2021-2022鲁教版数学九年级上第二章直角三角形的边角关系单元测试（Word版含答案）

2021-2022鲁教版数学九年级上第一章反比例函数单元测试
一、选择题
如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，若，，则的值是
A.
B.
C.
D.
如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为
A.
B.
C.
D.
如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边点处，某测量员从山脚点出发沿水平方向前行米到点点，，在同一直线上，再沿斜坡方向前行米到点点，，，，在同一平面内，在点处测得信号塔顶端的仰角为，悬崖的高为米，斜坡的坡度或坡比：，则信号塔的高度约为
参考数据：，，
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
已知，在中，，若，，则长为
A. B. C. D.
如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度是测得教学楼的顶部处的仰角为则教学楼的高度是
B.
C.
D.
如图，在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度
A.
B.
C.
D.
如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，现采取以下措施：在地面上选取一点，测得，米，，则这棵树的高约为参考数据：，，
米 B. 米 C. 米 D. 米
在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点，恰好分别落在函数，的图象上，则的值为
A. B. C. D.
如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是
B.
C.
D.
在中，、均为锐角，且，则是
A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
如图，正方形中，点在边上，且连接、、，且交于，为的中位线，下列结论，， ， 其中正确结论的个数是
A. 个
B. 个
C.
D. 个
二、填空题
如图，矩形中，点，分别在边，上，连接，，，将和分别沿，折叠，使点，恰好落在上的同一点，记为点若，，则______．
在中，，，，那么的正弦值是______．
如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，长米，坡角为，的坡角为，则长为______米结果保留根号．
把两个同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点、、在同一条直线上若，则的长为 ．
如图，，，是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为，则的值为______
如图，在四边形中，，，，，，则的长为 ．
三、计算题
计算：
计算：
四、解答题
如图，在中，，，，平分交边于点．
求边的长；
的值．
如图，一个水池的两端分别为，两点，在岸上选一点，使点能直接到达，两点，连接，若，，，求，两点之间的距离结果保留整数参考数据：，，
速滑运动受到许多年轻人的喜爱．如图，四边形是某速滑场馆建造的滑台，已知，滑台的高为米，且坡面的坡度为：后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面的坡度为．
求新坡面的坡角及的长；
原坡面底部的正前方米处是护墙，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙米．请问新的设计方案能否通过，试说明理由参考数据：
如图，某地标性大厦离小伟家 ，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是，而大厦底部的俯角是，求该大厦 的高度．可选用数据： ，，
如图所示，某船以每小时海里的速度向正东方向航行，在点测得岛在北偏东方向上，航行半小时后到达点，测得该岛在北偏东方向上，已知该岛周围海里内有暗礁．
试说明点是否在暗礁区域外？
若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．首先构造以为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【解答】
解：连接．
则，，
则．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由勾股定理得，，
，
故选：．
根据勾股定理求出，根据余弦的定义解答．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：四边形为矩形，
，，
矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
，，
在中，，
，
设，则
在中，，
，解得，
，
，
故选：．
先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到，进一步得到的长，再根据余弦函数的定义即可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：过点作交的延长线于点，过点作于点，
斜坡的坡度或坡比：，米，
设，则．
在中，
，即，
解得，
米，米，
米．
，，，
四边形是矩形，
米，米．
在中，
，
米，
米．
米．
故选：．
过点作交的延长线于点，过点作于点，根据斜坡的坡度或坡比：可设，则，利用勾股定理求出的值，进而可得出与的长，故可得出的长．由矩形的判定定理得出四边形是矩形，故可得出，，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出答案．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图所示：，，
，
解得：．
故选：．
直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确画出直角三角形是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：过作，则四边形为矩形，
在处测得教学楼顶端的仰角为，
，
，
，
，
故选：．
根据锐角三角函数和直角三角形的性质解答即可．
此题考查了仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：方法一：如图，延长交于点，过点作于点，
设，
，
，
，
，，，
，
由翻折可知：
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
由翻折可知：，
，
是的角平分线，
，
，
解得．
方法二：
如图，过点作，
由折叠可知：，
，
，
设，则，
由折叠性质可知，，
，
，
，
，
由翻折可知：，
，
，
解得，
，，
在直角三角形中，，
解得．
故选：．
方法一，延长交于点，过点作于点，设，根据已知条件和翻折的性质可求的值，再证明是的角平分线，可得，进而可得的长．方法二，过点作，首先得到度，度，再根据平行线的性质可得到，设，由折叠性质可知，，在直角三角形中，根据勾股定理即可得的长．
本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，作于设，构建方程即可解决问题．
【解答】
解：如图，作于．
，，
设，
，
，
，
，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出的值．
过点、分别作轴，轴，垂足为、，点，落在函数，的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．
【解答】
解：过点、分别作轴，轴，垂足为、，
点在反比例函数上，点在上，
，，
又，
，
，
，
∽，
，
设，则，，
在中，
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
作于，于由，设，，利用勾股定理构建方程求出，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题．
【解答】
解：如图，作于，于．
，
，
，设，，
则有：，
，
或舍弃，
，
，，，
等腰三角形两腰上的高相等
，，
，
，
，
，
，
的最小值为．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查特殊角的锐角三角函数、非负数的性质和等边三角形的判定，牢记特殊角的锐角三角函数值是解决问题的关键根据非负数的性质和特殊角的锐角三角函数值求出和的度数，即可判定是什么三角形．
【解答】
解：，
，，
，，
是等边三角形．
故选B．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，三角形的中位线，由条件四边形是正方形可以得出，，，通过作辅助线制造直角三角形可以求出正弦值，利用三角形相似可以求出线段之间的关系，三角形面积的等积变换，平行线的性质就可以求出相应的结论．
【解答】
解：，
，
四边形是正方形，
，，
∽，
，
是的中点，是的中点，
，
，
即，
故正确，
，，
∽，
，
，
，
即，
故正确，
为的中位线，
，
，
，
即，
故错误；
过点作，
，，
∽，
：：，
：：，
设，则，
在中，，
，
，
故正确．
故正确结论有个，
故选B．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
根据折叠的性质结合勾股定理求得，，证得∽，求得，再利用勾股定理得到的长，即可求解．
【解答】
解：矩形中，，，，
，
根据折叠的性质：，，，，，，，
，，
，点，点，点三点共线，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：，，，
的正弦，
故答案为．
我们把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作代入数据直接计算得出答案．
本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
过点作于，过点作于首先证明，解直角三角形求出，再根据直角三角形度角的性质即可解决问题．
【解答】
解：过点作于，过点作于．
，，，
，
在中，米，
米，
在中，，，
米，
故答案为．
16.【答案】
【解析】略
17.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键，连接，根据，，得到，为等腰直角三角形，即，即可得到的值．
【解答】
解：如图，连接，
由网格可得，，
即，
为等腰直角三角形，
，
则，
故答案为．
18.【答案】
【解析】略
19.【答案】解：
．
【解析】第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项去绝对值，最后一项利用特殊角的三角函数值计算，最后合并即可得出结论．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：原式
．
【解析】本题考查了特殊角的三角函数值，涉及到二次根式的运算解题关键是熟记特殊角的三角函数值先把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的混合运算即可．
21.【答案】解：在中，
又
．
过点作于点．
平分，，
，
设，
在中，，．
，
，
，
在中，可得．
【解析】在中，由推出，即可解决问题；
过点作于点由角平分线的性质定理可知，设，在中，利用勾股定理构建方程求出即可解决问题；
本题考查解直角三角形，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
22.【答案】解：如图，过点作，垂足为，
在中，
，
，
设，
在中，
，
，
又，
，
又，即，
，
解得，，
答：的长约为．
【解析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．
23.【答案】解：如图，过点作，垂足为，
新坡面的坡度为：，
，
，即新坡面的坡角为，
米；
新的设计方案不能通过．
理由如下：坡面的坡度为：，
，
，
，
，
，
新的设计方案不能通过．
【解析】过点作，垂足为，根据坡度的概念求出，根据直角三角形的性质求出；
根据坡度的概念求出，根据正切的定义求出，得到，结合图形求出，计算得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.【答案】解：过点作于，
，，
四边形是矩形，
米，
米，
在中，米，
在中，，
米，
米．
答：该大厦的高度约为米．
【解析】首先过点作于，可得四边形是矩形，即可得米，然后分别在中，与在中，，继而求得大厦的高度．
此题考查了仰角与俯角的知识．注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
25.【答案】解：过点作于，设，
，
，，，
由题意知：，即，
解得：海里，
，
点在暗礁区域之外；
由知：，
故继续向东航行有触礁的危险．
【解析】过点作于，设，根据题意和特殊角的三角函数值求出和的值，从而求出的值，再与海里进行比较即可得出答案．
根据求出的值，再与进行比较，即可得出答案．
此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是特殊角的三角函数值、方向角问题，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．
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