福建省莆田市仙游县第二高级中学2022届高三上学期12月月考数学（理）试题（Word版含答案解析）

仙游县第二高级中学2022届高三上学期12月月考
理科数学
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。
1、在复平面内，复数 对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2、已知集合A={x|3x-x2＞0}，B={x|-1＜x＜1}，则A∩B=（　　）
A. B.
C. D.
3、下列说法正确的是（　　）
A. “若,则”的否命题是“若,则”
B. ,使
C. “若, 则”是真命题
D. 命题“若,则方程有实根”的逆命题是真
命题
4、已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A. B. C. D.
5、曲线y=e-xcosx在点（0，1）处的切线方程为（　　）
A. B.
C. D.
6、如果执行程序框图，且输入n=6，m=4，则输出的
p=（　　）
A. 240 B. 120 C. 720 D. 360
7、若当x=时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）
取得最小值，则函数y=f（ - x）是（　　）
A. 奇函数且图象关于点对称 B. 偶函数且图象关于直线对称
C. 奇函数且图象关于直线对称 D. 偶函数且图象关于点对称
8、3男2女共5名同学站成一排合影，则2名女生相邻且不站两端的概率为（　　）
A. B. C. D.
9、已知x=log52，y=log2，z= ，则下列关系正确的是（　　）
A. B. C. D.
10、已知△ABC中，，延长BD交AC于E，则
=（　　）
A. B. C. D.
11、若点H是△ABC的垂心，且，则点O是△ABC的( )
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
12、在△ABC所在的平面上有一点P，满足，则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A. B. C. D.
2、填空题（本大题共4小题，每小题5分，
共 20分）。
13、根据某地方的交通状况绘制了交通指数的频率分布直方图（如图），若样本容量为500个，则交通排指数在[5，7）之间的个数是______
14、已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，c=2，且2ccosB=2a-b，则△ABC面积的最大值为______
15、若数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1+Sn=，则a25 = ______．
16、已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，其外接球的表面积为56π，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，则a=______．
三、解答题（本大题共7小题，第17、18、19、20、21小题每题12分，第22、23小题为选做题（二选一）10分，共80分）
17、已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx (x∈R).
(1)求f()的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
18、已知等差数列的公差d≠0，其前n项和为Sn，若，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，证明：.
19、在△ABC中，点D在边AB上，DA=DC，BD=2，∠B=45°．
（1）若△BCD的面积为3，求CD；
（2）若AC=2，求A．
20、已知点F(1,0)，点P在y轴上运动，点M在x轴上运动，设P(0,b)，M(a,0)且，动点N满足.
(1)求点N的轨迹C的方程;
(2)F′为曲线C的准线与x轴的交点，过点F′的直线l交曲线C于不同的两点A、B，若D为AB的中点， 在x轴上存在一点E，使求的取值范围(O为坐标原点).
21、函数f（x）=2x-ex+1．
（1）求f（x）的最大值；
（2）已知x∈（0，1），af（x）＜tanx，求a的取值范围．
22、已知函数．
求不等式的解集M；
设a，，证明：．
答案和解析
1. 【答案】A
【解析】解：在复平面内，复数==对应的点位于第一象限．故选：A．
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．
1. 【答案】C【解析】解：∵A={x|0＜x＜3}，B={x|-1＜x＜1}，
∴A∩B={x|0＜x＜1}．故选：C．
可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
1. 【答案】C
【解析】解：A错，否命题是“若a≤1，则a2≤1”；
B错，根据指数函数的性质，第一象限内，底大图高，所以不存在 x0∈（0，+∞），使；
C正确．用逆否命题法判断；，则，显然成立；
D错，逆命题是“若方程x2+x-m=0有实根，则m＞0“，方程x2+x-m=0有实根，所以不成立．故选：C．
利用否命题，逆否命题，和学科知识判断即可．
考察否命题，命题真假的判断，注意互为逆否命题的命题同真同假的应用，基础题．
1. 【答案】A
【解析】解：双曲线的离心率为，则=，令c=t，a=2t，则b==t，
则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=±2x，故选：A．
运用离心率公式，令c=t，a=2t，则b==t，再由渐近线方程， 即可得到结论．
本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．
1. 【答案】D
【解析】解：由题意，y′=-e-xcosx-e-xsinx=-e-x（sinx+cosx），
则y′|x=0=-e0（0+1）=-1．∴曲线y=e-xcosx在点（0，1）处的切线斜率为-1，
∴曲线y=e-xcosx在点（0，1）处的切线方程为y-1=-（x-0）
即：x+y-1=0．故选：D．
本题先求出曲线y=e-xcosx的一阶导数，然后代入x=0计算出曲线y=e-xcosx在点（0，1）处的切线斜率，即可得到切线方程．
本题主要考查函数求导运算能力，以及根据导数代入具体点的横坐标，得到切线斜率，从而得出切线方程．本题属基础题．
1. 【答案】D
【解析】解：根据题中的程序框图，模拟运行如下：
输入n=6，m=4，k=1，p=1，
∴p=1×（6-4+1）=3，k=1＜4，符合条件，
∴k=1+1=2，p=3×（6-4+2）=12，k=2＜4，符合条件，
∴k=2+1=3，p=12×（6-4+3）=60，k=3＜4，符合条件，
∴k=3+1=4，p=60×（6-4+4）=360，k=4=4，不符合条件，
故结束运行，输出p=360．故选：D．
根据题中的程序框图，模拟运行，依次计算k和p的值，利用条件k＜m进行判断是否继续运行，直到k≥m则结束运行，输出p的值即为答案．
本题考查了程序框图，主要考查了循环语句和条件语句的应用．其中正确理解各变量的含义并根据程序功能的需要合理的分析是解答的关键．属于基础题．
1. 【答案】D
【解析】分析：由f（ ）=Asin（ +φ）=-A可求得φ=2kπ-（k∈Z），从而可求得y=f（ -x）的解析式，利用正弦函数的奇偶性与对称性判断即可．
本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求φ是难点，考查正弦函数的奇偶性与对称性，属于中档题．
解：∵f（）=Asin（+φ）=-A，∴+φ=2kπ-，∴φ=2kπ-（k∈Z），
∴y=f（-x）=Asin（-x+2kπ-）=-Acosx，
令y=g（x）=-Acosx，则g（-x）=-Acos（-x）=Acosx=g（x），
∴y=g（x）是偶函数，可排除A，C；
其对称轴为x=kπ，k∈Z，对称中心为（kπ+，0）k∈Z，可排除B；
令k=0，x=，则函数的对称中心（，0），故选：D．
8.【答案】B
【解析】解：3男2女共5名同学站成一排合影，基本事件总数n==120，2名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数m==24，
∴2名女生相邻且不站两端的概率为p==．故选：B．
基本事件总数n==120，2名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数m==24，由此能求出2名女生相邻且不站两端的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】A
【解析】解：x=log52＜=，y=log2＞1，z==∈（，1）．
∴x＜z＜y．故选：A．
利用指数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：依题意，设=，=μ，
则==λ（-3+6）=-3+6，
又=+=+=+μ（）=（1+μ）-μ，
所以，两式相加得λ=，即=，所以==，
故选：C．设=，=μ，分别将分解为用基底，表示的向量，根据对应系数相等得方程组，即可求得λ．
本题考查了向量的线性运算，考查向量的分解，主要考查计算能力，属于基础题．
11.【解析】选C.取BC的中点D，则又∴点O在BC的中垂线上.
同理点O在CA、AB的中垂线上，所以点O是△ABC的外心.
12、【解析】选C.由得即即所以点P是CA边上的一个三等分点，故
二、填空题（每小题5分，共 20分）。
13、【答案】220
【解析】解：由频率分布直方图得：
交通排指数在[5，7）之间的频率为：
0.24+0.2=0.44，
∴交通排指数在[5，7）之间的个数为：
0.44×500=220．
故答案为：220．
14.【答案】
【解析】解：∵2ccosB=2a-b，由正弦定理可得，2sinCcosB=2sinA-sinB，
∴2sinCcosB=2sin（B+C）-sinB，∴2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB-sinB，
∴2sinBcosC-sinB=0，∵sinB≠0，∴cosC=，∵C∈（0，π），∴C=
由余弦定理可得，4=a2+b2-2ab×cos60°=a2+b2-ab，
≥2ab-ab=ab，当且仅当a=b时取等号，∴ab≤4，
∴△ABC面积s==，即面积的最大值为．故答案为：
15.【答案】5-2
【解析】根据题意，数列{an}中Sn+1+Sn=，①
则有Sn+Sn-1=，②①-②可得：Sn+1+Sn-Sn-Sn-1=-，
即an+1+an=-，则an+1-=-（an+），
当n=1时，有a2-=-（a1+）=-2，解可得a2=-1，
当n=2时，有a3-=-（a2+）=-2，解可得a3=-，
当n=3时，有a4-=-（a3+）=-2，解可得a4=-，
…
归纳可得：an=-，则a25=-=5-2，故答案为5-2．
16.【答案】2
【解析】根据题意，画出示意图如右图所示，O为四棱锥P-ABCD的外接球的球心，则|OA|=|OP|=R，设|OM|=h，
∵外接球的表面积是56π，∴R=
∴h2+=14 +（-h）2=14，
联立以上两式解得a=2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共7小题，第17、18、19、20、21小题每题12分，第22、23小题为选做题（二选一）10分，共80分）
17. 【解析】
(1)
(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,∴,k∈Z,
即 (k∈Z)时，f(x)单调递增.
∴f(x)的单调递增区间为［］(k∈Z).
18.【答案】解：（1）因为{an}为等差数列，且a2+a8=22，
∴，由a4，a7，a12成等比数列，得，
即（11+2d）2=（11-d） （11+7d），
∵d≠0， ∴d=2， ∴a1=11-4×2=3
故an=2n+1（n∈N*）
（2）证明：∵，∴，
∴=
故．
19.【答案】解：（1）∵△BCD的面积为3，∴，∴BC==，
在△BCD中，由余弦定理，有，
∴=；
（2）在△ACD中，由正弦定理，有，∴CD=，
在△BCD中，由正弦定理，有，
∴==，
∵A∈（0°，67.5°），∴90°-A∈（22.5°，90°），135°-2A∈（0°，135°），
∴90°-A=135°-2A或（90°-A）+（135°-2A）=180°，
∴A=45°或A=15°．
20.【答案】(1)P(0,b),M(a,0),设N(x,y),由 ①
由 ②
将②代入①得曲线C的轨迹方程为y2=4x.
(2)由(1)得点F′的坐标为(-1,0)，设直线l:y=k(x+1),代入y2=4x，得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,由,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),
则,y0=
∵故直线DE的方程为令y=0，得xE=1+ (0＜k2＜1) xE＞3,即||的取值范围是(3,+∞).
21.【答案】解：（1）f（x）=2x-ex+1，f′（x）=2-ex，
令f′（x）＞0，解得：x＜ln2，令f′（x）＜0，解得：x＞ln2，
∴f（x）在（-∞，ln2）递增，在（ln2，+∞）递减，
∴f（x）的最大值是f（ln2）=2ln2-1；
（2）x∈（0，1）时，f（x）在（0，ln2）递增，在（ln2，1）递减，
且f（0）=0，f（1）=3-e＞0，∴f（x）＞0，
∵tanx＞0，∴a≤0时，af（x）≤0＜tanx；
a＞0时，令g（x）=tanx-af（x），
则g′（x）=+a（ex-2），
∴g（x）在（0，1）递增且g′（0）=1-a，
①0＜a≤1时，g′（0）≥0，g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，1）递增，又g（0）=0，
∴此时g（x）＞0，即af（x）＜tanx成立，
②a＞1时，g′（0）＜0，g′（1）＞0，
∴ x0∈（0，1），使得g′（x0）=0，
即x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）递减，
又g（0）=0，
∴g（x）＜0与af（x）＜tanx矛盾，
综上：a≤1．
22.【答案】（1）解：①当x≤-1时，原不等式化为-x-1＜-2x-2解得：x＜-1；
②当时，原不等式化为x+1＜-2x-2解得：x＜-1，此时不等式无解；
③当时，原不等式化为x+1＜2x，解得：x＞1．
综上，M={x|x＜-1或x＞1}；
（2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|-1＞0，
则f（ab）=|ab+1|，f（a）-f（-b）=|a+1|-|-b+1|．
∴f（ab）-[f（a）-f（-b）]=f（ab）+f（-b）-f（a）=|ab+1|+|1-b|-|a+1|
=|ab+1|+|b-1|-|a+1|≥|ab+1+b-1|-|a+1|=|b（a+1）|-|a+1|
=|b| |a+1|-|a+1|=|a+1| （|b|-1|）＞0，
故f（ab）＞f（a）-f（-b）成立．