24.1.2垂直于弦的直径
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课件54张PPT。基础梳理 预习点睛 1.通过操作掌握圆的轴对称性.
2.掌握垂径定理及其推论的题设与结论. 1.通过折叠，应用轴对称图形的性质探究.
2.根据圆的轴对称性，应用轴对称图形的性质寻找相等的线段及弧，注意数学文字语言与符号语言之间的转换.精题例题 举一反三 应用垂径定理计算
【例1】(6分)某市居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水面宽度为60 cm，水面至管道顶部的距离为10 cm，问修理人员应准备内径为多大的管道.【解题导引】根据实际问题抽象出数学模型，结合垂径定理，构造直角三角形，在直角三角形中运用勾股定理构建关于半径的方程.【规范解答】如图，弦AB表示污水水面，O为
圆心，过O作OD⊥AB于点D，与 交于点C，根
据垂径定理知，D是AB的中点，C是 的中点，
CD就是污水水面至管道顶部的距离，由题意可知：……2分
AB=60 cm，CD=10 cm，∴BD= AB=30 cm，OD=(r-10) cm.
………………………………………………………………3分
在Rt△DOB中，BD2+OD2=OB2,
即302+(r-10)2=r2 …………………………………………5分
解方程得r=50，
∴修理人员应准备内径为50 cm的管道.…………………6分 利用垂径定理进行计算，往往
与勾股定理结合使用，如图，弦长为a，圆心
到弦的距离为d，半径为r，弧的中点到弦的
距离(弓形的高)为h，在这四个量中，可以由
其中任意两个求其他两个，涉及到实际问题时，解题的关键是把实际问题抽象成数学问题，即画出符合题意的几何图形. 1.(2010·潍坊中考)如图，AB是⊙O的弦，半
径OC⊥AB于D点，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则
DC的长为( )
(A)5 cm (B)2．5 cm (C)2 cm (D)1 cm
【解析】选D.连接OA，由垂径定理得AD=3 cm，在Rt△AOD
中， 所以CD=OC-OD=1 cm.2.已知：如图，∠PAC=30°，在射
线AC上顺次截取AD=3 cm，DB=10 cm，
以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两
点，求圆心O到AP的距离及EF的长．【解析】过点O作OG⊥AP于点G，连接OF,
∵ DB=10，∴ OD=5,
∴ AO=AD+OD=3+5=8,
∵∠PAC=30°,
∴ OG= AO= ×8=4,
∵ OG⊥EF，∴ EG=GF,
∵ GF= =3,∴ EF=6 cm.
即圆心O到AP的距离为4 cm,EF的长为6 cm. 涉及到求圆的弦长时，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，应用垂径定理及勾股定理直接计算或构造方程求解. 与垂径定理有关的证明
【例2】如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂
直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于
E，求证:四边形ADOE是正方形．
【思路点拨】根据垂径定理及正方形的判
定进行证明.【自主解答】∵OE⊥AC,OD⊥AB,AB⊥AC,
∴∠OEA=90°,∠EAD=90°,∠ODA=90°.
∴四边形ADOE为矩形，AE= AC,AD= AB,
又∵AC=AB,∴AE=AD,∴四边形ADOE为正方形. 垂径定理及其推论反映了圆的轴对称性，是证明线段、角相等、两线垂直关系的重要依据，常作的辅助线有：一是作垂直于弦的直径，利用垂径定理解决问题；二是连接圆心与弦的中点，利用垂径定理的推论解决问题. 3.(2010·湖州中考)如图，已知⊙O的直径
AB⊥弦CD于点E．下列结论中一定正确的是
( )
(A)AE＝OE (B)CE＝DE
(C)OE＝ CE (D)∠AOC＝60°
【解析】选B.根据垂径定理可得.4.(2010·佛山中考)如图，直线与两个同
心圆分别交于图示的各点，则下列结论中
正确的是( )
(A)MP与RN的大小关系不定 (B)MP=RN
(C)MP＜RN (D)MP＞RN
【解析】选B.过O点作OA⊥MN，垂足为A，由垂径定理得：AP=AR，AM=AN，所以AM-AP=AN-AR，即MP=RN. 在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可. 课时训练 基础达标1.(2010·西宁中考)如图，在半径为5的⊙O
中，若弦AB=8，则△AOB的面积为( )
(A)24 (B)16
(C)12 (D)8
【解析】选C.过O点作OC⊥AB，垂足为C，则AC=BC=4,所以
所以△AOB的面积为
AB·OC=12.2.点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=4，在过P点的所有⊙O的弦中，你认为弦长为整数的弦的条数为( )
(A)8条 (B)7条 (C)6条 (D)5条
【解析】选D.最短的弦长为2× =6，
最长的弦长为10，∴弦长为整数的弦有5条.3.(2010·毕节中考)如图，AB为⊙O的弦，
⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，
且CD＝1，则弦AB的长是_____．
【解析】连接OA，在Rt△AOD中，OD=OC-CD=4，所以
所以AB=6.
答案：64.若圆的半径为R，则垂直平分半径的弦长等于_____.
【解析】如图,OC⊥AB于点D，则AD=BD.
又OA=OC=R，OD=CD，∴OD= R,
∴
答案:5.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，AC⊥BC, OD⊥BC于E，交
于D.
(1)请写出三个不同类型的正确结论；
(2)若BC=8，ED=2，求⊙O的半径. 【解析】(1)不同类型的正确结论有：
①BE=CE；② = ；③∠BED = 90°；④∠BOD=∠A；
⑤AC∥OD；⑥OE2+BE2=OB2；⑦S△ABC=BC·OE；
(答案不惟一)
(2)∵OD⊥BC，∴BE=CE= BC=4,
设⊙O的半径为R，则OE=OD-DE=R-2.
在Rt△OEB中，由勾股定理得：OE2+BE2=OB2，
即(R-2)2+42=R2，解得R=5，∴⊙O的半径为5.智能提升作业一、选择题（每小题4分，共12分）
1.（2010·梧州中考）如图，AB是⊙O的直径，
弦CD⊥AB于点E，则下列结论中一定正确的个
数有①CE=DE；②BE=OE；③ ；
④∠CAB=∠DAB； ⑤AC=AD.（ ）
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个【解析】选A.根据垂径定理得，①、③、④正确，AB垂直平分CD，所以⑤也正确，故选A.2.（2010·乐山中考）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（-2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
（A）（－1，2） （B）（1，－1）
（C）（－1，1） （D）（2，1）【解析】选C.由题意根据A点的坐标建立如图所示的坐标系，由圆的对称性可知，圆心为弦AC、AB垂直平分线的交点，观察图象可知交点坐标为（-1,1）.3.（2010·襄樊中考）已知⊙O的半径为13 cm，弦AB//CD，AB=24 cm，CD=10 cm，则AB、CD之间的距离为（ ）
（A）17 cm （B）7 cm
（C）12 cm （D）17 cm或7 cm【解析】选D.本题有两种情形：（1）当AB、CD在圆心O的异侧时，过O作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OB、OD.如图1.
∵AB∥CD，MN⊥AB，∴MN⊥CD.
∵AB=24 cm，CD=10 cm，∴BM=12 cm，DN=5 cm,
在Rt△OMB与Rt△OND中,OB2=OM2+BM2，
OD2=DN2+ON2，∴OM=5 cm，ON=12 cm，
∴MN=OM+ON=5+12=17（cm)；(2)当AB、CD在圆心O的同侧时，如图2.
同理可得OM=5 cm，ON=12 cm,
MN=ON-OM=12-5=7 (cm),
∴AB、CD之间的距离为17 cm或7 cm. 【归纳整合】(1)在半径为r的圆中，若弦AB=a,CD=b,且AB∥CD，AB、CD间的距离为h,在a、b、r、h这四个变量中已知三个量可以求出另外一个量.
(2)在解无图题时，要考虑不同的情形，分情况讨论问题，此种类型题常因考虑不周而漏解.二、填空题（每小题4分，共12分）
4.工程上常用钢珠来测量零件上小孔
的直径，假设钢珠的直径是10mm，测
得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,
如图所示，则这个小孔的直径AB是_____mm.【解析】过O作OC⊥AB,垂足为C,连接OA,
则△AOC为直角三角形.
又OC=3mm,OA=5mm,
在Rt△AOC中，
由勾股定理，得
AC= =4(mm).
由垂径定理，得AC=BC,∴AB=2AC=8mm.
答案：85.如图，点A、B是⊙O上的两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF=_____.
【解析】∵OE⊥AP,∴AE=PE,
同理：BF=PF，∴EF= AB=5.
答案：56.如图，⊙O的弦BA的延长线与半径OC
的延长线交于点P，且PA=AB=6 cm，
PO=12 cm，则⊙O的半径为_____.【解析】过O点作OD⊥AB于D，则BD=AD=3 cm，
∴PD=6+3=9 cm，
在Rt△PDO中
在Rt△ODB中,
答案： cm三、解答题（共26分）
7.（8分）（2010·长春中考）如图，
将一个两边都带有刻度的直尺放在半
圆形纸片上，使其一边经过圆心O，
另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5 cm，弦DE=8 cm.求直尺的宽.【解析】过点O作OM⊥DE于点M，连接OD.
∴DM= DE.
∵DE=8,∴DM=4.
在Rt△ODM中，∵OD=OC=5，
∴OM=
∴直尺的宽度为3 cm.8.（8分）已知正方形ABCD和矩形EFGH按如图位置摆放，且AD＝EH＝2，EF＝4，一圆过A、B、F、E四点，求该圆半径的长． 【解析】记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．对于AB、EF的中点M、N，连接MN、BO、FO，
由对称性可知：MN过圆心O点，且MN⊥AB，MN⊥EF，
∵AD＝EH＝2，EF＝4，
∴BM=1，
NF=2，OF=OB=r,在Rt△OBM中，MB2＋OM2＝OB2＝r2，即1＋OM2＝r2,
在Rt△OFN中，NF2＋ON2＝OF2＝r2，即4＋ON2＝r2,
∴1＋OM2＝4＋ON2,
又∵MN＝4，∴1＋(4－ON)2＝4＋ON2,
解得：ON＝ ,
把ON＝ 代入4＋ON2＝r2，得：
r2=4+( )2= ,∴r= ,
∴该圆的半径长为 .【拓展延伸】
9.（10分）有一座圆弧形的拱桥，桥下水平面宽7.2 m,拱顶高出水面2.4 m,现有一货船宽3 m,船舱顶部为长方体，高出水面2 m,问该货船能否顺利通过这座拱桥？【解析】如图所示， 表示桥拱，
AB=7.2 m,CD=2.4 m,EF=3 m,D为AB、
EF的中点，且CD、NF、ME均垂直于AB，
设 所在圆的圆心为O，连接OA及ON，连接OD，则C、D、O
共线.设OA=R m,
则OD=OC-DC=（R-2.4）m,
AD= AB=3.6 m,
由勾股定理有OA2=AD2+OD2，
即R2=3.62+(R-2.4)2,解得R=3.9(m).货船能否顺利通过该桥，关键是看货箱顶部两角（M、N）是
否被桥拱（ ）拦住，即当货船位于桥下正中位置时，货
箱顶部两角（M、N）到水平面（AB）的高度是否小于FN.
在Rt△ONG中,
所以FN=DG=OG-OD=OG-（OC-DC）
=3.6-(3.9-2.4)=2.1(m).
因为2＜2.1,所以货船可以顺利通过该桥.
2.掌握垂径定理及其推论的题设与结论. 1.通过折叠，应用轴对称图形的性质探究.
2.根据圆的轴对称性，应用轴对称图形的性质寻找相等的线段及弧，注意数学文字语言与符号语言之间的转换.精题例题 举一反三 应用垂径定理计算
【例1】(6分)某市居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水面宽度为60 cm，水面至管道顶部的距离为10 cm，问修理人员应准备内径为多大的管道.【解题导引】根据实际问题抽象出数学模型，结合垂径定理，构造直角三角形，在直角三角形中运用勾股定理构建关于半径的方程.【规范解答】如图，弦AB表示污水水面，O为
圆心，过O作OD⊥AB于点D，与 交于点C，根
据垂径定理知，D是AB的中点，C是 的中点，
CD就是污水水面至管道顶部的距离，由题意可知：……2分
AB=60 cm，CD=10 cm，∴BD= AB=30 cm，OD=(r-10) cm.
………………………………………………………………3分
在Rt△DOB中，BD2+OD2=OB2,
即302+(r-10)2=r2 …………………………………………5分
解方程得r=50，
∴修理人员应准备内径为50 cm的管道.…………………6分 利用垂径定理进行计算，往往
与勾股定理结合使用，如图，弦长为a，圆心
到弦的距离为d，半径为r，弧的中点到弦的
距离(弓形的高)为h，在这四个量中，可以由
其中任意两个求其他两个，涉及到实际问题时，解题的关键是把实际问题抽象成数学问题，即画出符合题意的几何图形. 1.(2010·潍坊中考)如图，AB是⊙O的弦，半
径OC⊥AB于D点，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则
DC的长为( )
(A)5 cm (B)2．5 cm (C)2 cm (D)1 cm
【解析】选D.连接OA，由垂径定理得AD=3 cm，在Rt△AOD
中， 所以CD=OC-OD=1 cm.2.已知：如图，∠PAC=30°，在射
线AC上顺次截取AD=3 cm，DB=10 cm，
以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两
点，求圆心O到AP的距离及EF的长．【解析】过点O作OG⊥AP于点G，连接OF,
∵ DB=10，∴ OD=5,
∴ AO=AD+OD=3+5=8,
∵∠PAC=30°,
∴ OG= AO= ×8=4,
∵ OG⊥EF，∴ EG=GF,
∵ GF= =3,∴ EF=6 cm.
即圆心O到AP的距离为4 cm,EF的长为6 cm. 涉及到求圆的弦长时，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，应用垂径定理及勾股定理直接计算或构造方程求解. 与垂径定理有关的证明
【例2】如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂
直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于
E，求证:四边形ADOE是正方形．
【思路点拨】根据垂径定理及正方形的判
定进行证明.【自主解答】∵OE⊥AC,OD⊥AB,AB⊥AC,
∴∠OEA=90°,∠EAD=90°,∠ODA=90°.
∴四边形ADOE为矩形，AE= AC,AD= AB,
又∵AC=AB,∴AE=AD,∴四边形ADOE为正方形. 垂径定理及其推论反映了圆的轴对称性，是证明线段、角相等、两线垂直关系的重要依据，常作的辅助线有：一是作垂直于弦的直径，利用垂径定理解决问题；二是连接圆心与弦的中点，利用垂径定理的推论解决问题. 3.(2010·湖州中考)如图，已知⊙O的直径
AB⊥弦CD于点E．下列结论中一定正确的是
( )
(A)AE＝OE (B)CE＝DE
(C)OE＝ CE (D)∠AOC＝60°
【解析】选B.根据垂径定理可得.4.(2010·佛山中考)如图，直线与两个同
心圆分别交于图示的各点，则下列结论中
正确的是( )
(A)MP与RN的大小关系不定 (B)MP=RN
(C)MP＜RN (D)MP＞RN
【解析】选B.过O点作OA⊥MN，垂足为A，由垂径定理得：AP=AR，AM=AN，所以AM-AP=AN-AR，即MP=RN. 在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可. 课时训练 基础达标1.(2010·西宁中考)如图，在半径为5的⊙O
中，若弦AB=8，则△AOB的面积为( )
(A)24 (B)16
(C)12 (D)8
【解析】选C.过O点作OC⊥AB，垂足为C，则AC=BC=4,所以
所以△AOB的面积为
AB·OC=12.2.点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=4，在过P点的所有⊙O的弦中，你认为弦长为整数的弦的条数为( )
(A)8条 (B)7条 (C)6条 (D)5条
【解析】选D.最短的弦长为2× =6，
最长的弦长为10，∴弦长为整数的弦有5条.3.(2010·毕节中考)如图，AB为⊙O的弦，
⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，
且CD＝1，则弦AB的长是_____．
【解析】连接OA，在Rt△AOD中，OD=OC-CD=4，所以
所以AB=6.
答案：64.若圆的半径为R，则垂直平分半径的弦长等于_____.
【解析】如图,OC⊥AB于点D，则AD=BD.
又OA=OC=R，OD=CD，∴OD= R,
∴
答案:5.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，AC⊥BC, OD⊥BC于E，交
于D.
(1)请写出三个不同类型的正确结论；
(2)若BC=8，ED=2，求⊙O的半径. 【解析】(1)不同类型的正确结论有：
①BE=CE；② = ；③∠BED = 90°；④∠BOD=∠A；
⑤AC∥OD；⑥OE2+BE2=OB2；⑦S△ABC=BC·OE；
(答案不惟一)
(2)∵OD⊥BC，∴BE=CE= BC=4,
设⊙O的半径为R，则OE=OD-DE=R-2.
在Rt△OEB中，由勾股定理得：OE2+BE2=OB2，
即(R-2)2+42=R2，解得R=5，∴⊙O的半径为5.智能提升作业一、选择题（每小题4分，共12分）
1.（2010·梧州中考）如图，AB是⊙O的直径，
弦CD⊥AB于点E，则下列结论中一定正确的个
数有①CE=DE；②BE=OE；③ ；
④∠CAB=∠DAB； ⑤AC=AD.（ ）
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个【解析】选A.根据垂径定理得，①、③、④正确，AB垂直平分CD，所以⑤也正确，故选A.2.（2010·乐山中考）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（-2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
（A）（－1，2） （B）（1，－1）
（C）（－1，1） （D）（2，1）【解析】选C.由题意根据A点的坐标建立如图所示的坐标系，由圆的对称性可知，圆心为弦AC、AB垂直平分线的交点，观察图象可知交点坐标为（-1,1）.3.（2010·襄樊中考）已知⊙O的半径为13 cm，弦AB//CD，AB=24 cm，CD=10 cm，则AB、CD之间的距离为（ ）
（A）17 cm （B）7 cm
（C）12 cm （D）17 cm或7 cm【解析】选D.本题有两种情形：（1）当AB、CD在圆心O的异侧时，过O作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OB、OD.如图1.
∵AB∥CD，MN⊥AB，∴MN⊥CD.
∵AB=24 cm，CD=10 cm，∴BM=12 cm，DN=5 cm,
在Rt△OMB与Rt△OND中,OB2=OM2+BM2，
OD2=DN2+ON2，∴OM=5 cm，ON=12 cm，
∴MN=OM+ON=5+12=17（cm)；(2)当AB、CD在圆心O的同侧时，如图2.
同理可得OM=5 cm，ON=12 cm,
MN=ON-OM=12-5=7 (cm),
∴AB、CD之间的距离为17 cm或7 cm. 【归纳整合】(1)在半径为r的圆中，若弦AB=a,CD=b,且AB∥CD，AB、CD间的距离为h,在a、b、r、h这四个变量中已知三个量可以求出另外一个量.
(2)在解无图题时，要考虑不同的情形，分情况讨论问题，此种类型题常因考虑不周而漏解.二、填空题（每小题4分，共12分）
4.工程上常用钢珠来测量零件上小孔
的直径，假设钢珠的直径是10mm，测
得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,
如图所示，则这个小孔的直径AB是_____mm.【解析】过O作OC⊥AB,垂足为C,连接OA,
则△AOC为直角三角形.
又OC=3mm,OA=5mm,
在Rt△AOC中，
由勾股定理，得
AC= =4(mm).
由垂径定理，得AC=BC,∴AB=2AC=8mm.
答案：85.如图，点A、B是⊙O上的两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF=_____.
【解析】∵OE⊥AP,∴AE=PE,
同理：BF=PF，∴EF= AB=5.
答案：56.如图，⊙O的弦BA的延长线与半径OC
的延长线交于点P，且PA=AB=6 cm，
PO=12 cm，则⊙O的半径为_____.【解析】过O点作OD⊥AB于D，则BD=AD=3 cm，
∴PD=6+3=9 cm，
在Rt△PDO中
在Rt△ODB中,
答案： cm三、解答题（共26分）
7.（8分）（2010·长春中考）如图，
将一个两边都带有刻度的直尺放在半
圆形纸片上，使其一边经过圆心O，
另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5 cm，弦DE=8 cm.求直尺的宽.【解析】过点O作OM⊥DE于点M，连接OD.
∴DM= DE.
∵DE=8,∴DM=4.
在Rt△ODM中，∵OD=OC=5，
∴OM=
∴直尺的宽度为3 cm.8.（8分）已知正方形ABCD和矩形EFGH按如图位置摆放，且AD＝EH＝2，EF＝4，一圆过A、B、F、E四点，求该圆半径的长． 【解析】记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．对于AB、EF的中点M、N，连接MN、BO、FO，
由对称性可知：MN过圆心O点，且MN⊥AB，MN⊥EF，
∵AD＝EH＝2，EF＝4，
∴BM=1，
NF=2，OF=OB=r,在Rt△OBM中，MB2＋OM2＝OB2＝r2，即1＋OM2＝r2,
在Rt△OFN中，NF2＋ON2＝OF2＝r2，即4＋ON2＝r2,
∴1＋OM2＝4＋ON2,
又∵MN＝4，∴1＋(4－ON)2＝4＋ON2,
解得：ON＝ ,
把ON＝ 代入4＋ON2＝r2，得：
r2=4+( )2= ,∴r= ,
∴该圆的半径长为 .【拓展延伸】
9.（10分）有一座圆弧形的拱桥，桥下水平面宽7.2 m,拱顶高出水面2.4 m,现有一货船宽3 m,船舱顶部为长方体，高出水面2 m,问该货船能否顺利通过这座拱桥？【解析】如图所示， 表示桥拱，
AB=7.2 m,CD=2.4 m,EF=3 m,D为AB、
EF的中点，且CD、NF、ME均垂直于AB，
设 所在圆的圆心为O，连接OA及ON，连接OD，则C、D、O
共线.设OA=R m,
则OD=OC-DC=（R-2.4）m,
AD= AB=3.6 m,
由勾股定理有OA2=AD2+OD2，
即R2=3.62+(R-2.4)2,解得R=3.9(m).货船能否顺利通过该桥，关键是看货箱顶部两角（M、N）是
否被桥拱（ ）拦住，即当货船位于桥下正中位置时，货
箱顶部两角（M、N）到水平面（AB）的高度是否小于FN.
在Rt△ONG中,
所以FN=DG=OG-OD=OG-（OC-DC）
=3.6-(3.9-2.4)=2.1(m).
因为2＜2.1,所以货船可以顺利通过该桥.
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