专题 三角函数-两年（2020-2021）高考数学真题分类汇编（word版含答案）

2020-2021真题汇编-三角函数
一、三角函数的定义
1．（2021·山东·高考真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2021·山东·高考真题）已知向量，，那么等于（ ）
A． B． C．1 D．0
4．（2021·全国·高考真题）《多选题》已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·湖南·高考真题）已知，且为第四象限角，则____________
二、三角函数的图像与性质
7．（2021·湖南·高考真题）为了得到函数的图象，只需要将的图象（ ）
A．向上平移个单位 B．向左平移个单位
C．向下平移个单位 D．向右平移个单位
8．（2021·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·江苏·高考真题）若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2020·全国卷）已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数最多为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2021·全国·高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
13．（2021·全国·高考真题（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
14．（2021·山东·高考真题）已知函数，，，函数的部份图象如下图，求
（1）函数的最小正周期及的值：
（2）函数的单调递增区间．
15．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
0
0 3 0 -3 0
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
三、三角函数的公式恒等变换
16．（2021·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
17．（2021·全国·高考真题（文））（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
19．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2021·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·江苏·高考真题）已知，且，则的值是_________.
23．（2020·全国卷）已知函数.
（1）求的最大值及取得最大值时相应的值；
（2）将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，然后再向左平移个单位得到，若，，求的值.
2020-2021真题汇编-三角函数
解析版
一、三角函数的定义
1．（2021·山东·高考真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解
【详解】
终边在轴正半轴上的角的集合是
故选：A
2．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.
【详解】
法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】
思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
3．（2021·山东·高考真题）已知向量，，那么等于（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【分析】
利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.
【详解】
，，
.
故选：A.
4．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】
A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
5．（2021·湖南·高考真题）已知，且为第四象限角，则____________
【答案】
【分析】
首先求的值，再求.
【详解】
，且为第四象限角，
，
.
故答案为：
6．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．
【答案】（满足即可）
【分析】
根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.
【详解】
与关于轴对称，
即关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.
二、三角函数的图像与性质
7．（2021·湖南·高考真题）为了得到函数的图象，只需要将的图象（ ）
A．向上平移个单位 B．向左平移个单位
C．向下平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【分析】
根据“左+右-”的平移规律判断选项.
【详解】
根据平移规律可知，只需向左平移个单位得到.
故选：B
8．（2021·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】
解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
9．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】
因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
10．（2021·江苏·高考真题）若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由，可得，所以，令，得，从而可得到本题答案.
【详解】
由题，得，所以，
令，得，
所以的对称轴为，
当时，，
所以函数的一条对称轴为.
故选：A
11．（2020·全国卷）已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数最多为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据，得到，再由，分， ，由最大值为求解.
【详解】
因为函数在区间上的最大值为，
所以，解得，
因为，
所以，
当，即时，，
令，在同一坐标系中作出图象：
令，
因为，
所以存在唯一，使得，
当，即时，，即，
解得 ，
所以实数的取值个数最多为2.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题关键是根据的最大值为，由，得到，从而，才能分，讨论求解.
12．（2021·全国·高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
【答案】
【分析】
首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.
【详解】
由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
【点睛】
已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
13．（2021·全国·高考真题（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【答案】2
【分析】
先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】
由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】
关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.
14．（2021·山东·高考真题）已知函数，，，函数的部份图象如下图，求
（1）函数的最小正周期及的值：
（2）函数的单调递增区间．
【答案】（1）最小正周期；；（2），．
【分析】
（1）根据解析式可直接求出最小正周期，代入点可求出；
（2）令可解出单调递增区间.
【详解】
（1）函数的最小正周期，
因为函数的图象过点，因此，即，又因为，因此．
（2）因为函数的单调递增区间是，．
因此，解得，
因此函数的单调递增区间是，
15．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
0
0 3 0 -3 0
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1），，；（2）最大值是3，最小值是.
【分析】
（1）利用三角函数五点作图法求解，，的值即可.
（2）首先根据（1）知：，根据题意得到，从而得到函数的最值.
【详解】
（1）由表可知，则，
因为，，所以，解得，即，
因为函数图象过点，则，即，
所以，，解得，，
又因为，所以.
（2）由（1）可知.
因为，所以，
因此，当时，即时，，
当时，即时，.
所以该函数在区间上的最大值是3，最小值是.
三、三角函数的公式恒等变换
16．（2021·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【分析】
利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】
由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
17．（2021·全国·高考真题（文））（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】
由题意，
.
故选：D.
18．（2021·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】
由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】
由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
19．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】
将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】
易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
20．（2021·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】
关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
21．（2021·江苏·高考真题）已知，且，则的值是_________.
【答案】
【分析】
先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得.
【详解】
，因为，所以，所以，所以，所以.
故答案为：.
22．（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】
（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
23．（2020·全国卷）已知函数.
（1）求的最大值及取得最大值时相应的值；
（2）将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，然后再向左平移个单位得到，若，，求的值.
【答案】（1），当且仅当，；（2）.
【分析】
（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）首先由三角函数的变换规则得到的解析式，从而得到，再根据同角三角函数的基本关系得到，最后根据利用两角差的正弦公式计算可得；
【详解】
解：（1）因为
所以
令，解得，即当时函数取得最大值且；
（2）图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得到，再将向左平移个单位得到
即，
因为，所以，即，因为，所以，且，所以，所以