山东省德州市夏津县第一高级中学2022届高三12月月考数学试卷（PDF版含答案）

2019 级高三上学期 12 月月考数学试题
一、选择题 (本题共 8 小题， 每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中， 只有 一
项符合题目要求)
1.已知集合 = { | = + }， = { | < }，则 ∩ = ( )
A. ( , ) B. ( , ) C. ( , + ∞)D. ( , + ∞)
2.已知 2＋i是关于 x的方程 x2 ax 5 0的根，则实数 a＝( )
A．2－i B．－4 C．2 D．4
3.已知两条直线 ：( + ) + = ， ： + ( + ) = ， // ，则 = ( )
A. 或 B. C. D.

4.若 ， ， 是三个互不重合的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是( )
A. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 // B. 若 ⊥ ， // ，则 ⊥
C. 若 l与 ， 的所成角相等，则 // D. 若 l上有两个点到 的距离相等，则 //
5.若圆 x2＋y2＝r2(r>0)上恒有 4个点到直线 l：x－y－2＝0的距离为 1，则实数 r的取
值范围是( )
A．( 2＋1，＋∞) B．( 2－1， 2＋1) C．(0， 2－1) D．(0， 2＋1)
6.若函数 = ( > )在[
, ]
上的最小值是 ，但最大值不是 2，则 的取
值范围是( )
A. ( , ) B. [ , ) C. ( , ] D. [ , + ∞)

2
7.直线 l：x－y＝0 x与椭圆 ＋y2＝1相交于 A、B两点，点 C是椭圆上的动点，则△ABC
2
面积的最大值为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 6

8.若不等式 ≤ ( + )对 ∈ ( , ]恒成立，则实数 a的取值范围是
( )
A. [ , + ∞) B. [ , + ∞) C. [ , + ∞) D. [ , + ∞)

1
二、选择题（本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分。在每小题给出的选项中， 有多项符 合
要求。全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分， 有选错的得 0 分）
9. 已知等比数列 an 中，满足 a1 1，公比 q＝﹣2，则（ ）
A. 数列 2an an 1 是等比数列 B. 数列 an 1 an 是等比数列
C. 数列 anan 1 是等比数列 D. 数列 log2 an 是递减数列
10.在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E,F ,G,H 分别为棱 A1D1 ,A1B1 ,B1C1 ,C1D1 的中点，将
该正方体挖去两个大小完全相同的四分之一圆锥，得到如图所示的几何体，则（ ）
A．CG / /平面 ADE
B．该几何体的上底面的周长为 4
2
C．该几何体的的体积为8
3
41
D．三棱锥F ABC 的外接球的表面积为 4
11. 将曲线 y sin2x 3sin x sin x
3
上每个点的横坐标伸长为原来的 2倍 (纵坐标
2
不变 )，得到 g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）
3 3
A. g x 的图象关于直线 x 对称 B. g x 在 0， 上的值域为 0，
2 2
C. g x 的图象关于点 ，0 对称
6
D. g x 的图象可由 y cosx 1 2 的图象向右平移 个单位长度得到
2 3
12．用符号 x 表示不超过 x的最大整数，例如： 0.6 0， 2.3 2 .设
f (x) (1 ln x) ax 2 2ln x 有 3个不同的零点 x1， x2， x3，则（ ）
A． x e是 f (x)的一个零点 B． x1 x2 x3 2 e e
1 2ln3 ln 2
C． a的取值范围是 ,0 D．若 x1 x2 x3 6，则 a的范围是 , e . 9 4
2
三、填空题（本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分）
13.在四边形 ABCD中，AD∥BC，AB＝2 3，AD＝5，∠A＝30°，点 E在线段 CB的
→ →
延长线上，且 AE＝BE，则BD·AE＝________.
1
14.已知数列 an 的前 n项和 Sn满足 S n
2
n ，记数列 的前
n项和为Tn ，
ana

n 1
n N*．则使得T20 的值为________.
15．已知 ( + ) = + ，则 + + 的最小值为______．

x 4e, x 0
16.已知函数 f (x)

ex ，若存在 x 0，x 0，使得 f (x ) f (x )，则 x f (x )
, x 0
1 2 1 2 1 2
x
的取值范围是______.
四、解答题（本题共 6 小题， 共 70 分）
3
17.设△ 的内角A、B、C的对边长分别为 a、b、 .设 S为△ 的面积，满 S = (a 2 +c2 -b2 )
4
(1)求 B；
(2)若 = ，求( ) + 的最大值．
1
18.在①数列 an 2 *的前 项和 Sn n n, n N ；②数列 an 是首项为 1，公差不为 0的2
正项等差数列，且 a2 ,a ,a ,
a
成等比数列；③ a 1, n 1 n 1 *4 8 1 , n N 这三个条件中任选一an n
个，补充在下面的问题中，若问题中的m,k存在，求出m,k的值；若不存在，说明理由.
已知数列 an ，且__________，设b
a
nn ,是否存在正整数m,k 1 m k 使得ba a 1
,bm ,bk
n n 1
成等差数列
3
19.如图，在梯形 ABCD中， // ，∠ = °， = = = ，四边形

ACFE为正方形，平面 ⊥平面 ABCD．
( )求证：平面 ⊥平面 ACFE；
( )点M在线段 EF上运动，是否存在点M使平面MAB与
平面 ACFE 所成二面角的平面角的余弦值为 ，若存在，求

线段 FM的长，若不存在，说明理由．
20. 如图，已知 ABC为等边三角形，
D，E分别为 AC ，AB边的中点，把 ADE
沿DE 折起，使点 A到达点 P，
平面 PDE 平面 BCDE ，若 BC 4 .
（1）求 PB与平面BCDE 所成角的正弦值；
（2）求直线DE 到平面PBC 的距离.

21.已知椭圆 '： + = ( > > )的离心率为 = ，且过点( , ).
(1)求椭圆 '的方程；
(2)过椭圆 '的左半个椭圆上(含短轴顶点)上一点 P
作圆 C：( ) + = 的两条切线，分别交椭圆
于A，B两点，记直线PA，PB的斜率为 ， ，求
的取值范围．
22. 已知函数 f (x) ln x ax 2 bx(x 0,a R,b R) .
（1）若曲线 y f (x)在 (1, f (1))处的切线方程为 x 2y 2 0，求 f (x)的极值；
（2）若b 1，是否存在a R，使 f (x)的极值大于零？若存在，求出 a的取值范围；
若不存在，请说明理由.
4
月考参考答案：1-4 ABCB 5-8 A BBD 9.BC 10.ABD 11. BD 12.AD
20
13.-1 14. 15. ( + ) 16. 4e
2 ,0
41
17.解：(1) ；
(2 ， ，由正弦定理知 ，
，
= + = ( + ) ≤ =
，当且仅当 时取最大值，
故( ) + 的最大值为 ．
18..答案：若选①，当 时， ，
当 时， ，满足上式，故 ，所以 .
设存在正整数 使得 成等差数列，
则 ，即 ，
即 ，即 ，即 .
由 ，且 可得 是奇数，所以 (舍去)或 ，所以 ，
故存在 使得 成等差数列.若选②，由 成等比数列，可得 ，
设数列 的公差为 ，则 ，可得 ，
所以 ，所以 .假设存在正整数 使得 成等差数列，
则 ，即 ，即 ，
即 ，即 .由 ，且 可得 是奇数，
所以 (舍去)或 ，所以 ，故存在 使得 成等差数列.
5
若选③，因为 ，所以
，即
，所以 .假设存在正整数 使得 成等差数列，
则 ，即 ，即 ，
即 ，即 .由 ，且 可得 是奇数，
所以 (舍去)或 ，所以 ，故存在 使得 成等差数列.

19.( )证明：在梯形 ABCD中，因为 // ， = = ，∠ = ，所以 = ，
又因为 = ，取 AB中点 P，连接 PC，则 ， = ，易知 = ，
所以 = + ，所以 ⊥ ．因为平面 ⊥平面 ABCD，平面 ∩平
面 = ， 平面ABCD所以 ⊥平面ACFE，又 平面BCF．
所以平面 ⊥平面 ACFE；
( )由( )可建立分别以直线 CA，CB，CF为 x轴，y轴，z轴的
如图所示空间直角坐标系，令 = ≤ ≤ ，
则 , , ， , , ， , , ， , ,
→ → →
所以 = , , ， = , , 设 = , , 为平面MAB的一个法向量，
· = + = →由 得 取 = ，则 = , , ，
· = + =

→ | |
因为 = , , 是平面 ACFE的一个法向量所以
= = =
| | | | + +( ) ×
=
可得( ) + =
，即 = ．

20.（1）如图所示，
设DE 的中点为 O，BC的中点为 F，连接OP，OF ，OB，
则OP DE .因为平面 PDE 平面BCDE ，
平面PDE 平面 BCDE DE ，
6
所以OP 平面 BCDE .因为OB 平面 BCDE ，所以OP OB，
所以 OBP即为直线 PB与平面BCDE所成的角.因为BC 4
1
，则DE BC 2，
2
所以OP OF 3 .在Rt△OBF 中， BF 2 ，OF BF ，所以OB 7 .
在Rt△OBP中， PB OP2 OB2 3 7 10 ，所以 sin OBP
OP 3 30
.
PB 10 10
（2）解法一：因为点 D，E分别为 AC ，AB边的中点，所以DE//BC .
因为DE 平面 PBC ， BC 平面PBC ，所以DE//平面PBC .
由（1）知，OP 平面 BCDE ，又OF DE，所以以点 O为坐标
原点，OE，OF ，OP所在直线为 x，y，z轴建立如图所示的空
间直角坐标系，
则O 0,0,0 ，P 0,0, 3 ，B 2, 3,0 ，C 2, 3,0 ，F 0, 3,0 ，
uur
所以 PB 2, 3, 3 ，CB 4,0,0 .设平面 PBC 的一个法向量为 n x, y, z ，
n P B 2x 3 y 3z 0,
x 0, r
由 得 令 y z 1，所以 n 0,1,1 .
n CB 4x 0 y z,
uuur r
uuur OF n 3 6
因为OF 0, 3,0 ，设点 O到平面 PBC 的距离为 d，则 d r 2 .n 2
O DE DE PBC 6因为点 在直线 上，所以直线 到平面 的距离等于 .
2
21 解：(Ⅰ) 由题意可得 = = = ，即 = ，

+ = = = +

又 ，解得 ， ，则椭圆的方程为 ； =

(Ⅱ)设 ( , )，( ≤ ≤ ) ，则 + = 即 = ，

设过 P的切线方程为 = + ，圆 C：( ) + = 的圆心为( , )，半径为 1，
| + |
由直线和圆相切的条件可得 = ，化为( + ) + ( ) + = ， +

由 ， 为上面方程的两根，可得 =


=
+ +
7
= ( ≤ ≤ )，令 = ( ≤ ≤ )
+
，则 = ，
+
则 =


( +
=
) +
+ + 在 ≤ ≤ 递增，

所以 的取值范围是[ , ]．
f x 122.解：（1）依题意， 2ax b, f 1 1 2a b，
x
f 1 1 2a b 1 a 01 1 2
又由切线方程可知， f 1 ，斜率 k ，所以{ ，解得{ ，所
2 2 f 1 a b 1
1
b
2 2
f x lnx— x以 ，所以
2
f x 1 1 2 x (x 0)，
x 2 2x
当 x 0时， x, f x , f x 的变化如下：所以
f x f 2 ln2 1，无极小值.
极大值
2
（2）依题意， f x lnx ax2 x f x 1 2ax 1 2ax x 1，所以 (x 0) ，
x x
①当 a 0时， f x 0在 0, 上恒成立，故无极值；
1
②当 a 0时，令 f x 0，得 2ax2 x 1 0，则 1 8a 0，且两根之积 x1x2 0，2a
x 0, x 2a x x1 x x2 不妨设 1 2 0，则 f x ，即求使 f x2 0的实数 a的取值范围.x
2ax2
{ 2
x2 1 0 x 1
由方程组 2 消去参数 a后，得 lnx
2
2 0，lnx2 ax2 x2 0 2
x 1
构造函数 g x lnx ，则 g x 1 1 0，所以 g x 在 0, 上单调递增，
2 x 2
又 g 1 0，所以 g x 0 1 1 8a解得 x 1，即 x2 1，解得 1 a 0 .4a
由①②可得， a的范围是 1 a 0 .
8