有50名学生，男女人数不相等．随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如图所示，则下列说法一定正确的是（ ）
A．这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差
B．这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数
C．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数
D．这种抽样方法是一种分层抽样
【解答】解：这5名男生成绩的方差为，
女生的方差为，
男生方差大于女生方差，
所以男生标准差大于女生标准差，所以A对；
这5名男生成绩的中位数是90，
5名女生成绩的中位数93，所以B错；
该班男生和女生成绩的平均数可通过样本估计，
但不能通过样本计算得到平均数准确值，所以C错；
若抽样方法是分层抽样，因为男生女生不等，
所以分别抽取的人数不等，所以D错．
故选：A．
2．已知样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，该样本平均数为5，方差为2，现加入一个数5，得到新样本的平均数为，方差为s2，则（ ）
A．5，s2＞2 B．5，s2＜2 C．5，s2＜2 D．5，s2＞2
【解答】解：∵样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，该样本平均数为5，方差为2，
现加入一个数5，得到新样本的平均数为，方差为s2，
∴，
方差为s2[5×2+0]2．
故选：B．
3．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3．下列说法正确的个数为（ ）
①甲队技术比乙队好；
②乙队发挥比甲队稳定；
③乙队几乎每场都进球；
④甲队表现时好时坏．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵甲队平均每场进球数为3.2，乙队平均每场进球数为1.8，
∴甲队技术比乙队好，故①正确，
∵甲全年比赛进球个数的标准差为3；
乙全年比赛进球个数的标准差为0.3．
∴乙队发挥比甲队稳定，故②正确，
乙队标准差为0.3，说明每次进球数均值，乙队几乎每场都进球，甲队标准差为3，说明甲队表现时好时坏，故③④正确，
总上可知有4种说法正确，
故选：D．
4．在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其它7个小长方形的面积和的，且样本容量为200，则第8组的频数为（ ）
A．40 B．0.2 C．50 D．0.25
【解答】解：在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，
若最后一个小长方形的面积等于其它7个小长方形的面积和的，
则第8组的频率为，
∵样本容量为200，∴第8组的频数为：20040．
故选：A．
5．某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：
分数段 [60，65） [65，70） [70，75） [75，80） [80，85） [85，90） [90，95）
人数 1 3 6 6 2 1 1
若按笔试成绩择优录取40名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为（ ）
A．70分 B．75分 C．80分 D．85分
【解答】解：由题意得在抽查的20名应试者能能被录取的人数为：
204人，
∴预测参加面试的分数线为80分．
故选：C．
6．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 12 ．
【解答】解：由频率分布直方图得第一组与第二组的频率和为：
1﹣（0.36+0.16+0.08）＝0.4，
∵第一组与第二组共有20人，
∴样本单元数n50人，
∵第三组的频率为0.36，∴第三组共有：50×0.36＝18人，
∵第三组没有疗效的有6人，
∴第三组中有疗效的人数为：18﹣6＝12人．
故答案为：12．
7．某城市一入城交通路段限速50公里/小时，现对某时段通过该交通路段的n辆小汽车车速进行统计，并绘制成频率分布直方图（如图）．若这n辆小汽车中，速度在40～50公里/小时之间的车辆有150辆．
（1）求n的值；
（2）估计这n辆小汽车车速的中位数；
（3）根据交通法规定，小车超速在规定时速10%以内（含10%）不罚款，超过时速规定10%以上，需要罚款．试根据频率分布直方图，估计某辆小汽车在该路段被罚款的概率.
【解答】解：（1）由直方图可知，车速在40～50公里/小时之间的频率为0.3，
所以，解得n＝500，
即n的值为500．
（2）设这n辆小汽车车速的中位数为x，
则0.008×10+0.024×10+0.03×（x﹣40）＝0.5，
解得x＝46，
所以可以估计这n辆小汽车车速的中位数为46．
（3）由交通法规可知，小车速度在55公里/小时以上需要罚款，
由直方图可知，小车速度在50～60公里/小时之间的有500×0.28＝140辆，
由统计的有关知识，可以认为车速在55～60公里/小时之间的有70辆，
又小车速度在60～70公里/小时之间的有500×0.10＝50辆，
所以这500辆小车中，有70+50＝120辆小车超速10%以上，
故可以估计某辆小汽车在该路段被罚款的概率P．
8．某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店外卖覆盖A，B两个区域，骑手入职只能选择其中一个区域．其中区域A无底薪，外卖业务每完成一单提成5元；区域B规定每日底薪150元，外卖业务的前35单没有提成，从第36单开始，每完成一单提成8元．为激励员工，快餐连锁店还规定，凡当日外卖业务超过55单的外卖骑手可额外获得“精英骑手”奖励50元．该快餐连锁店记录了骑手每天的人均业务量，整理得到如图所示的两个区域外卖业务量的频率分布直方图．
（1）从以往统计数据看，新入职骑手选择区域A的概率为0.6，选择区域B的概率为0.4，
（ⅰ）随机抽取一名骑手，求该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率；
（ⅱ）若新入职的甲．乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人区域选择相互独立，求至少有两名骑手选择区域A的概率；
（2）若仅从人均日收入的角度考虑，新聘骑手应选择入职哪一区域？请说明你的理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）．
【解答】解：（1）（i）设“随机抽取一名骑手是区域A骑手”为事件M，骑手获得”精英骑手“奖励为事件N，
则P（M）＝0.6，P（）＝0.4，结合频率分布直方图知，P（N|M）＝0.3，P（N|）＝0.2，
所以P（N）＝P（M）P（N）|M）+P（）P（N|）＝0.6×0.3+0.4×0.2＝0.26，
因此该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率为0.26；
（ii）设X＝选择区域A的骑手人数，则X～B（3，0.6），
P（X≥2）＝P（X＝2）+P（X＝3）0.62×0.4+0.63＝0.648，
故至少有两名骑手选择区域A的概率0.648；
（2）设Y1＝区域A骑手日工资，则随机变量Y1分布列为
Y1 100 150 200 250 350 400
P 0.05 0.1 0.25 0.3 0.2 0.1
E（Y1）＝100×0.05+150×0.1+200×0.25+250×0.3+350×0.2+400×0.1＝255，
设Y2＝区域B骑手日工资，则随机变量Y2分布列为
Y2 150 190 270 400 480
P 0.25 0.25 0.3 0.15 0.05
E（Y2）＝150×0.25+190×0.25+270×0.3+400×0.15+480×0.05＝250．
因为E（Y1）＞E（Y2），所以新聘骑手应选择区域A．
