2021-2022学年冀教版九年级数学下册29.3切线的性质与判定同步达标测评（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年冀教版九年级数学下册29.3切线的性质与判定同步达标测评（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 422.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-20 08:21:10 | ||
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文档简介
2021-2022学年冀教版九年级数学下册《29.3切线的性质与判定》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，线段AB是⊙O的直径，⊙O交线段BC于D，且D是BC中点，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的个数是（ ）①CE CA＝CD CB；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线；⑤AD2＝AE AB．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∠APB＝54°，则∠COD＝（ ）
A．36° B．63° C．126° D．46°
3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA＝2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连接AC，则阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知：如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC与⊙O相切的切点，如果∠DEF＝54°，那∠BAC等于（ ）
A．96° B．48° C．24° D．72°
5．如图AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D．若AB＝5，BD＝2，则AC的长是（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．2
6．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm．动点D从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点O从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t（s），以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与BA交于另一点E，连接ED．当直线DE与⊙O相切时，t的取值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC．AT是⊙O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
8．如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，AD＝3，BC＝，则四边形ABCD的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．已知△ABC的三边长为AB＝2，BC＝3，AC＝4，则三角形内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知Ⅰ为△ABC的内心，若∠ABC＝35°，且BC＝AI+AC，则∠BAC等于（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，AE平分∠BAD，有下列结论：
①AD+BC＝AB；②AE⊥BE；③以AB为直径的圆与CD相切；④若以CD为直径的圆与AB相切，则以AB为直径的圆也与CD相切．其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）
12．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若AB＝5cm，AC＝13cm，则Rt△MBN的周长为 cm．
13．在△ABC中，以BC为直径的圆分别交AC，AB于D，E两点，连接BD，DE，BD平分∠ABC，若AB＝3，AE＝1，则AC的值为 ．
14．已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为 ．
15．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD＝10，BD＝6，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为 ．
16．如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为 时，BP与⊙O相切．
17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是 °．
18．三角形的内切圆的切点将该圆周分为5：9：10三条弧，则此三角形的最小的内角为 ．
三．解答题（共4小题，满分40分）
19．如图，AB是⊙O直径，CD为⊙O的切线，C为切点，过A作CD的垂线，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若⊙O半径为5，CD＝4，求AD的长．
20．如图，已知AB为⊙O直径，C为⊙O外一点，连接AC，BC交⊙O于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于H，且满足．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的长．
21．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，求BD的长；
（3）在（2）的条件下，连接AC，求cos∠ACF的值．
22．如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点G为上一点，GE⊥AB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG．
（1）求证：△PCD是等腰三角形；
（2）若点D为AC的中点，且∠F＝30°，BF＝2，求半径及△PCD的面积．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：显然，△CED为直角三角形，而△ABC不是直角三角形，故两三角形不相似，
所以CE CA≠CD CB，选项①错误；
连接OD，∵D为BC中点，O为AB中点，
∴DO为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE为圆O的切线，选项④正确；
又OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，
∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∴∠EDA＝∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OA＝AB，
∴OA＝AC，选项③正确；
∵∠DAC＝∠EAD，∠DEA＝∠CDA＝90°，
∴△ADE∽△ACD，
∴＝，即AD2＝AE AB，选项⑤正确；
则正确结论的个数为4个．
故选：C．
2．解：如图，连接OA，OB，OE，
∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，
∴∠AOC＝∠EOC，
同理∠BOD＝∠DOE，
∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝∠AOB，
∵∠APB＝54°，
∴∠AOB＝126°，
∴∠COD＝63°．
故选：B．
3．解：连接OB，OC，
∵AB是圆的切线，
∴∠ABO＝90°，
在直角△ABO中，OB＝1，OA＝2，
∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°，
∵OA∥BC，
∴∠COB＝∠AOB＝60°，且S阴影部分＝S△BOC，
∴△BOC是等边三角形，边长是1，
∴S阴影部分＝S△BOC＝×1×＝．
故选：A．
4．解：连接OF，OD，
∵∠DEF＝54°，
∴∠DOF＝2×54°＝108°，
∵AB、AC与⊙O相切，
∴∠ADO＝∠AFO＝90°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣108°＝72°，
故选：D．
5．解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴AC＝AP＝AB﹣BP＝5﹣2＝3．
故选：B．
6．解：作AH⊥BC于H，如图，BE＝2t，BD＝8﹣2t，
∵AB＝AC＝5，
∴BH＝CH＝BC＝4，
当BE⊥DE，直线DE与⊙O相切，则∠BED＝90°，
∵∠EBD＝∠ABH，
∴△BED∽△BHA，
∴＝，即＝，解得t＝．
故选：A．
7．解：如图，连接AC，
由弦切角定理知∠ACB＝∠BAT＝55°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝55°，
∴∠B＝180°﹣2∠ACB＝70°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝110°．
故选：A．
8．解：过D作DF⊥BC于F，则∠DFB＝90°，
∵AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴AD＝DE，BC＝CE，∠DAB＝∠CBA＝90°，
∴四边形ADFB是矩形，
∴AD＝BF，AB＝DF，
∵AD＝3，BC＝，AD＝DE，BC＝CE，
∴DE＝3，CE＝，
∴DC＝3+＝，CF＝BC﹣AD＝﹣3＝，
在Rt△CFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝8，
即AB＝DF＝8，
即四边形ABCD的周长是AD+DC+BC+AB＝3+++8＝，
故选：D．
9．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，连接AI，BI，CI，设△ABC内切圆的半径为r，
设AD＝x，则BD＝2﹣x，
由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣BD2．
∴42﹣x2＝32﹣（2﹣x）2．
解得：x＝2.75．
∴CD＝＝＝，
∴S△ABC＝S△AOC+S△ABO+S△BCO，
∴＝+，
∴＝×4×r，
解得：r＝，
故选：B．
10．解：
在BC上截取CD＝AC，连接BI、ID，
∵BC＝AC+AI，
∴AI＝BD，
∵I为△ABC的内心，
∴∠ACI＝∠DCI，∠BAC＝2∠CAI，∠IBC＝∠ABC，
∵∠ABC＝35°，
∴∠IBC＝17.5°，
在△ACI和△DCI中
，
∴△ACI≌△DCI（SAS），
∴∠CAI＝∠CDI，AI＝DI，
∵AI＝BD，
∴BD＝ID，
∴∠BID＝∠DBI＝17.5°，
∴∠IDC＝∠BID+∠IBD＝17.5°+17.5°＝35°，
∴∠CAI＝∠CDI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解：延长AE交BC于F，如图，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠F＝∠BAE，
∴BA＝BF，
∵E为CD中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中
∴△ADE≌△FCE，
∴AD＝CF，AE＝EF，
∴BA＝BF＝BC+CF＝BC+AD，所以①正确；
∵BA＝BF，AE＝EF，
∴BE⊥AF，所以②正确；
取AB的中点P，连接PE，如图，
∴PE＝（AD+BC）＝ AB＝PA，PE∥AD
而CD与AD不一定垂直，
∴PE与CD不一定垂直，
∴以AB为直径的圆与CD不一定相切，所以③错误；
作EH⊥AB于H，
当以CD为直径的圆与AB相切时，则EH＝ED，虽然∠DAE＝∠HAE，AE为公共边，不能证明△EAH与△EAD全等，不能得到∠D＝90°，所以不能判断以AB为直径的圆也与CD相切．所以④错误．
故答案为①②．
12．解：如图所示：连接DO，EO，
Rt△ABC中，AB＝5cm，AC＝13cm，则BC＝12cm，
设△ABC内切圆的半径为R，切点分别为D、E、F，
∵AD＝AF，BE＝BD，CF＝CE，
∵OD⊥AB，OE⊥BC，
∴四边形ODBE是正方形，即BD＝BE＝R，
∴AB﹣BD＝AF，CB﹣BE＝FC，
5﹣R+12﹣R＝13，
解得：R＝2，
∵切线MN与AB，BC分别交于点M，N，
∴MP＝DM，PN＝NE，
∴Rt△MBN的周长为：BD+BE＝2+2＝4（cm），
故答案为：4．
13．解：∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥AC；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（ASA）
∴AB＝CB，
∴△ABC是等腰三角形，AD＝CD，
∵四边形BCDE是圆内接四边形，
∴∠AED＝∠ACB＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE是等腰三角形，
∴AD＝DE＝CD，
∴＝＝＝，
∴AC2＝2AB AE，
∵AB＝3，AE＝1，
∴AC＝＝．
故答案为：．
14．解：连接BD，则∠ADB＝90°，
又∠BCD＝130°，
故∠DAB＝50°，
所以∠DBA＝40°；
又因为PD为切线，
故∠PDA＝∠ABD＝40°，
即∠PDA＝40°．
15．解：∵过B点的切线交AC的延长线于点D，
∴AB⊥BD，
∴AB＝＝＝8，
当∠AEP＝90°时，∵AE＝EC，
∴EP经过圆心O，
∴AP＝AO＝4；
当∠APE＝90°时，则EP∥BD，
∴＝，
∵DB2＝CD AD，
∴CD＝＝＝3.6，
∴AC＝10﹣3.6＝6.4，
∴AE＝3.2，
∴＝，
∴AP＝2.56．
综上AP的长为4和2.56．
故答案为4和2.56．
16．解：连接OP
∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，
∵AB＝OA，OA＝OP，
∴OB＝2OP，∠OPB＝90°；
∴∠B＝30°；
∴∠O＝60°；
∵OA＝6cm，
弧AP＝＝2π，
∵圆的周长为：12π，
∴点P运动的距离为2π或12π﹣2π＝10π；
∴当t＝2秒或10秒时，有BP与⊙O相切．
故答案为：2秒或10秒．
17．解：∵△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝CBA，
∴∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠AIB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135．
18．解：
连接OF、OE、OD，设弧ED：弧EF：弧FD＝5：9：10，
则∠EOF＝×360°＝135°，∠EOD＝×360°＝75°，∠FOD＝×360°＝150°，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为E、D、F，
∴∠AFO＝∠AEO＝∠CEO＝∠CDO＝∠BDO＝∠BFO＝90°，
∴∠FOD对的角B最小，即∠B＝180°﹣150°＝30°，
故答案为：30°．
三．解答题（共4小题，满分40分）
19．（1）证明：如图1，连接OC，
∵直线CD切半圆O于点C，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴AC平分∠BAD；
（2）如图2，过点O作OE⊥AD于点E，
∵∠OCD＝∠OED＝∠CDE＝90°，
∴四边形OEDC是矩形，
∴DC＝OE＝4，
∴＝＝3，
∴AD＝AE+DE＝3+5＝8．
20．（1）证明：∵BH BC＝BE AB，
∴，
∵∠EBH＝∠CBA，
∴△EBH∽△CBA，
∴∠EHB＝∠CAB，
∵EH⊥AB，
∴∠EHB＝90°，
∴∠CAB＝∠EHB＝90°，
∴AC⊥AB，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：连接AF．
∵AB是直径，
∴∠AFB＝∠AFC＝90°，
∵∠C+∠CAF＝90°，∠CAF+∠FAB＝90°，
∴∠C＝∠FAB，
∴△AFC∽△BFA，
∴AF2＝FC FB＝80，
∴AF＝4，
∴＝＝12，
AB＝＝＝6，
∵，
∴∠FAD＝∠DAB，
∵EF⊥AF，EH⊥AB，
∴EF＝EH，设EH＝EF＝x，
∵AE＝AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEH（HL），
∴AF＝AH＝4，BH＝2，
在Rt△EBH中，∵BE2＝EH2+BH2，
∴（10﹣x）2＝x2+（2）2，
解得：x＝4，
∴EH＝4．
21．（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴∠BOC＝90°，
∵E是OB的中点，
∴OE＝BE，
在△OCE和△BFE中，，
∴△OCE≌△BFE（SAS），
∴∠OBF＝∠COE＝90°，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝2，
∴OB＝OC＝1，
由（1）得：△OCE≌△BFE（SAS），
∴BF＝OC＝1，
∴AF＝＝＝，
∴S△ABF＝AB×BF＝AF×BD，
∴2×1＝ BD，
∴BD＝．
（3）解：作AG⊥CE于G，如图2所示：
∵AB＝2，
∴OA＝OC＝OB＝1，
由（1）得：△OCE≌△BFE（SAS），
∴OE＝BE＝OB＝，
∴AE＝OA+OE＝，
∵∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝AB＝，
∵OC⊥AB，
∴CE＝＝＝，
∵△ACE的面积＝CE×AG＝AE×OC，
∴AG＝＝＝，
∴CG＝＝＝，
∴cos∠ACF＝＝＝．
22．（1）证明：连接OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝90°，即∠1+∠PCD＝90°，
∵GE⊥AB，
∴∠GEA＝90°，
∴∠2+∠ADE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2，
∴∠PCD＝∠ADE，
而∠ADE＝∠PDC，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴△PCD是等腰三角形；
（2）解：连接OD，如图，
在Rt△COF中，∠F＝30°，BF＝2，
∴OF＝2OC，即OB+2＝2OC，
而OB＝OC，
∴OC＝2，
∴⊙O的半径为2；
∵∠FOC＝90°﹣∠F＝60°，
∴∠1＝∠2＝30°，
∴∠PCD＝90°﹣∠1＝60°，
∴△PCD为等边三角形，
∵D为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴AD＝CD，
在Rt△OCD中，OD＝OC＝1，
∴CD＝OD＝，
∴△PCD的面积为．
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，线段AB是⊙O的直径，⊙O交线段BC于D，且D是BC中点，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的个数是（ ）①CE CA＝CD CB；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线；⑤AD2＝AE AB．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∠APB＝54°，则∠COD＝（ ）
A．36° B．63° C．126° D．46°
3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA＝2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连接AC，则阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知：如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC与⊙O相切的切点，如果∠DEF＝54°，那∠BAC等于（ ）
A．96° B．48° C．24° D．72°
5．如图AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D．若AB＝5，BD＝2，则AC的长是（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．2
6．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm．动点D从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点O从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t（s），以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与BA交于另一点E，连接ED．当直线DE与⊙O相切时，t的取值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC．AT是⊙O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
8．如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，AD＝3，BC＝，则四边形ABCD的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．已知△ABC的三边长为AB＝2，BC＝3，AC＝4，则三角形内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知Ⅰ为△ABC的内心，若∠ABC＝35°，且BC＝AI+AC，则∠BAC等于（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，AE平分∠BAD，有下列结论：
①AD+BC＝AB；②AE⊥BE；③以AB为直径的圆与CD相切；④若以CD为直径的圆与AB相切，则以AB为直径的圆也与CD相切．其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）
12．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若AB＝5cm，AC＝13cm，则Rt△MBN的周长为 cm．
13．在△ABC中，以BC为直径的圆分别交AC，AB于D，E两点，连接BD，DE，BD平分∠ABC，若AB＝3，AE＝1，则AC的值为 ．
14．已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为 ．
15．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD＝10，BD＝6，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为 ．
16．如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为 时，BP与⊙O相切．
17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是 °．
18．三角形的内切圆的切点将该圆周分为5：9：10三条弧，则此三角形的最小的内角为 ．
三．解答题（共4小题，满分40分）
19．如图，AB是⊙O直径，CD为⊙O的切线，C为切点，过A作CD的垂线，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若⊙O半径为5，CD＝4，求AD的长．
20．如图，已知AB为⊙O直径，C为⊙O外一点，连接AC，BC交⊙O于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于H，且满足．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的长．
21．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，求BD的长；
（3）在（2）的条件下，连接AC，求cos∠ACF的值．
22．如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点G为上一点，GE⊥AB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG．
（1）求证：△PCD是等腰三角形；
（2）若点D为AC的中点，且∠F＝30°，BF＝2，求半径及△PCD的面积．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：显然，△CED为直角三角形，而△ABC不是直角三角形，故两三角形不相似，
所以CE CA≠CD CB，选项①错误；
连接OD，∵D为BC中点，O为AB中点，
∴DO为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE为圆O的切线，选项④正确；
又OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，
∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∴∠EDA＝∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OA＝AB，
∴OA＝AC，选项③正确；
∵∠DAC＝∠EAD，∠DEA＝∠CDA＝90°，
∴△ADE∽△ACD，
∴＝，即AD2＝AE AB，选项⑤正确；
则正确结论的个数为4个．
故选：C．
2．解：如图，连接OA，OB，OE，
∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，
∴∠AOC＝∠EOC，
同理∠BOD＝∠DOE，
∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝∠AOB，
∵∠APB＝54°，
∴∠AOB＝126°，
∴∠COD＝63°．
故选：B．
3．解：连接OB，OC，
∵AB是圆的切线，
∴∠ABO＝90°，
在直角△ABO中，OB＝1，OA＝2，
∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°，
∵OA∥BC，
∴∠COB＝∠AOB＝60°，且S阴影部分＝S△BOC，
∴△BOC是等边三角形，边长是1，
∴S阴影部分＝S△BOC＝×1×＝．
故选：A．
4．解：连接OF，OD，
∵∠DEF＝54°，
∴∠DOF＝2×54°＝108°，
∵AB、AC与⊙O相切，
∴∠ADO＝∠AFO＝90°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣108°＝72°，
故选：D．
5．解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴AC＝AP＝AB﹣BP＝5﹣2＝3．
故选：B．
6．解：作AH⊥BC于H，如图，BE＝2t，BD＝8﹣2t，
∵AB＝AC＝5，
∴BH＝CH＝BC＝4，
当BE⊥DE，直线DE与⊙O相切，则∠BED＝90°，
∵∠EBD＝∠ABH，
∴△BED∽△BHA，
∴＝，即＝，解得t＝．
故选：A．
7．解：如图，连接AC，
由弦切角定理知∠ACB＝∠BAT＝55°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝55°，
∴∠B＝180°﹣2∠ACB＝70°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝110°．
故选：A．
8．解：过D作DF⊥BC于F，则∠DFB＝90°，
∵AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴AD＝DE，BC＝CE，∠DAB＝∠CBA＝90°，
∴四边形ADFB是矩形，
∴AD＝BF，AB＝DF，
∵AD＝3，BC＝，AD＝DE，BC＝CE，
∴DE＝3，CE＝，
∴DC＝3+＝，CF＝BC﹣AD＝﹣3＝，
在Rt△CFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝8，
即AB＝DF＝8，
即四边形ABCD的周长是AD+DC+BC+AB＝3+++8＝，
故选：D．
9．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，连接AI，BI，CI，设△ABC内切圆的半径为r，
设AD＝x，则BD＝2﹣x，
由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣BD2．
∴42﹣x2＝32﹣（2﹣x）2．
解得：x＝2.75．
∴CD＝＝＝，
∴S△ABC＝S△AOC+S△ABO+S△BCO，
∴＝+，
∴＝×4×r，
解得：r＝，
故选：B．
10．解：
在BC上截取CD＝AC，连接BI、ID，
∵BC＝AC+AI，
∴AI＝BD，
∵I为△ABC的内心，
∴∠ACI＝∠DCI，∠BAC＝2∠CAI，∠IBC＝∠ABC，
∵∠ABC＝35°，
∴∠IBC＝17.5°，
在△ACI和△DCI中
，
∴△ACI≌△DCI（SAS），
∴∠CAI＝∠CDI，AI＝DI，
∵AI＝BD，
∴BD＝ID，
∴∠BID＝∠DBI＝17.5°，
∴∠IDC＝∠BID+∠IBD＝17.5°+17.5°＝35°，
∴∠CAI＝∠CDI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解：延长AE交BC于F，如图，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠F＝∠BAE，
∴BA＝BF，
∵E为CD中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中
∴△ADE≌△FCE，
∴AD＝CF，AE＝EF，
∴BA＝BF＝BC+CF＝BC+AD，所以①正确；
∵BA＝BF，AE＝EF，
∴BE⊥AF，所以②正确；
取AB的中点P，连接PE，如图，
∴PE＝（AD+BC）＝ AB＝PA，PE∥AD
而CD与AD不一定垂直，
∴PE与CD不一定垂直，
∴以AB为直径的圆与CD不一定相切，所以③错误；
作EH⊥AB于H，
当以CD为直径的圆与AB相切时，则EH＝ED，虽然∠DAE＝∠HAE，AE为公共边，不能证明△EAH与△EAD全等，不能得到∠D＝90°，所以不能判断以AB为直径的圆也与CD相切．所以④错误．
故答案为①②．
12．解：如图所示：连接DO，EO，
Rt△ABC中，AB＝5cm，AC＝13cm，则BC＝12cm，
设△ABC内切圆的半径为R，切点分别为D、E、F，
∵AD＝AF，BE＝BD，CF＝CE，
∵OD⊥AB，OE⊥BC，
∴四边形ODBE是正方形，即BD＝BE＝R，
∴AB﹣BD＝AF，CB﹣BE＝FC，
5﹣R+12﹣R＝13，
解得：R＝2，
∵切线MN与AB，BC分别交于点M，N，
∴MP＝DM，PN＝NE，
∴Rt△MBN的周长为：BD+BE＝2+2＝4（cm），
故答案为：4．
13．解：∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥AC；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（ASA）
∴AB＝CB，
∴△ABC是等腰三角形，AD＝CD，
∵四边形BCDE是圆内接四边形，
∴∠AED＝∠ACB＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE是等腰三角形，
∴AD＝DE＝CD，
∴＝＝＝，
∴AC2＝2AB AE，
∵AB＝3，AE＝1，
∴AC＝＝．
故答案为：．
14．解：连接BD，则∠ADB＝90°，
又∠BCD＝130°，
故∠DAB＝50°，
所以∠DBA＝40°；
又因为PD为切线，
故∠PDA＝∠ABD＝40°，
即∠PDA＝40°．
15．解：∵过B点的切线交AC的延长线于点D，
∴AB⊥BD，
∴AB＝＝＝8，
当∠AEP＝90°时，∵AE＝EC，
∴EP经过圆心O，
∴AP＝AO＝4；
当∠APE＝90°时，则EP∥BD，
∴＝，
∵DB2＝CD AD，
∴CD＝＝＝3.6，
∴AC＝10﹣3.6＝6.4，
∴AE＝3.2，
∴＝，
∴AP＝2.56．
综上AP的长为4和2.56．
故答案为4和2.56．
16．解：连接OP
∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，
∵AB＝OA，OA＝OP，
∴OB＝2OP，∠OPB＝90°；
∴∠B＝30°；
∴∠O＝60°；
∵OA＝6cm，
弧AP＝＝2π，
∵圆的周长为：12π，
∴点P运动的距离为2π或12π﹣2π＝10π；
∴当t＝2秒或10秒时，有BP与⊙O相切．
故答案为：2秒或10秒．
17．解：∵△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝CBA，
∴∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠AIB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135．
18．解：
连接OF、OE、OD，设弧ED：弧EF：弧FD＝5：9：10，
则∠EOF＝×360°＝135°，∠EOD＝×360°＝75°，∠FOD＝×360°＝150°，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为E、D、F，
∴∠AFO＝∠AEO＝∠CEO＝∠CDO＝∠BDO＝∠BFO＝90°，
∴∠FOD对的角B最小，即∠B＝180°﹣150°＝30°，
故答案为：30°．
三．解答题（共4小题，满分40分）
19．（1）证明：如图1，连接OC，
∵直线CD切半圆O于点C，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴AC平分∠BAD；
（2）如图2，过点O作OE⊥AD于点E，
∵∠OCD＝∠OED＝∠CDE＝90°，
∴四边形OEDC是矩形，
∴DC＝OE＝4，
∴＝＝3，
∴AD＝AE+DE＝3+5＝8．
20．（1）证明：∵BH BC＝BE AB，
∴，
∵∠EBH＝∠CBA，
∴△EBH∽△CBA，
∴∠EHB＝∠CAB，
∵EH⊥AB，
∴∠EHB＝90°，
∴∠CAB＝∠EHB＝90°，
∴AC⊥AB，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：连接AF．
∵AB是直径，
∴∠AFB＝∠AFC＝90°，
∵∠C+∠CAF＝90°，∠CAF+∠FAB＝90°，
∴∠C＝∠FAB，
∴△AFC∽△BFA，
∴AF2＝FC FB＝80，
∴AF＝4，
∴＝＝12，
AB＝＝＝6，
∵，
∴∠FAD＝∠DAB，
∵EF⊥AF，EH⊥AB，
∴EF＝EH，设EH＝EF＝x，
∵AE＝AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEH（HL），
∴AF＝AH＝4，BH＝2，
在Rt△EBH中，∵BE2＝EH2+BH2，
∴（10﹣x）2＝x2+（2）2，
解得：x＝4，
∴EH＝4．
21．（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴∠BOC＝90°，
∵E是OB的中点，
∴OE＝BE，
在△OCE和△BFE中，，
∴△OCE≌△BFE（SAS），
∴∠OBF＝∠COE＝90°，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝2，
∴OB＝OC＝1，
由（1）得：△OCE≌△BFE（SAS），
∴BF＝OC＝1，
∴AF＝＝＝，
∴S△ABF＝AB×BF＝AF×BD，
∴2×1＝ BD，
∴BD＝．
（3）解：作AG⊥CE于G，如图2所示：
∵AB＝2，
∴OA＝OC＝OB＝1，
由（1）得：△OCE≌△BFE（SAS），
∴OE＝BE＝OB＝，
∴AE＝OA+OE＝，
∵∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝AB＝，
∵OC⊥AB，
∴CE＝＝＝，
∵△ACE的面积＝CE×AG＝AE×OC，
∴AG＝＝＝，
∴CG＝＝＝，
∴cos∠ACF＝＝＝．
22．（1）证明：连接OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝90°，即∠1+∠PCD＝90°，
∵GE⊥AB，
∴∠GEA＝90°，
∴∠2+∠ADE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2，
∴∠PCD＝∠ADE，
而∠ADE＝∠PDC，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴△PCD是等腰三角形；
（2）解：连接OD，如图，
在Rt△COF中，∠F＝30°，BF＝2，
∴OF＝2OC，即OB+2＝2OC，
而OB＝OC，
∴OC＝2，
∴⊙O的半径为2；
∵∠FOC＝90°﹣∠F＝60°，
∴∠1＝∠2＝30°，
∴∠PCD＝90°﹣∠1＝60°，
∴△PCD为等边三角形，
∵D为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴AD＝CD，
在Rt△OCD中，OD＝OC＝1，
∴CD＝OD＝，
∴△PCD的面积为．