2021-2022学年湖南省常德市澧县八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年湖南省常德市澧县八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共24分）
1．如图，已知∠ABC＝∠DCB，要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件，这个条件不能是（　　）
A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝BD D．AB＝DC
2．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
3．命题“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命题是（　　）
A．如果a＜0，b＜o，那么ab＜0 B．如果ab＞0，那么a＜0，b＜0
C．如果a＞0，b＞0，那么a＜0 D．如果ab＜0，那么a＞0，b＞0
4．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝60°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（　　）
A．85° B．80° C．75° D．70°
5．研究发现新冠肺炎病毒大小约为0.000000125米，数0.000000125用科学记数法表示为（　　）
A．125×10﹣9 B．12.5×10﹣8 C．1.25×10﹣7 D．1.25×10﹣6
6．÷计算结果为（　　）
A． B． C． D．
7．已知x≠0，y≠0，对下列各个分式的约分，正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．
8．当x分别取2020、2018、2016、…、2、0、、、…、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2020
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．要使分式有意义，则x的取值范围为 　 　．
10．如图，在△ABC中，AB＝10，AD垂直平分线段BC，垂足为点D，点E是AC的中点，则EC的长为 　 　．
11．计算：（﹣5）0+（﹣）2＝　 　．
12．下列句子：①爸爸你去哪儿呢？②舌尖上的中国；③中国好声音是选秀节目；④邱波是喀山世锦赛十米跳台的冠军；⑤你不是调皮捣蛋的坏孩子；⑥奔跑吧兄弟！是命题的有 　 　（只填序号）．
13．分式方程+1＝的解是　 　．
14．计算：2＝　 　．
15．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝3，b＝4，若三边长为连续整数，则c＝　 　．
16．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，EF＝BF，则∠EFC＝　 　°．
三、解答题（共52分）
17．（1）计算：；
（2）解方程：．
18．先化简，再求值：÷（﹣），其中x＝，y＝﹣．
19．请按以下要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
用直尺和圆规作△DEF，使得△DEF≌△ABC，并指出判定△DEF≌△ABC的依据（请在作图区内画图）．
20．如图，D是BC上一点，AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE，求证：∠CDE＝∠BAD．
21．某超市在中秋节前准备购进A、B两种品牌的月饼进行销售，据了解，用6000元购买A品牌月饼的数量比用4800元购买B品牌月饼的数量多80袋，且每袋B品牌月饼是每袋A品牌月饼价格的1.2倍．求每袋A品牌月饼的价格．
22．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）若BF＝14，EC＝4，求BC的长．
23．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A'，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．
请利用上述模型解决下列问题；
（1）如图2，△ABC中，∠C＝90°，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，作出点P，使得PA+PE的值最小；
（2）如图3，∠AOB＝30°，M、N分别为OA、OB上一动点，若OP＝5，求△PMN的周长的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共24分）
1．如图，已知∠ABC＝∠DCB，要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件，这个条件不能是（　　）
A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝BD D．AB＝DC
【分析】根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
解：A、在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（AAS），故本选项不符合题意；
B、在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（ASA），故本选项不符合题意；
C、根据两边和其中一边的对角不能判断两三角形全等，故本选项符合题意；
D、在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS），故本选项不符合题意；
故选：C．
2．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
3．命题“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命题是（　　）
A．如果a＜0，b＜o，那么ab＜0 B．如果ab＞0，那么a＜0，b＜0
C．如果a＞0，b＞0，那么a＜0 D．如果ab＜0，那么a＞0，b＞0
【分析】根据互逆命题概念解答即可．
解：命题“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命题是“如果ab＞0，那么a＜0，b＜0”，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝60°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（　　）
A．85° B．80° C．75° D．70°
【分析】先根据∠A＝50°，∠C＝60°得出∠ABC的度数，再由BD平分∠ABC求出∠ABD的度数，再根据三角形的外角等于和它不相邻的内角的和解答．
解：∵∠A＝50°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝×70°＝35°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝50°+35°＝85°，
故选：A．
5．研究发现新冠肺炎病毒大小约为0.000000125米，数0.000000125用科学记数法表示为（　　）
A．125×10﹣9 B．12.5×10﹣8 C．1.25×10﹣7 D．1.25×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000000125＝1.25×10﹣7，
故选：C．
6．÷计算结果为（　　）
A． B． C． D．
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解：原式＝ x（x﹣2）
＝．
故选：B．
7．已知x≠0，y≠0，对下列各个分式的约分，正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
解：A、＝，故不符合题意；
B、＝，故不符合题意；
C、＝，故符合题意；
D、分子x2与分母y2没有公因式，不能约分，故不符合题意．
故选：C．
8．当x分别取2020、2018、2016、…、2、0、、、…、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2020
【分析】把互为倒数的两个数代入分式可得它们的和是0，把0代入分式得﹣1，故得出结果为﹣1．
解：当x＝a（a≠0）时，＝，
当x＝时，＝＝﹣，
即互为倒数的两个数代入分式的和为0，
当x＝0时，＝﹣1，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．要使分式有意义，则x的取值范围为 　x≠﹣3　．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
解：由题意得，x+3≠0，
解得x≠﹣3．
故答案为：x≠﹣3．
10．如图，在△ABC中，AB＝10，AD垂直平分线段BC，垂足为点D，点E是AC的中点，则EC的长为 　5　．
【分析】据AD垂直平分BC，可得出AB＝AC，再由点E是AC的中点，即可得到答案．
解：∵AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∵AB＝10，
∴AC＝10，
∵点E是AC的中点，
∴EC＝AC＝5，
故答案为：5．
11．计算：（﹣5）0+（﹣）2＝　1　．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则分别化简，再利用有理数的加法运算法则计算得出答案．
解：原式＝1+
＝1．
故答案为：1．
12．下列句子：①爸爸你去哪儿呢？②舌尖上的中国；③中国好声音是选秀节目；④邱波是喀山世锦赛十米跳台的冠军；⑤你不是调皮捣蛋的坏孩子；⑥奔跑吧兄弟！是命题的有 　③④⑤　（只填序号）．
【分析】根据命题的概念判断即可．
解：①爸爸你去哪儿呢？②舌尖上的中国；⑥奔跑吧兄弟！，没有对一件事情作出判断，不是命题，
③中国好声音是选秀节目；④邱波是喀山世锦赛十米跳台的冠军；⑤你不是调皮捣蛋的坏孩子，是命题，
故答案为：③④⑤．
13．分式方程+1＝的解是　x＝﹣1　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：两边都乘以x﹣1，得：x+x﹣1＝﹣3，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x﹣1＝﹣2≠0，
所以原分式方程的解为x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
14．计算：2＝　　．
【分析】首先计算乘方，把分子分母分别乘方，然后再计算乘法，分子分母同时除以2x2m2n，即可得答案．
解：原式＝ ＝．
故答案为：．
15．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝3，b＝4，若三边长为连续整数，则c＝　2或5　．
【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，进一步确定第三边的长，由此得出答案即可．
解：∵a＝3，b＝4，
∴根据三角形的三边关系，得4﹣3＜c＜4+3．
即1＜c＜7，
∵若三边长为连续整数，
∴c＝2或5
故答案为：2或5．
16．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，EF＝BF，则∠EFC＝　45　°．
【分析】由DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，又由BE⊥AC，可求得∠A＝∠ABE＝45°，然后由AB＝AC，BF＝EF，求得答案．
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE，
∵BE⊥AC，
∴∠A＝∠ABE＝45°，
∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠C＝67.5°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝22.5°，
∵BF＝EF，
∴∠BEF＝∠EBC＝22.5°，
∴∠EFC＝∠EBC+∠BEF＝45°．
故答案为：45．
三、解答题（共52分）
17．（1）计算：；
（2）解方程：．
【分析】（1）先因式分解，再通分，最后同分母相加，结果化为最简分式；
（2）先因式分解，再去分母、去括号、移项、合并同类项、把x系数化为一，最后一定检验．
解：（1）原式＝+
＝
＝
＝；
（2）x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝8，
x2+2x﹣x2+4＝8，
2x＝8﹣4，
x＝2，
经检验x＝2为原方程的增根，
∴原方程无解．
18．先化简，再求值：÷（﹣），其中x＝，y＝﹣．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．
解：原式＝
＝
＝
＝，
当x＝，y＝﹣时，
原式＝＝6．
19．请按以下要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
用直尺和圆规作△DEF，使得△DEF≌△ABC，并指出判定△DEF≌△ABC的依据（请在作图区内画图）．
【分析】利用尺规作DE＝BC，DF＝BA，EF＝CA，根据SSS即可判定△DEF≌△ABC．
解：作图如下：
△DEF就是所求，
判断依据是三边对应相等的两个三角形全等．
20．如图，D是BC上一点，AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE，求证：∠CDE＝∠BAD．
【分析】根据SSS，即可证得△ABC≌△ADE，利用等式的性质证明即可．
【解答】证明：在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SSS），
∴∠ABC＝∠ADE，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠ABC+∠BAD
∴∠CDE＝∠BAD
21．某超市在中秋节前准备购进A、B两种品牌的月饼进行销售，据了解，用6000元购买A品牌月饼的数量比用4800元购买B品牌月饼的数量多80袋，且每袋B品牌月饼是每袋A品牌月饼价格的1.2倍．求每袋A品牌月饼的价格．
【分析】设每袋A品牌月饼的价格为x元，则每袋B品牌月饼的价格为1.2x元，由题意：用6000元购买A品牌月饼的数量比用4800元购买B品牌月饼的数量多80袋，列出分式方程，解方程即可．
解：设每袋A品牌月饼的价格为x元，则每袋B品牌月饼的价格为1.2x元，
由题意得：﹣＝80，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，
答：每袋A品牌月饼的价格为25元．
22．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）若BF＝14，EC＝4，求BC的长．
【分析】（1）根据AAS证明△ABC≌△DFE即可解决问题．
（2）求出BE的长即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（AAS）．
（2）解：∵BF＝14，EC＝4，
∴BE+CF＝14﹣4＝10，
∵BE＝CF，
∴BE＝CF＝5，
∴BC＝BE+EC＝5+4＝9．
23．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A'，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．
请利用上述模型解决下列问题；
（1）如图2，△ABC中，∠C＝90°，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，作出点P，使得PA+PE的值最小；
（2）如图3，∠AOB＝30°，M、N分别为OA、OB上一动点，若OP＝5，求△PMN的周长的最小值．
【分析】（1）作点A关于直线BC的对称点A1，连接A1E，交BC于P，点P即为所求；
（2）作点P关于直线OA的对称点F，作点P关于直线OB的对称点G，连接FG，分别交OA、OB于M、N，根据“将军饮马问题”得到△PMN的周长的最小值为FG，再证得△FOG为边长为5的等边三角形即可得出答案．
解：（1）作点A关于直线BC的对称点A1，连接A1E，交BC于P，
如图所示，点P即为所求；
（2）作点P关于直线OA的对称点F，作点P关于直线OB的对称点G，连接FG，
分别交OA、OB于M、N，如图：
根据“将军饮马问题”得到△PMN的周长的最小值为FG，
由轴对称的性质得：∠FOA＝∠AOP，∠POB＝∠GOB，
OP＝OF，OP＝OG，
∵∠AOP+∠POB＝∠AOB＝30°，OP＝5，
∴∠FOG＝∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB＝60°，OF＝OG＝5，
∴△FOG为边长为5的等边三角形，
∴FG＝5，
∴△PMN的周长的最小值为5．