北师大版数学八下1.1.3 等腰三角形的判定与反证法 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
1.1.3 等腰三角形的判定与反证法
课前回顾
课前回顾
Part 1
Part 1
课前练习
A
B
C
D
如图，在△ABC中AB=AD=DC，
∠BAD=52°，
则∠B= °，∠C= °。
思考：在计算过程中，主要运用了什么性质？
等边对等角
64
32
新课探索
新课探索
Part 1
Part 1
猜想
想判定一个三角形是等腰三角形，你有些什么方法？
1、根据等腰三角形的定义
2、由等腰三角形的性质，
猜想：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
新课探索
Part 1
Part 2
论证猜想
如图，在 △ABC 中，∠B=∠C，请说明 △ABC 是等腰三角形。
回忆：等腰三角形还有哪些性质？
C
A
B
等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
利用“三线合一”作辅助线
新课探索
Part 1
Part 2
论证猜想
已知：如图，在 △ABC 中，∠B=∠C，
求证： △ABC 是等腰三角形.
证明：
过点A作∠A的角平分线，交BC于点D
D
∵AD是∠A的角平分线（已作）
∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）
在△ABD和△ACD中
∠B=∠C（已知）
∠BAD=∠CAD（已证）
AD=AD（公共边）
C
A
B
∴△ABD≌△ACD(AAS)
∴AB=AC（全等三角形对应边相等）
即 △ABC是等腰三角形
思考:作底边上的高可以吗 作底边中线呢
新课探索
Part 1
Part 2
论证猜想
证明：
过点A作AD⊥BC，垂足为D
∵AD⊥BC（已作）
∴∠BDA=90°，∠CDA=90°（垂直的定义）
在△ABD和△ACD中
∠B=∠C（已知）
∠BDA=∠CDA（已证）
AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD(AAS)
∴AB=AC（全等三角形对应边相等）
即 △ABC是等腰三角形
∴∠BDA=∠CDA（等量代换）
C
A
B
D
已知：如图，在 △ABC 中，∠B=∠C，
求证： △ABC 是等腰三角形.
新课探索
Part 1
Part 2
论证猜想
证明：
取BC的中点D，连接AD
∵点D是BD的中点（已作）
∴BD=DC（线段中点的意义）
思考：还能证△ABD≌△ACD吗
C
A
B
D
已知：如图，在 △ABC 中，∠B=∠C，
求证： △ABC 是等腰三角形.
总结：“作三线中的一线”是等腰三角形中作辅助线的常用方法之一.
新课探索
Part 1
Part 2
论证猜想
定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（简称为：等角对等边）
∵∠B=∠C
几何语言表达：
∴AB=AC(等角对等边)
即△ABC是等腰三角形
C
A
B
新课探索
Part 1
Part 3
典例精析
例1 已知∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，
AD∥BC.求证：△ABC是等腰三角形.
A
B
C
D
E
1
2
证明：
∵ AD∥BC
∴∠1 =∠B（两直线平行，同位角相等）
∠2 =∠C（ 两直线平行，内错角相等）
∵∠1 =∠2
∴∠B =∠C
∴ AB =AC（ 等角对等边 ）
即△ABC是等腰三角形.
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Part 1
Part 3
典例精析
例2 如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：△BCM是等腰三角形.
证明：
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
∵ BD⊥AC于D，CE⊥AB于E
∴∠BEC=∠CDB=90°
∴BM=CM（等角对等边）
∴∠1=∠2（等角的余角相等）
∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90°（直角三角形两个锐角互余）
即△BCM是等腰三角形.
A
D
C
B
E
1
2
M
新课探索
例3 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点D作BC的
平行线DE，交AB于E，证明: △BDE是等腰三角形.
Part 1
Part 3
典例精析
A
B
E
C
D
证明：
∵BD平分∠ABC（已知）
∴∠ABD=∠DBC（角平分线的定义）
∵DE//BC（已知）
∴∠DBC=∠EDB
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ABD=∠EDB（等量代换）
∴BE=DE（等角对等边）
基本构图:角平分线+平行线构造等腰三角形.
即△BDE是等腰三角形.
变式1 在△ABC中,AB=AC，BO平分∠ABC ，CO平分∠ACB，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F
（1）图中共有几个等腰三角形？
A
F
E
O
B
C
新课探索
Part 1
Part 3
典例精析
△ABC
△BOE
△FOC
△BOC
△AEF
5个
基本构图:角平分线+平行线构造等腰三角形.
1
2
3
4
5
6
8
7
新课探索
Part 1
Part 3
典例精析
变式1 在△ABC中,AB=AC，BO平分∠ABC ，CO平分∠ACB，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F
（2）EF,EB,FC 之间有什么关系？
分析：
由（1）知，EO=EB,FO=FC
∴EF=EO+FO=EB+FC
转化思想
A
F
E
O
B
C
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Part 1
Part 3
典例精析
变式2 在△ABC中,∠ABC≠∠ACB，BO平分∠ABC ，CO平分∠ACB,过O点作EF, 使EF∥BC
（1）此时有几个等腰三角形？
（2）BE＋CF=EF仍然成立吗？
（3）在上述条件下当AB=12，AC=8时，
你能求ΔAEF的周长吗？
分析：
（1）2个：△BOE、△FOC
B
A
E
F
C
O
（2）成立
（3） C△AEF =AE+BE+CF+AF=AC+AB=20
新课探索
Part 1
Part 3
典例精析
变式3 若过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，如图，EF与BE，CF三者有何数量关系？
分析：
可证BE=DE,CF=DF
B
C
F
E
D
G
∴EF=DE-DF=BE-CF
A
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Part 1
Part 3
典例精析
变式4 若过△ABC的两个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，则EF与BE，CF三者有何数量关系？
分析：
可证BE=DE,CF=DF
∴EF=DE+DF=BE+CF
E
A
C
B
D
F
新课探索
Part 1
Part 4
反证法
想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
在△ABC中, 如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.
A
B
C
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Part 1
Part 4
反证法
C
A
B
∴ AB≠AC.
小明是这样想的:
你能理解他的推理过程吗
∵在△ABC中, ∠B≠∠C （已知）
∴此时AB与AC要么相等，要么不相等
假设AB=AC
则∠B=∠C（等边对等角）
∵ ∠B≠∠C
于是“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
总结归纳
用反证法证题的一般步骤
假设: 先假设命题的结论不成立；
归谬: 从这个假设出发,应用正确的推理方法,得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果；
结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
课堂小结
等腰三角形的判定与反证法
等角对等边
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
反证法
先假设结论不成立，然后推导与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明原命题成立。
谢
谢
聆
听