福建省莆田市仙游县第二高级中学2022届高三上学期12月月考数学（文）试题（Word版含答案）

仙游县第二高级中学2022届高三上学期12月月考
数学试题（文科）
一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分）
1、集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2、下列函数中，既是偶函数又在区间（0,1）上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3、已知函数的导函数为，且满足，则等于（ ）
A．-e B．-1 C．1 D．e
4、命题“，”的否定形式是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
5、若，为实数，则“0＜＜1”是“＜”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6、若，则（ ）
A． B． C． D．
7、设，函数的图象向左平移个单位长度后与原图像重合，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
8、如图，在中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，，AB=，AD=，则BD的长为（ ）
A． B． C．2 D．
9、已知函数，则函数的在点（0，）处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
10、函数的图象大致为（ ）
11、已知定义在R上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12、已知函数在R上有极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4个小题,每小题5分,共20分）
13、设则 。
14、若函数的定义域是，则函数的定义域是 。
15、已知函数，其中，给出下列四个结论：
①函数是最小正周期为的奇函数；
②函数图象的一条对称轴是直线；
③函数图象的一条对称中心为；
④函数的递增区间为，.
则正确结论是 。
16、若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是 。
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S4＝16，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
18、（12分）已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，，，求中线的长.
19、（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC中点，M是PD的中点．
（1）求证：平面AEM⊥平面PAD；
（2）若F是PC上的中点，且AB=AP=2，求三棱锥P-AMF的体积．
20、（12分）某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示.
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值．
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
21、（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设M，N分别为椭圆C的左、右顶点，过点Q（1，0）且不与x轴重合的直线l1与椭圆C相交于A，B两点，是否存在实数t（t＞2），使得直线l2：x=t与直线BN的交点P满足P，A，M三点共线？若存在，求出l2的方程；若不存在，请说明理由．
22、（12分）已知函数.
（1）若，当时，求的单调递减区间；
（2）若函数有唯一的零点，求实数的取值范围.
高三月考数学（文科）答案
一、选择题
1—5 BDBDD 6—10DDDBA 11—12 CD
二、填空题
13、 14、（0，1） 15、②③④ 16、[，1）
三、解答题
17、解　(1)设数列{an}的公差为d，
∵a2＝3，S4＝16，∴a1＋d＝3，4a1＋6d＝16，解得a1＝1，d＝2.∴an＝2n－1.
(2)由题意知，bn＝＝，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
18、
19、
证明：（1）连结AC，
∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，
∵E是BC中点，∴AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，∴PA⊥AE，
∵PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，
又AE 平面AEM，∴平面AEM⊥平面PAD．
解：（2）∵F是PC上的中点，且AB=AP=2，
∴AD=2，AE=，
∴三棱锥P-AMF的体积：
VP-AMF=VM-APF=
=
=
==．
20、解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
21、解：（1）由题意可知，解之得，
故椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）假设存在满足题意的直线l2，先设出AB的方程x=my+1，设A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立方程组消去x可得（m2+2）y2+2my-3=0，
∴△=4m2+12（m2+2）=16m2+24＞0，
，
由于N（2，0），B（x2，y2），所以直线BN的方程为，
则直线l2：x=t与直线BN的交点P坐标为，且，
因为P，A，M三点共线，所以共线，
∴y1（t+2）（x2-2）=y2（t-2）（x1+2），
整理得，，
由于，所以．
所以，解得t=4．
所以存在直线l2：x=4满足条件．
22、