2021-2022学年冀教版八年级数学上册16.3角的平分线同步达标测评（Word版含答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《16.3角的平分线》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，点D到AB的距离为3cm，则DB的值是（　　）
A．3cm B．8cm C．6cm D．5cm
2．如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③CH＝HE；④∠PCF＝∠CPF；⑤∠CPA＝∠CEA．其中正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线AP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（　　）
①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，BC＝16，BD＝10，AB＝20，那么S△BAD的面积是（　　）
A．60 B．80 C．100 D．120
5．如图，CD是等腰△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则△BCE的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
6．如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于点H．若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为（　　）
A．40° B．50° C．55° D．60°
7．如图，△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过D作DF⊥BC于点F，DF＝5cm，∠EDB＝15°，则DE＝（　　）
A．12.5cm B．5cm C．7.5cm D．10cm
8．如图，已知钝角△ABC中，∠B＝30°且AB＞AC．（1）以C为圆心，CA长为半径画弧；（2）以B为圆心，BA为半径画弧，交前弧于点E；（3）连接AE交BC的延长线于点D．下列叙述不一定正确的是（　　）
A．△ABE是等边三角形 B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC AD D．BD垂直平分AE
9．如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，∠AOB＝30°，如果PE＝2，则OD的长为（　　）
A．2 B．4 C．2 D．6
10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥BC，垂足为E．若CD＝2，CE＝1，则点D到AB的距离为（　　）
A． B． C．2 D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝8，DE＝3，则BD的长为 　 　．
12．如图，已知在△ABC中，AC＝10，BC＝5，AD＝6，CD平分∠ACB，则BD＝　 　．
13．如图，AD平分∠BAC，DE∥AB，DF⊥AB．若AE＝8，∠BAC＝30°，则DF的长为 　 　．
14．如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝4，BC＝10，则△BCE的面积为 　 　．
15．如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于4cm，则BC的长为 　 　cm．
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，若BD：DC＝2：1，BC＝15cm，则D到AB的距离为 　 　cm．
17．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，若△ABC的面积为35，AB＝8，BC＝6，则DE的长为 　 　．
18．将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC即为∠AOB的平分线，理由是 　 　．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．如图，∠ADE＝∠BDE＝15°，EF∥DB，EC⊥DB于C，若EC＝，求EF的长．
20．在△ABC中，D为边BC上一点DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝DF，DA＝AC，∠B＝21°，求∠FDC的度数．
21．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠GAC；
（2）若AB＝AD，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．
22．如图，△ABC中，过点A，B分别作直线AM，BN，且AM∥BN，过点C作直线DE交直线AM于D，交直线BN于E，设AD＝a，BE＝b．
（1）如图1，若AC，BC分别平分∠DAB和∠EBA，求∠ACB的度数；
（2）在（1）的条件下，若a＝1，b＝，求AB的长；
（3）如图2，若AC＝AB，且∠DEB＝∠BAC＝60°，求DC的长．（用含a，b的式子表示）
23．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）试说明AD垂直平分EF；
（2）若AB＝6，AC＝4，S△ABC＝15，求DE的长．
24．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC平分∠ABF，AE＝2BF．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若BF＝2，求AB的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：过D作DE⊥AB于E，
∵点D到AB的距离为3cm，
∴DE＝3cm，
∵DE⊥AB，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝DC＝3cm，
∵BC＝8cm，
∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5（cm），
故选：D．
2．解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB＝∠CAB，∠PBE＝∠CBE，
∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，
∠PBE＝∠PAB+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB；故①正确；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∴PM＝PN＝PS，
∴PC平分∠BCD，
同理可得，∠CPA＝ABC，
∵BC＝BE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵∠ABC＝∠BEC+∠BCE＝2∠BEC，
∴∠BEC＝∠ABC，
∴∠CPA＝∠CEA，故⑤正确；
∵S△PAC：S△PAB＝（AC PN）：（AB PM）＝AC：AB；故②不正确；
∵BE＝BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；
∵PG∥AD，
∴∠FPC＝∠DCP，
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP＝∠PCF，
∴∠PCF＝∠CPF，故④正确．
本题正确的有：①③④⑤，
故选：B．
3．解：过P作PQ⊥AC于Q，
∵∠ACF、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PQ，PQ＝PN，
∴PM＝PN，
∴D点P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确；
∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，
∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°，
在Rt△PMA和Rt△PQA中，
，
∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL），
∴∠MPA＝∠QPA，
同理Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴PCN＝∠ACP，∠QPC＝∠NPC，
∵∠PMA＝∠PNC＝90°，
∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正确；
∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，
∴∠FCA＝∠ABC+∠CAB＝2∠PCN，
又∵∠PCN＝∠ABC+∠CPB，
∴∠ABC+∠CAB＝2（∠ABC+∠CPB），
∴∠CAB＝2∠CPB，故③正确；
∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
4．解：∵BC＝16，BD＝10，
∴CD＝BC﹣BD＝6．
如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝6，
S△BAD＝AB DE＝×20×6＝60．
故选：A．
5．解：作EF⊥BC于F，如图：
∵AC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，BC＝AC＝8，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2＝8．
故选：C．
6．解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，如图所示：
∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，
∴FZ＝FW，
同理FW＝FY，
∴FZ＝FY，FZ⊥AE，FY⊥CB，
∴∠FCZ＝∠FCY，
∵∠AFB＝40°，
∴∠ACB＝80°，
∴∠ZCY＝100°，
∴∠BCF＝50°．
故选：B．
7．解：过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DF⊥BC，
∴DH＝DF＝5（cm），
∵DE∥BC，
∴∠DBC＝∠EDB＝15°，
∴∠DBE＝∠DBC＝15°，
∴∠AED＝∠EBD+∠EDB＝30°，
∵∠DHE＝90°，
∴DE＝2DH＝10（cm），
故选：D．
8．解：A．由题意得：AC＝CE，AB＝BE．
在△ABC和△BEC中，
，
∴△ABC≌△BEC（SSS）．
∴∠ABC＝∠EBC＝30°．
∴∠AEB＝∠ABC+∠EBC＝60°．
∵AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
故A正确．
B．由A中得∠ABC＝∠EBC，那么AC平分∠BAD，无法证得AC平分∠BAD，故B不一定正确．
C．在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SAS）．
∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB．
∵∠ADB+∠EDB＝180°，
∴∠ADB＝∠EDB＝90°．
∴．
故C正确．
D．以上得AD＝ED，∠ADB＝∠EDB＝90°．
∴BD垂直平分AE．
故D正确．
故选：B．
9．解：如图，过点P作PF⊥OB于F，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，
∴PE＝PF＝2，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵PD∥OA，
∴∠AOC＝∠OPD，∠PDF＝∠AOB＝30°，
∴∠BOC＝∠OPD，
∴PD＝OD，
∴PF＝PD＝2，
∴OD＝PD＝4．
故选：B．
10．解：过D作DF⊥AB于F，则线段DF的长度是点D到线段AB的距离，
∵DF⊥AB，DE⊥BC，BD平分∠ABC，
∴DF＝DE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∵DC＝2，CE＝1，
∴DE＝＝＝，
∴DF＝，
即点D到AB的距离为，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE＝3，
∴DC＝DE＝3，
∵BC＝8，
∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
12．解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，过点C作CG⊥AB于点G，
∴S△ACD＝AC DE＝AD CG，
S△BCD＝BC DF＝BD CG，
∵CD平分∠ACD，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∴S△ACD：S△BCD＝AC：BC＝2：1，
∴AD CG：BD CG＝2：1，即AD：BD＝2：1，
∵AD＝6，
∴BD＝3．
故答案为：3．
13．解：过D作DM⊥AC于M，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC，DF⊥AB，
∴DF＝DM，∠DMA＝90°，∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，∠BAC＝30°，
∴∠DEC＝∠BAC＝30°，∠EDA＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠EDA，
∴DE＝AE，
∵AE＝8，
∴DE＝8，
∵∠DEC＝30°，∠DMA＝90°，
∴DM＝DE＝8＝4，
∴DF＝DM＝4，
故答案为：4．
14．解：过E作EF⊥BC于F，
∵BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，EF⊥BC，
∴DE＝EF，
∵DE＝4，
∴EF＝4，
∵BC＝10，
∴△BCE的面积为＝，
故答案为：20．
15．解：过D作DE⊥AB于E，
∵点D到AB的距离等于4cm，
∴DE＝4cm，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝4cm，
∵BD＝2CD，
∴BD＝8cm，
∴BC＝BD+CD＝12cm，
故答案为：12．
16．解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，
∴DE＝CD，
∵BD：DC＝2：1，BC＝15cm，
∴CD＝5cm，
∴DE＝CD＝5cm，
即点D到AB的距离是5cm，
故答案为：5．
17．解：过D作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝a，
∵△ABC的面积为35，
∴S△ABC＝S△ABD+S△CBD，
∴+＝35，
∵AB＝8，BC＝6，
∴＝35，
解得：a＝5，
即DE＝DF＝5，
故答案为：5．
18．解：∵将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，
∴CE＝CF，∠CEO＝∠CFO＝90°，
即CE⊥OA，CF⊥OB，
∴射线OC为∠AOB的平分线（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．解：过E作EG⊥AD于G，
∵∠ADE＝∠BDE＝15°，
∴DE是∠ADB的平分线，
∵EC⊥DB于C，
∴EG＝EC＝，
∵EF∥DB，
∴∠DEF＝∠BDE＝15°，
∴∠EFG＝∠DEF+∠ADE＝30°，
在Rt△EFG中，
∵∠EFG＝30°，
∴EG＝EF，
∴EF＝2EG＝2．
20．解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，∠BAD＝∠CAD，
∵∠B＝21°，
∴∠BDE＝69°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠C，
设∠C＝∠ADC＝x，
∴∠CAD＝180°﹣2x，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝159°﹣x，
∴2×（180°﹣2x）＝159°﹣x，
解答：x＝67°，
∴∠C＝67°，
∴∠FDC＝90°﹣∠C＝23°．
21．（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，
∴DM＝DN＝DK，
∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠GAD＝∠DAC，
∴AD平分∠GAC．
（2）解：△ABC是等腰三角形，
证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠GAD＝∠ABC，∠DAC＝∠ACB，
∵AD平分∠GAC，
∴∠GAD＝∠CAD，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
22．解：（1）如图1，∵AC平分∠MAB，
∴∠CAB＝∠MAC＝，
同理，∠CBA＝∠NBC＝，
∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠NBA＝180°，
∴∠BAC+∠ABC＝＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝180°﹣90°＝90°；
（2）如图1，在AB上取一点F，使AF＝AD＝1，连接CF，
在△AFC和△ADC中，
，
∴△AFC≌△ADC（SAS），
∴∠ADC＝∠AFC，
∵AM∥BN，
∴∠ADC+∠BEC＝180°，
∵∠AFC+∠BFC＝180°，
∴∠BFC＝∠BEC，
∵∠FBC＝∠EBC，BC＝BC，
∴△BFC≌△BEC（AAS），
∴EB＝BF＝，
∴AB＝AF+BF＝1+＝；
（3）如图2，在EB上截取EH＝EC，连接CH，
∵AC＝AB，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵EC＝EH，∠DEB＝60°，
∴△ECH为等边三角形，
∴∠ECH＝∠EHC＝60°，
∴∠BHC＝120°，
∴AM∥BN，
∴∠ADC+∠DEB＝180°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠ADC＝∠CHB，∠DAC+∠DCA＝60°，
∵∠DCA+∠ACB+∠HCB+∠ECH＝180°，
∴∠DAC+∠HCB＝60°，
∴∠DAC＝∠HCB，
∴△DAC≌△HCB（AAS），
∴AD＝CH＝HE，CD＝BH，
∴AD+DC＝BE，
∴DC＝BE﹣AD＝b﹣a．
23．解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
而DE＝DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）∵DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB ED+AC DF＝DE（AB+AC）＝15，
∵AB＝6，AC＝4，
∴×10×DE＝15，
∴DE＝3．
24．（1）证明：如图，过D作DG⊥AB于G，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AC，
∴DE＝DG，
∵BF∥AC，
∴∠F＝∠CED＝90°，即DF⊥BF，
∵BD平分∠ABF，
∴DF＝DG，
∴DE＝DF；
（2）解：在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE＝BF，∠C＝∠FBD，
∵AE＝2BF，
∴AE+CE＝2BF+BF＝3BF，即AC＝3BF＝6，
∵∠ABC＝∠FBD，∠C＝∠FBD，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC＝6．