2021—2022学年北师大版九年级数学下册1.2 30°,45°,60°角的三角函数值同步练习（Word版，附答案）

1.2　30°,45°,60°角的三角函数值
知识点1　30°,45°,60°角的三角函数值
1.[2021·天津]tan30°的值等于 (　　)
A. B. C.1 D.2
2.计算sin60°+cos45°的值为 (　　)
A. B. C. D.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠B=2∠A,则tanA等于 (　　)
A. B. C. D.
4.计算:
(1)3tan30°+cos60°;
(2)2cos30°-2sin30°+3tan45°;
(3)tan260°-cos45°-sin260°.
知识点2　由特殊角的三角函数值求角度
5.已知∠α为锐角,且tanα=,则∠α的度数为 (　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
6.在△ABC中,若+-cosB2=0,且∠A,∠B都是锐角,则∠C=　　　　°.
7.若1-cosα=0,则锐角α=　　　　°.
8.在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=2,BC=2,则∠A=　　　　°.
知识点3　特殊角的三角函数值的实际应用
9.[2021·烟台]如图1,数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆的高度,已知无人机的飞行高度为40米,当无人机与旗杆的水平距离是45米时,观测旗杆顶部的俯角为30°,则旗杆的高度约为　　　　米.(结果精确到1米,参考数据:≈1.41,≈1.73)
图1
10.如图2所示为某住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30m,两楼间的距离AC=24m,现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况.当太阳光线与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高.
图2
【综合练习】
11.点M(-sin60°,cos60°)关于y轴对称的点的坐标是 (　　)
A., B.-,-
C.-, D.-,
12.在△ABC中,∠A,∠B为锐角,若2sinA=,tanB=1,则对△ABC的形状描述最准确的是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
13.如图3,在高2m,坡角为30°的楼梯表面上铺地毯,则所需地毯的长度至少为 (　　)
图3
A.2m B.(2+2)m
C.4m D.(4+2)m
14.如图4,在△ABC中,∠A=30°,tanB=,BC=,则AB的长为　　　　.
图4
15.[教材习题1.3第5题变式题]如图5,某水库大坝的横断面是梯形ABCD,坝顶宽AD=6米,坝高是20米,背水坡AB的坡角为30°,迎水坡CD的坡度为1∶2,那么坝底BC的长为
　　　　　米.(结果保留根号)
图5
16.(1)计算:;
(2)计算:2cos30°-tan45°-;
(3)已知∠α是锐角,且sin(α+15°)=,求-4cosα-(π-3.14)0+tanα+-1的值.
17.数学拓展课程《玩转学具》课堂中,小陆同学发现:一副三角尺中,含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等,于是,小陆同学提出一个问题:如图6,将一副三角尺的直角顶点重合拼放在一起,点B,C,E在同一直线上,若BC=2,求AF的长.
请你运用所学的数学知识解决这个问题.
图6
18.亲爱的同学们,在我们进入高中以后,还将会学到三角函数公式:
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,
tan(α+β)=
例:sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°·sin45°=.
(1)试仿照例题,求出cos75°,tan75°的准确值;
(2)小华在学习“锐角三角函数”时发现,如图7所示的矩形纸片ABCD中,AB绕点A逆时针旋转60°并延长后交BC于点E,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC上的点F处,借助图形求出75°角的正切值.
图7
答案
1.A　2.B
3.B　[解析]∵∠C=90°,∠B=2∠A,
∴∠A=30°,∴tanA=.
4.解:(1)原式=3×+
=+.
(2)原式=2×-2×+3×1
=-1+3
=+2.
(3)原式=3--2=.
5.A
6.105　[解析]∵+-cosB2=0,∴sinA=,cosB=.∵∠A,∠B都是锐角,∴∠A=45°,∠B=30°,∴∠C=180°-45°-30°=105°.
7.45　8.60
9.14　[解析]过点O作OC⊥AB于点C,如图.
∵当无人机与旗杆的水平距离是45米时,观测旗杆顶部的俯角为30°,
∴AC=45米,∠CAO=30°,
∴OC=AC·tan30°=45×=15(米),
∴旗杆的高度=40-15≈14(米).
故答案为14.
10.解:如图所示,延长太阳光线交CD于点F,过点F作FE⊥AB于点E.
∵太阳光线与水平线的夹角为30°,
∴∠BFE=30°.
∵EF=AC=24m,
∴BE=EF·tan30°=24×=8(m),
∴CF=CD-DF=CD-BE=(30-8)m.
即甲楼的影子在乙楼上的高度为(30-8)m.
11.A　12.D　13.B　
14.+3　[解析]过点C作CD⊥AB于点D.
∵tanB==,
∴可设CD=x,BD=3x,则BC=x.
∵BC=,∴x=1,∴CD=x=1,BD=3x=3.
在Rt△ACD中,tanA=,
∴AD===,
∴AB=AD+BD=+3.
15.(46+20)　[解析]如图,过点A作AE⊥BC,过点D作DF⊥BC,垂足分别为E,F,则四边形ADFE是矩形.
易得EF=AD=6米,AE=DF=20米.
在Rt△ABE中,∠B=30°,
∴BE=AE=20米.
∵斜坡CD的坡度为1∶2,
∴在Rt△CFD中,=,
∴CF=2DF=40米,
∴BC=BE+EF+CF=20+6+40=(46+20)米.
故答案为(46+20).
16.解:(1)原式===.
(2)原式=2×-1-|1-|
=-1-+1
=0.
(3)∵∠α为锐角,sin(α+15°)=,∴∠α=45°,
∴原式=2-4×-1+1+3=3.
17.解:在Rt△ABC中,
∵BC=2,∠A=30°,
∴AC==2,
∴EF=AC=2.
∵∠E=45°,∠FCE=90°,
∴FC=EF·sinE=,
∴AF=AC-FC=2-.
18.解:(1)cos75°
=cos(30°+45°)
=cos30°cos45°-sin30°·sin45°
=-
=.
tan75°
=tan(45°+30°)
=
=
=2+.
(2)由题意知,∠BAE=60°,AE=EF.
因为四边形ABCD是矩形,∠B=90°,
设AB=x,则AE=2x=EF,BE=x,
所以BF=2x+x.
又因为∠AEB=∠EAF+∠EFA=30°,
AE=EF,
所以∠EAF=∠EFA=15°,
所以∠BAF=75°.
在Rt△ABF中,tan∠BAF===2+,
即tan75°=2+.