2021—2022学年北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形同步练习（Word版，附答案）

4　解直角三角形
【基础练习】
知识点1　已知两边解直角三角形
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=4,欲求∠A的值,最适宜的做法是 (　　)
A.通过计算tanA的值求出
B.通过计算sinA的值求出
C.通过计算cosA的值求出
D.先根据sinB求出∠B,再利用90°-∠B求出
2.在△ABC中,若∠B=90°,AC=3,BC=1,则sinA的值是 (　　)
A. B. C. D.2
3.在△ABC中,若∠C=90°,AC=2,BC=2,则AB=　　　　,∠A的度数为　　　　.
4.已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a=6,b=2,求∠A,∠B,c;
(2)若a=24,c=24,求∠A,∠B,b.
知识点2　已知一边、一角解直角三角形
5.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,∠B=60°,则BC的长是 (　　)
图1
A.4 B. C.2 D.8
6.如图2,在Rt△ABC中,斜边AB的长为m,∠A=35°,则直角边BC的长是 (　　)
图2
A.msin35° B.mcos35°
C. D.
7.如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=10,tanA=,则AB=　　　　.
图3
8.如图4,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,∠A=45°,求这个三角形的其他元素.
图4
9.如图5,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=55°,AC=4,解此直角三角形.(sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43,边长精确到0.1)
图5
【能力提升】
10.若等腰三角形的腰长为2,底边长为6,则底角的度数为 (　　)
A.30° B.45° C.60° D.120°
11.如图6,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,D是CB延长线上的一点,且BD=AB,则tan∠DAC的值为 (　　)
图6
A.2+ B.2 C.3+ D.3
12.如图7,在正方形ABCD中,E是CD的中点,FC=BC,则tan∠EAF=　　　　.
图7
13.如图8所示,在△ABC中,∠B=30°,AC=2,cosC=,则AB边的长为　　　　　.
图8
14.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,a=2,b=2,小王得到下列四个结论:①c=4;②tanA=;③sinA+cosB=1;④∠B=30°.其中正确的结论是　　　　.(填序号)
15.在△ABC中,若∠ABC=30°,AB=,AC=1,则∠ACB的度数为　　　　　　.
16.[2020·盐城]如图9,在△ABC中,∠C=90°,tanA=,∠ABC的平分线BD交AC于点D,CD=,求AB的长.
图9
17.如图10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,sinA=,点D,E分别在AB,AC上,DE⊥AC,垂足为E,DE=2,DB=9,求:
(1)BC的长;
(2)tan∠BCD的值.
图10
18.如图11,一块四边形土地,其中∠ABD=120°,BA⊥AC,BD⊥CD,AB=30m,CD=50m,求这块土地的面积.
图11
19.如图12,在直角坐标系中,点A,B分别在x轴、y轴上,点A的坐标为(-1,0),∠ABO=30°,线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动.如果PQ=,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为　　　　.
图12
答案
1.C
2.A
3.4　60°　[解析]∵∠C=90°,AC=2,BC=2,∴由勾股定理得AB=4,∴AB=2AC,∴∠B=30°,则∠A=60°.
4.解:(1)c===4.
∵sinA===,
∴∠A=60°,则∠B=90°-60°=30°.
(2)b===24.
∵sinA===,
∴∠A=45°,则∠B=90°-45°=45°.
5.B　6.A　
7.　[解析]在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,BC=10,∴=,解得AC=.
在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AB==.
8.解:∵∠C=90°,∠A=45°,∴∠B=45°.
在Rt△ABC中,sinA=,cosA=,
∴sin45°=,cos45°=,
∴BC=AC=6.
9.解:根据题意,得∠A=90°-∠B=90°-55°=35°.
在Rt△ABC中,sinB=,
∴AB==≈4.9.
在Rt△ABC中,tanB=,
∴BC==≈2.8.
10.A
11.A　[解析]在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,∴AB=2AC,BC==AC.
∵BD=AB,∴DC=BD+BC=(2+)AC,
∴tan∠DAC===2+.
12.
13.　[解析]如图,过点A作AH⊥BC于点H.
在Rt△ACH中,∵∠AHC=90°,AC=2,
cosC=,
∴=,
∴CH=,
∴AH===.
在Rt△ABH中,∵∠AHB=90°,∠B=30°,
∴AB=2AH=.
故答案为.
14.①②③　[解析]由勾股定理易得c=4,①正确;tanA===,②正确;sinA+cosB=+=+=+=1,③正确;tanB===,∴∠B=60°,④错误.
15.60°或120°
16.解:∵tanA=,∴∠A=30°.
又∵∠C=90°,∴∠ABC=60°.
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠CBD=∠ABC=30°.
∵CD=,∴BC==3.
在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°,
∴AB==6.
故AB的长为6.
17.解:(1)在Rt△DEA中,DE=2,sinA=,
∴AD==2×=3,
∴AB=BD+AD=12.
在Rt△ABC中,AB=12,sinA=,
∴BC=AB·sinA=12×=8.
(2)在Rt△ABC中,AB=12,BC=8,
由勾股定理得AC=4.
在Rt△DEA中,DE=2,AD=3,
∴AE=,∴CE=4-=3.
在Rt△DEC中,tan∠CDE==.
∵∠ACB=90°,DE⊥AC,
∴DE∥BC,∴∠CDE=∠BCD,
∴tan∠BCD=tan∠CDE=.
18.解:延长CA,DB交于点P,如图所示.
∵∠ABD=120°,BA⊥AC,BD⊥CD,
∴∠ABP=60°,∠ACD=60°.
∵在Rt△PCD中,tan∠ACD=,
∴PD=CD·tan∠ACD=50×tan60°=150(m).
∵在Rt△PAB中,tan∠ABP=,
∴PA=AB·tan∠ABP=30×tan60°=90(m),
∴S四边形ABDC=S△PCD-S△PAB=×50×150-×30×90=2400(m2),
即这块土地的面积为2400m2.
19.4　[解析]在Rt△OBA中,∠ABO=30°,AO=1,∴AB=2,BO==.
(1)当点P从O到B时,如图①、图②所示,点Q运动的路程为;
(2)如图③所示,当QC⊥AB于点C,点P从B到C时,∠ACQ=90°.
∵∠ABO=30°,∴∠BAO=60°,∴∠OQD=90°-60°=30°,∴cos30°=,∴AQ==2,
∴OQ=2-1=1,则点Q运动的路程为QO=1;
(3)当点P从C到A时,如图③所示,点Q运动的路程为QQ'=2-.
(4)当点P从A到O时,点Q运动的路程为AO=1.
∴点Q运动的总路程为+1+2-+1=4.