2021—2022学年北师大版九年级数学下册1.1第2课时正弦和余弦同步练习（Word版，附答案）

1.1第2课时　正弦和余弦
知识点1　正弦
1.[2021·湖州]如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,AB=2,则sinB的值是　　　　.
2.如图所示,在平面直角坐标系中,如果点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是 (　　)
A. B. C. D.
3.[2020·雅安]如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,sinB=0.5,若AC=6,则BC的长为 (　　)
A.8 B.12 C.6 D.12
4.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论不正确的是 (　　)
A.sinB= B.sinB=
C.sinB= D.sinB=
知识点2　余弦
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cosB的值是 (　　)
A. B. C. D.
6.[2021·宜昌]如图1,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos∠ABC的值为 (　　)
图1
A. B. C. D.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=2,cosA=,那么AB的长是 (　　)
A. B. C. D.
8.如图2,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,AD=BC=5,cos∠ADC=,求cosB的值.
图2
知识点3　正弦、余弦与梯子的倾斜程度的关系
9.如图3,梯子与地面所成的锐角为∠α,关于∠α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系,下列叙述正确的是(　　)
图3
A.sinα的值越小,梯子越陡
B.cosα的值越小,梯子越陡
C.梯子的长度决定倾斜程度
D.梯子的倾斜程度与∠α的三角函数值无关
知识点4　锐角三角函数
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=3,AB=4,则下列说法正确的是 (　　)
A.sinB= B.cosB=
C.tanB= D.tanB=
11.如图4,若sinα=,则cosβ等于 (　　)
图4
A. 　　 B.
C. 　 D.
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,若tanA=,则sinB=　　　　.
13.[教材随堂练习第1题变式题]在Rt△ABC中,∠B=90°,已知BC=8,AC=10,求sinA,cosA,tanA的值.
【综合练习】
14.如图5,在△ABC中,CA=CB=4,cosC=,则sinB的值为 (　　)
图5
A. B. C. D.
15.如图6,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,过点D作AB的垂线交AC于点E.若BC=6,sinA=,则DE=　　　　.
图6
16.在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,则cosA的值为　　　　　　.
17.如图7,在△ABC中,AD是边BC上的高,E为边AC的中点,BC=14,AD=12,sinB=.
(1)求线段DC的长;
(2)求sin∠EDC,cos∠EDC,tan∠EDC的值.
图7
18.如图8,在锐角三角形ABC中,AB=15,BC=14,S△ABC=84,求:
(1)tanC的值;
(2)sin∠BAC的值.
图8
19.已知sin30°=,cos30°=,可得sin230°+cos230°=+=1(注:sin230°表示(sin30°)2,cos230°=
(cos30°)2,其余类推),那么对于任意的锐角A,是否都有sin2A+cos2A=1呢 请在横线上填上相应的内容:
【探究】如图9,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,
可得sinA=　　　　,cosA=　　　　,
则sin2A+cos2A=　　　　.
又∵a2+b2=c2,
∴sin2A+cos2A=1.
【应用】已知sinA=(∠A为锐角),利用【探究】中的结论求cosA的值.
【拓广】若sinα+cosα=1.1,求sinα·cosα的值.
图9
答案
1.
2.C　[解析]过点A作AB⊥x轴于点B.
∵点A的坐标为(3,4),
∴OB=3,AB=4,∴OA=5.
在Rt△AOB中,sinα==.
故选C.
3.C　[解析]在Rt△ABC中,∠C=90°,
∵sinB===0.5,
∴AB=12,
则BC===6.
故选C.
4.C　[解析]在Rt△ABC中,∵∠BAC=90°,∴sinB=.
∵AD⊥BC,∴sinB=,sinB=sin∠DAC=.综上,只有C选项不正确.
故选C.
5.A　
6.B　[解析]如图,过点A作AD⊥BC于点D.
设小正方形的边长均为1.
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AD=BD=3,
∴AB===3,
∴cos∠ABC===.
故选B.
7.B
8.解:∵∠C=90°,AD=5,cos∠ADC=,
∴CD=3.
在Rt△ACD中,∵AD=5,CD=3,
∴AC===4.
在Rt△ACB中,∵AC=4,BC=5,
∴AB===,
∴cosB===.
9.B　[解析]sinα的值越小,∠α越小,梯子越平缓;
cosα的值越小,∠α越大,梯子越陡;
梯子的倾斜程度与长度无关,所以B正确.
故选B.
10.B　
11.A　
12.　[解析]如图所示.
∵∠C=90°,tanA=,
∴设BC=x,则AC=2x,
故AB=x,则sinB===.
故答案为.
13.解:在Rt△ABC中,
∵∠B=90°,BC=8,AC=10,
∴AB==6,
则sinA==,cosA==,tanA==.
14.D　15.　16.或
17.解:(1)在Rt△ABD中,∵AD=12,sinB=,即=,∴AB==15.
由勾股定理,得BD===9,
∴DC=BC-BD=14-9=5.
(2)在Rt△ACD中,根据勾股定理,得AC===13.
∵DE是斜边AC上的中线,
∴DE=AC=EC,∴∠EDC=∠C,
∴sin∠EDC=sinC==,
cos∠EDC=cosC==,
tan∠EDC=tanC==.
18.解:(1)如图,过点A作AD⊥BC于点D.
∵S△ABC=BC·AD=84,
∴×14AD=84,
∴AD=12.
又∵AB=15,∴BD=9,
∴CD=BC-BD=14-9=5.
在Rt△ADC中,tanC==.
(2)如图,过点B作BE⊥AC于点E.
由(1)知,AD⊥BC,AD=12,CD=5,
∴AC===13.
∵S△ABC=AC·BE=84,
∴BE=,
∴sin∠BAC==.
19.解:【探究】　　
【应用】∵sin2A+cos2A=1,sinA=,
∴2+cos2A=1,
∴cos2A=1-2=.
∵cosA>0,∴cosA=.
【拓广】∵sinα+cosα=1.1,
∴(sinα+cosα)2=1.21,
即sin2α+2sinα·cosα+cos2α=1+2sinα·cosα=1.21,
∴2sinα·cosα=0.21,
∴sinα·cosα=0.105.