2021-2022鲁教版数学九年级上第三章二次函数单元测试（word版含解析）

2021-2022鲁教版数学九年级上第三章二次函数单元测试
一、选择题
下列函数中是二次函数的是
A. B. C. D.
均匀地向一个容器注水，最后将容器注满．在注水过程中，水的高度随时间的变化规律如图所示，这个容器的形状可能是
A.
B.
C.
D.
把抛物线向右平移个单位，然后向下平移个单位，则平移后抛物线的解析式为
A. B. C. D.
由二次函数可知
A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线
C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大
如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为
A.
B.
C.
D.
二次函数的图象经过点，则代数式的值为
A. B. C. D.
下列关于抛物线有关性质的说法，正确的是
A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为
C. 其最大值为 D. 当时，随的增大而减小
如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加
A.
B.
C.
D.
已知，，是抛物线上的点，则
A. B. C. D.
如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：
；；；；正确的是
A.
B.
C.
D.
年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为吨的情况下，日销售量与产量持平．自月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销，下面表示年初至脱销期间，该厂库存量吨与时间天之间函数关系的大致图象是
A. B.
C. D.
二次函数是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：
且当时，与其对应的函数值有下列结论：
；和是关于的方程的两个根；其中，正确结论的个数是
A. B. C. D.
二、填空题
已知是关于的二次函数，那么的值为______．
二次函数的图象如图所示，则的取值范围是______．
函数的自变量的取值范围是______．
如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是______．
已知抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为，若关于的一元二次方程有整数根，则的值有______个．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为______．
三、解答题
如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是宽，水位上升就达到警戒线，这是水面宽度为．
在如图的坐标系中求抛物线的解析式．
若洪水到来时，水位以每小时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？
一家商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件
若降价元，则平均每天销售数量为______件；
求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润的最大值是多少元？
如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是，与轴交于，两点，与轴交于点点的坐标是．
求，两点的坐标，并根据图象直接写出当时的取值范围．
平移该二次函数的图象，使点恰好落在点的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
某矩形工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
若丝绸花边的面积为，求丝绸花边的宽度．
已知该工艺品的成本是元件，如果以单价元件销售，那么每天可售出件，根据销售经验，销售单价每降低元，每天可多售出件，设销售单价降低元件为偶数，每天的销售量为件
直接写出与的函数关系式_______________．
设每天的销售利润为元，为了让利于顾客，请问应该把销售单价定为多少元，能使每天所获利润最大？最大利润是多少元？
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点．
求该抛物线的解析式；
若点为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标；
已知，分别是直线和抛物线上的动点，当，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，是正比例函数，不合题意；
B、，是反比例函数，不合题意；
C、，是二次函数，符合题意；
D、，是一次函数，不合题意；
故选：．
直接利用一次函数、二次函数、反比例函数的定义分别判断得出答案．
此题主要考查了一次函数、二次函数、反比例函数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用图象反映变量间的关系，正确理解图象所表示的意义是解题的关键，注意容器粗细和水面高度变化的关系．
根据每一段图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
【解答】
解：注水量一定，从图中可以看出，上升较快，上升较慢，上升最快，
由此可知这个容器下面容积较大，中间容积最大，上面容积最小，
因此只有选项的容器形状符合题意．
故选D．
3.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，把点向右平移个单位，再向下平移个单位所得对应点的坐标为，所以平移后抛物线的解析式为．
故选：．
先根据二次函数的性质得到抛物线的顶点为，再利用点平移的规律得到点平移后的对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
4.【答案】
【解析】解：，
抛物线开口向上，故A不正确；
对称轴为，故B正确；
当时，有最小值，故C不正确；
当时，随的增大而增大，故D不正确；
故选：．
由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
设抛物线的解析式为，将代入求得值，则时，得的值即为水管的长．
【解答】
解：由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为，
则设抛物线的解析式为：
，
代入求得：．
将值代入得到抛物线的解析式为：
，
令，则．
则水管长为，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：把代入，得，
即，
故选：．
把代入，即可得出代数式的值．
本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：抛物线，
，该抛物线开口向上，故选项A错误；
其图象的对称轴是直线，故选项B错误；
当，可以取得最小值，故选项C错误；
当时，随的增大而减小，故选项D正确；
故选：．
根据题目中抛物线和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8.【答案】
【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点，
抛物线以轴为对称轴，且经过，两点，和可求出为的一半米，抛物线顶点坐标为，
设顶点式，把点坐标代入得，
抛物线解析式为，
当水面下降米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
，
解得：，
，
所以水面下降，水面宽度增加米．
故选：．
根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，
时，函数值最大，
又到的距离比到的距离小，
．
故选：．
求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故正确，
时，，
，即，故正确，
的图象过点和，
，，
，
，故正确，
，
，
，
，故正确，
，
，
，故正确，
故选：．
利用图象信息即可判断；根据时，即可判断；根据是方程的根，结合两根之积，即可判断；根据两根之和，可得，可得，根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断；
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；决定抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
11.【答案】
【解析】解：根据题意：时间与库存量之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为．
故选：．
根据开始产量与销量持平，后来脱销即可确定存量吨与时间天之间函数关系．
本题要求能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
12.【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．依据二次函数图象及其性质，逐项判断即可．
【解答】
解：当时，，
当时，，
，
，
，
正确；
是对称轴，
时，则时，，
和是关于的方程的两个根；
正确；
，，
，
，
当时，，
，
，
错误；
故选：．
13.【答案】
【解析】解：是关于的二次函数，
，且，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次函数的定义分析得出答案．
此题主要考查了二次函数的定义，正确把握系数与次数是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：由图象可知，
当时，函数值的取值范围．
故答案为：．
根据图象中的数据可以得到当时，函数值的取值范围．
本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
15.【答案】且
【解析】解：根据题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；被开方数是非负数．
16.【答案】，
【解析】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，
方程组的解为，，
即关于的方程的解为，．
所以方程的解是，
故答案为，．
根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于的方程的解．
本题考查抛物线与轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．
17.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为
，解得．
又抛物线与轴的一个交点为．
把代入得，
解得，．
对称轴，最大值
如图所示，
顶点坐标为
令
即
解得或
当时，抛物线始终与轴交于与
即常函数直线，由
由图象得当时，，其中为整数时，，，，，
一元二次方程的整数解有个．
又与，与关于直线轴对称
当时，直线恰好过抛物线顶点．
所以值可以有个．
故答案为．
根据题意可知一元二次方程的根应为整数，通过抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为可以画出大致图象判断出直线，观察图象当时，抛物线始终与轴相交于于故自变量的取值范围为所以可以取得整数，，，，，共个．由于与，与关于对称轴直线对称，所以于与对应一条平行于轴的直线，与对应一条平行于轴的直线，时对应一条平行于轴且过抛物线顶点的直线，从而确定时，的值应有个．
本题考查了二次函数图象抛物线与轴及常函数直线的交点横坐标与一元二次方程根的关系．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的性质，待定系数法求正比例函数解析式，难度中等．
先根据抛物线解析式求出点坐标和其对称轴，再根据对称性求出点坐标，利用点为线段中点，得出点坐标；用含的式子表示出点坐标，写出直线的解析式，再将点坐标代入即可求解出的值．
【解答】
解：抛物线与轴交于点，
，抛物线的对称轴为，
顶点坐标为，点坐标为
点为线段的中点，
点坐标为，
设直线解析式为为常数，且，
将点代入得，
，
将点代入得
解得
故答案为：．
19.【答案】解：解：设所求抛物线的解析式为：，
由，可设，
由，水位上升就达到警戒线，
则，
把、的坐标分别代入得：
，
解得．
；
，
拱桥顶到的距离为，
小时．
所以再持续小时到达拱桥顶．
【解析】此题主要考查了二次函数的应用．通过数学建模，把实际问题转化为二次函数问题，用二次函数的性质加以解决是解题的关键．
首先设所求抛物线的解析式为：，可设，利用待定系数法即可得到抛物线解析式；
由可知，由此可求出从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶的时间．
20.【答案】解：；
设每件商品应降价元时，该商店每天销售利润为元，根据题意，得
整理，得，
解得：，
要求每件盈利不少于元
应舍去，解得
答：每件商品应降价元时，该商店每天销售利润为元．
设每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元
则：
有最大值
当时，有最大值元，此时每件利润为元，符合题意
即当每件商品降价元时，该商店每天销售利润最大值为元．
【解析】解：若降价元，则平均每天销售数量为件．
故答案为：；
见答案．
见答案．
销售单价每降低元，平均每天可多售出件，加上乘以即可；
设每件商品应降价元时，该商店每天销售利润为元，根据题意列方程，解出值，结合问题的实际意义作出取舍即可；
设每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元，根据题意列出二次函数，从而求得其最大值．
本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题时需要考虑问题的实际意义，本题属于中档题．
21.【答案】解：把代入，得，解得，
，
，
对称轴，，关于对称，
，
当时，．
，
点平移到，抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，可得抛物线的解析式为．
【解析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用待定系数法求出，再求出点的坐标即可解决问题．
由题意点平移的，抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，由此可得抛物线的解析式．
22.【答案】解：设丝绸花边的宽度为，
由题意得：，
即，
解得或舍去，
答：丝绸花边的宽度为；
；
依题意得每天的销售利润为，
故当时，最大销售利润为，
为偶数，
当或时，有最大利润，
为了让利于顾客，
，符合题意，此时，
故销售单价定为，
答：每件商品的销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】
本题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用的有关知识．
设丝绸花边的宽度为，根据题意列出方程求解即可；
根据题意列出函数关系式即可；
根据题意列出函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可．
【解答】
解：见答案；
由题意得
，
故答案为；
见答案．
23.【答案】解：在中，令，得，令，得
，
把，，代入，得
，解得
抛物线得解析式为
如图，过点作轴得平行线交抛物线于点，过点作得垂线，垂足为
轴，
，
即
设点的坐标为，则，
，
，即
解得舍去，
当时，
点的坐标为
当为边时，，
设，
解得，，
当为对角线时，与互相平分
过点作，直线交抛物线于点和
求得直线解析式为或
直线与的交点为，点的横坐标为或
点的坐标为或或或或
【解析】求得、两点坐标，代入抛物线解析式，获得、的值，获得抛物线的解析式．
通过平行线分割倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标．
、、、四点作平行四边形，以已知线段为边和对角线分类讨论，当为边时，以的关系建立方程求解，当为对角线时，与互相平分，利用直线相交获得点坐标．
本题考查了待定系数法，倍角关系和平行四边形点存在类问题，将倍角关系转化为等角关系是问题的解题关键，根据平行四边形的性质，以为边和对角线是问题的解题关键，本题综合难度不大，是一道很好的压轴问题．
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