广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期中 数学文试题

汕头市金山中学2012-2013学年度第一学期期中考试
高三文科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（　 ）
A． B． C．D．
3．设, 那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是（ ）．
A． B． C． D．
5．下列命题中正确的是（ ）
A.的最小值是2 B.的最小值是2
C.的最大值是 D.的最小值是
6.函数的最小值是 （ ）A. 1 B. C.2 D.0
7.已知,则的大小为 ( )
A. B. C. D.
8.函数的图象大致是（ ）
9.已知函数是定义在实数集R上得不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则=（ ）
A．0 B. C.1 D.
10.设底面为正三角形的直棱柱体积为V,那么表面积最小时,底面边长为 ( )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 2
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
11． 满足条件的所有集合B的个数是______。21世纪教育网
12．已知定义在R上的奇函数满足＝(x≥0)，若，则实数的取值范围是________．
13．若关于的方程只有一个实根，则实数
14．给出一列三个命题：
①函数为奇函数的充要条件是；
②若函数的值域是R，则；
③若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称．
其中正确的命题序号是 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分12分）已知集合，.
（Ⅰ）若，求集合、集合
（Ⅱ）若，求的取值范围。
16．（本小题满分12分）已知二次函数满足，，求的取值范围。
17．（本小题满分14分）已知函数在处取得极值，记点.
⑴求的值；
⑵证明：线段与曲线存在异于、的公共点；
18．（本小题满分14分）某种商品的成本为5元/ 件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系：


（1）求总利润（利润＝销售额－成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式；
（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大.
19．（本小题满分14分）已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求的值;
(2)用定义证明在上为减函数.
(3)若对于任意,不等式恒成立,求的范围.
20、（本小题满分14分）已知函数在处取得极值.
⑴求的解析式；
⑵设是曲线上除原点外的任意一点,过的中点且垂直于轴的直线交曲线于点,试问：是否存在这样的点,使得曲线在点处的切线与平行？若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由；
⑶设函数,若对于任意,总存在,使得,求
实数的取值范围.
姓名___________________座号___________________班级__________________
汕头市金山中学2012-2013学年度第一学期期中考试
高三文科数学 答案卷
一、选择题（50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题（20分）
11．_____________________________ 12．______________________________
13．_____________________________ 14．______________________________
15.（本小题满分12分）
16.（本小题满分12分）
17.（本小题满分14分）
18. （本小题满分14分）
姓名___________________座号___________________班级__________________
19. （本小题满分14分）

20. （本小题满分14分）

汕头市金山中学2012-2013学年度第一学期期中考试
高三文科数学 参考答案
一、选择题（50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
C
B
A
D
A
C
二、填空题（20分）
11．4 12. (-3,1) 13． 14．①②
三、解答题（80分）
15．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由，得，即 4分
由或
即 9分
（Ⅱ），21世纪教育网
的取值范围是 12分
16．（本小题满分12分）
解：法一：设，则有，即

又， ，
法二：线性规划
由已知得（*）（1分）
（2分）
（*）如图阴影所示直线
平行移动，可知随截距变大而变大，故过A点时取最小值，过B点时取最大值。（8分）
由 此时=2（9分）21世纪教育网
由 此时=27（11分）
故（12分）
17．（本小题满分12分）解法一：∵，依题意，
∴，（2分）
由，得（3分）
令，的单调增区间为和，
，单调减区间为（5分）
所以函数在处取得极值。 故（7分）
所以直线的方程为 （8分）
由得 （9分）
令，易得，（11分）
而的图像在内是一条连续不断的曲线，故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点。（12分）
解法二：同解法一，可得直线的方程为（8分）
由得 （9分）
解得 （11分）
所以线段与曲线有异于的公共点21世纪教育网。 （12分）
18. （本小题满分14分）解：（1）依题意得：
（5分）
（2）由（1）得：当时，

当时，，为增函数
当时，为减函数
当时， （8分）
当时， （10分）
当时，
当时， （12分）
综上知：当时，总利润最大，（13分） 最大值为195 （14分）
19．（本小题满分14分）解：
（1）
又，得 （2分） 经检验符合题意.（3分）
(2)任取（4分）
则=
=（6分）
（8分）
(3) ,不等式恒成立,

为奇函数, （10分）
为减函数, （11分）
即恒成立,而（13分）
（14分）
20. （本小题满分14分）解：⑴∵,∴.又在处取得极值.
∴,即,解得,,经检验满足题意,∴.……… （4分）
⑵由⑴知.假设存在满足条件的点,且,则,
又.则由,得,∴,
∵,∴,得.故存在满足条件的点,此时点的坐标为或. ………… （8分）
⑶解法： ,令,得或.
当变化时,、的变化情况如下表：
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
∴在处取得极小值,在处取得极大值.
又时,,∴的最小值为.
∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,最小值不大于.又.
∴当 时,的最小值为,由,得；21世纪教育网
当时,最小值为,由,得；
当时,的最小值为.由,即,解得或.又,∴此时不存在.
综上,的取值范围是. ………… (14分)
解法：同解法得的最小值为.
∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,有解,即在上有解.设,则
得,
或,得或.
∴或时,在上有解,故的取值范围是.
解法：同解法得的最小值为.
∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,有解,即在上有解.令,则,∴.
∴当时,；当时,得,不成立,∴不存在；
当时,.令,∵时,,∴在上为减函数,∴,∴.
综上,的取值范围是. 21世纪教育网