27.2.1.2 用平行线判定三角形相似 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 27.2.1.2 用平行线判定三角形相似 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-30 16:46:00 | ||
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文档简介
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 用平行线判定三角形相似
一、选择题
1.如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有( )
A．0对 B．3对 C．2对 D．1对
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.【中考·河南】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③＝.其中正确的有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3.如图，已知BC交AD于点E，AB∥EF∥CD，那么下列结论中不成立的是( )
A．△DEF∽△DAB B．△BEF∽△BCD C．△BEF∽△DCE D．△ABE∽△DCE
4.【中考·玉林】如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有( )
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
5.如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6.问题：“如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC，求证：△ADE∽△DBF.”某同学的证明过程如下：
证明：①又∵DF∥AC；②∵DE∥BC；③∴△ADE∽△ABC；④∴△DBF∽△ABC；⑤∴△ADE∽△DBF.
步骤正确的顺序是( )
A．③②④①⑤ B．⑤②④①③ C．①③④②⑤ D．②③①④⑤
7.如图,在 ABCD中,点E在AD上,EC交对角线BD于点F,AE∶ED=2∶1,则EF∶FC等于( )
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.2∶3
8.【2021·淄博】如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是( )
A.＋＝ B.＋＝ C.＋＝ D.＋＝
9.【中考·杭州】如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N，则( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
10.【2019·安徽】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G.若EF＝EG，则CD的长为( )
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
11.【2020·遂宁】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G.若AF＝2FD，则的值为( )
A. B. C. D.
12.如图,AD是△ABC的中线,点E在AD上,AD=4DE,连接BE并延长,交AC于点F,则AF∶FC的值是( )
A.3∶2 B.4∶3 C.2∶1 D.2∶3
二、填空题
13.如图，在△ABC中，DE∥BC，GF∥AC，GF，DE相交于M点，则图中与△ABC相似的三角形有________个．
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC.若AD＝4，DB＝2，BC＝6，则DE的值为________．
15.如图所示是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,∠B=∠C=90°,测得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求得河宽AB= m.
16.【盐城中考】如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB＋DE＝10.则的值为____．
17.【2020·临沂】如图，在△ABC中，D，E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝6，则DH＝________．
第17题图 第18题图
18.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DCEF的顶点D，E，F分别在边AC，BC，AB上，如果AC＝10，BC＝6，那么正方形DCEF的周长为________．
三、解答题
19.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若＝，DE＝4，求BC的长．
20.如图，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，连接BE，CD，交于点O.
(1)写出图中的相似三角形；
(2)求证＝.
21.已知线段OA⊥OB，点C为OB的中点，点D为AO上一点，连接AC，BD交于点P.
(1)如图①，当点D为AO的中点时，求的值；
(2)如图②，当＝时，求的值．
22.【2021·河南省实验学校校级月考】如图，在四边形OABC中，D，E，F分别是OA，OB，OC上的点，连接DE，EF，DF，AC，若∠OED＝∠OBA，∠OEF＝∠OBC.
(1)求证：＝.
(2)请你探究：如果△DEF是以DF为底边的等腰三角形，那么△ABC是否是以AC为底边的等腰三角形，为什么？
23.【2020·泸州改编】如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC，ED分别交于点M，N.已知AB＝4，BC＝6，求MN的长．
24.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ.点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．
(1)直接用含t的式子表示：QB＝__________，PD＝__________；
(2)是否存在t值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形．
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参考答案
一、选择题
1.如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有( B )
A．0对 B．3对 C．2对 D．1对
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.【中考·河南】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③＝.其中正确的有( A )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3.如图，已知BC交AD于点E，AB∥EF∥CD，那么下列结论中不成立的是( C )
A．△DEF∽△DAB B．△BEF∽△BCD C．△BEF∽△DCE D．△ABE∽△DCE
4.【中考·玉林】如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有( C )
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
【点拨】图中三角形有△AEG，△ADC，△CFG，△CBA.由AB∥EF∥DC，AD∥BC，易得△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA，有6种组合，则相似三角形共有6对．
5.如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是( C )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6.问题：“如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC，求证：△ADE∽△DBF.”某同学的证明过程如下：
证明：①又∵DF∥AC；②∵DE∥BC；③∴△ADE∽△ABC；④∴△DBF∽△ABC；⑤∴△ADE∽△DBF.
步骤正确的顺序是( D )
A．③②④①⑤ B．⑤②④①③ C．①③④②⑤ D．②③①④⑤
7.如图,在 ABCD中,点E在AD上,EC交对角线BD于点F,AE∶ED=2∶1,则EF∶FC等于( C )
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.2∶3
8.【2021·淄博】如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是( )
A.＋＝ B.＋＝ C.＋＝ D.＋＝
【点拨】EF∥AC，∴△BEF∽△BAC.∴＝.
∵EF∥DB，∴△CEF∽△CDB.∴＝.
∴＋＝＋＝＝＝1，即＋＝1.
∴＋＝.
【答案】C
9.【中考·杭州】如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N，则( C )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
10.【2019·安徽】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G.若EF＝EG，则CD的长为( B )
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
【点拨】如图，作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH.∴＝.
∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴∠EFA＝∠C＝90°.
∴EF∥CD.∴△AEF∽△ADC.
∴＝∴＝.
∵EG＝EF，∴DH＝CD.
设DH＝x，则CD＝x.
∵BC＝12，AC＝6，∴BD＝12－x.
∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，
∴EG∥AC∥DH.∴△BDH∽△BCA.
∴＝，即＝，解得x＝4，∴CD＝4.
11.【2020·遂宁】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G.若AF＝2FD，则的值为( )
A. B. C. D.
【点拨】设FD＝k，则AF＝2k，AD＝3k.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD.
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC.
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G.
∴AB＝AF＝2k，FD＝DG＝k.
∴CD＝2k.
∴CG＝CD＋DG＝3k.
∵AB∥CG，
∴△ABE∽△CGE.
∴＝＝＝.
【答案】C
12.如图,AD是△ABC的中线,点E在AD上,AD=4DE,连接BE并延长,交AC于点F,则AF∶FC的值是( A )
A.3∶2 B.4∶3 C.2∶1 D.2∶3
【提示】过点D作DG∥AC,与BF交于点G，因此FC=2DG，AF=3DG.
二、填空题
13.如图，在△ABC中，DE∥BC，GF∥AC，GF，DE相交于M点，则图中与△ABC相似的三角形有________个．
【答案】3
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC.若AD＝4，DB＝2，BC＝6，则DE的值为________．
【答案】4
15.如图所示是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,∠B=∠C=90°,测得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求得河宽AB= m.
【答案】100
16.【盐城中考】如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB＋DE＝10.则的值为____．
【答案】2
17.【2020·临沂】如图，在△ABC中，D，E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝6，则DH＝________．
【答案】1
第17题图 第18题图
18.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DCEF的顶点D，E，F分别在边AC，BC，AB上，如果AC＝10，BC＝6，那么正方形DCEF的周长为________．
【点拨】∵四边形DCEF为正方形，∴DF∥BC，DC＝DF,
∴△ADF∽△ACB，∴＝，设DC＝x，则DF＝x,
AD＝10－x，∴＝，解得x＝，
∴正方形DCEF的周长为4×＝15.
【答案】15
三、解答题
19.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若＝，DE＝4，求BC的长．
解：∵＝，∴＝.
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
∴＝＝，即＝，解得BC＝6.
20.如图，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，连接BE，CD，交于点O.
(1)写出图中的相似三角形；
解：△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB.
(2)求证＝.
证明：由(1)知△ADE∽△ABC，∴＝.
又由(1)知△DOE∽△COB，∴＝.
∴＝.
21.已知线段OA⊥OB，点C为OB的中点，点D为AO上一点，连接AC，BD交于点P.
(1)如图①，当点D为AO的中点时，求的值；
解：如图①，过点C作CE∥OA，交BD于点E，
∴△BCE∽△BOD.
∴＝＝. ∴CE＝OD＝AD.
∵CE∥OA，∴△ECP∽△DAP.
∴＝＝＝2.
(2)如图②，当＝时，求的值．
【思路点拨】过一点作平行于三角形一边的线段，构造相似三角形来解决以上两题.12题过AC边的中点E作平行于CD的线段；13题以AP，PC为三角形的对应边，通过作平行线构造相似三角形．
解：如图②，过点C作CE∥OA，交BD于点E，
∴△BCE∽△BOD，∴＝＝.
设AD＝x，则OA＝4x，OD＝3x.∴CE＝OD＝x.
由OA∥CE得△DAP∽△ECP，
∴＝＝＝. ∴＝.
22.【2021·河南省实验学校校级月考】如图，在四边形OABC中，D，E，F分别是OA，OB，OC上的点，连接DE，EF，DF，AC，若∠OED＝∠OBA，∠OEF＝∠OBC.
(1)求证：＝.
证明：∵∠OED＝∠OBA，∠OEF＝∠OBC，
∴DE∥AB，EF∥BC.
由DE∥AB，
得△ODE∽△OAB，
∴＝.
由EF∥BC，得△OFE∽△OCB，
∴＝.∴＝.
(2)请你探究：如果△DEF是以DF为底边的等腰三角形，那么△ABC是否是以AC为底边的等腰三角形，为什么？
解：是．理由如下：由△OFE∽△OCB，
得＝.
由△ODE∽△OAB，得＝.∴＝.
∵△DEF是以DF为底边的等腰三角形，
∴DE＝EF，
∴AB＝BC，即△ABC是以AC为底边的等腰三角形．
23.【2020·泸州改编】如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC，ED分别交于点M，N.已知AB＝4，BC＝6，求MN的长．
解：如图，过点E作EH∥AD，交BF于点G，交CD于点H，
∴△BEG∽△BAF，∴＝.
∵AB＝4，BC＝6，E为AB的中点，F为AD的中点，
∴BE＝2，AF＝DF＝3，∴＝，∴EG＝.
由题意易得△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，
∴＝，＝，
∴＝，＝，即＝，＝，
∴2NG＝NF，4MG＝MB.
∵E为AB的中点，EH∥AD，∴G为BF的中点，
∴BG＝GF＝BF＝ ＝，
∴NG＝GF＝，MG＝BG＝，
∴MN＝NG＋MG＝.
24.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ.点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．
(1)直接用含t的式子表示：QB＝__________，PD＝__________；
【答案】8－2t t
(2)是否存在t值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形．
解：不存在．理由如下：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10.
∵PD∥BC，∴△APD∽△ACB，
∴＝，即＝，∴AD＝t.
∴BD＝AB－AD＝10－t.
∵BQ∥DP，
∴当BQ＝DP时，四边形PDBQ是平行四边形，
即8－2t＝t，解得t＝.
当t＝时，PD＝×＝，BD＝10－×＝6，
∴DP≠BD，∴四边形PDBQ不能为菱形．
设点Q的速度为每秒v个单位长度时满足条件，则BQ＝8－vt，PD＝t，BD＝10－t.要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ.
∴t＝10－t＝8－vt，解得t＝，v＝.
∴当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ为菱形．
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 用平行线判定三角形相似
一、选择题
1.如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有( )
A．0对 B．3对 C．2对 D．1对
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.【中考·河南】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③＝.其中正确的有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3.如图，已知BC交AD于点E，AB∥EF∥CD，那么下列结论中不成立的是( )
A．△DEF∽△DAB B．△BEF∽△BCD C．△BEF∽△DCE D．△ABE∽△DCE
4.【中考·玉林】如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有( )
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
5.如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6.问题：“如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC，求证：△ADE∽△DBF.”某同学的证明过程如下：
证明：①又∵DF∥AC；②∵DE∥BC；③∴△ADE∽△ABC；④∴△DBF∽△ABC；⑤∴△ADE∽△DBF.
步骤正确的顺序是( )
A．③②④①⑤ B．⑤②④①③ C．①③④②⑤ D．②③①④⑤
7.如图,在 ABCD中,点E在AD上,EC交对角线BD于点F,AE∶ED=2∶1,则EF∶FC等于( )
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.2∶3
8.【2021·淄博】如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是( )
A.＋＝ B.＋＝ C.＋＝ D.＋＝
9.【中考·杭州】如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N，则( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
10.【2019·安徽】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G.若EF＝EG，则CD的长为( )
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
11.【2020·遂宁】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G.若AF＝2FD，则的值为( )
A. B. C. D.
12.如图,AD是△ABC的中线,点E在AD上,AD=4DE,连接BE并延长,交AC于点F,则AF∶FC的值是( )
A.3∶2 B.4∶3 C.2∶1 D.2∶3
二、填空题
13.如图，在△ABC中，DE∥BC，GF∥AC，GF，DE相交于M点，则图中与△ABC相似的三角形有________个．
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC.若AD＝4，DB＝2，BC＝6，则DE的值为________．
15.如图所示是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,∠B=∠C=90°,测得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求得河宽AB= m.
16.【盐城中考】如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB＋DE＝10.则的值为____．
17.【2020·临沂】如图，在△ABC中，D，E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝6，则DH＝________．
第17题图 第18题图
18.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DCEF的顶点D，E，F分别在边AC，BC，AB上，如果AC＝10，BC＝6，那么正方形DCEF的周长为________．
三、解答题
19.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若＝，DE＝4，求BC的长．
20.如图，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，连接BE，CD，交于点O.
(1)写出图中的相似三角形；
(2)求证＝.
21.已知线段OA⊥OB，点C为OB的中点，点D为AO上一点，连接AC，BD交于点P.
(1)如图①，当点D为AO的中点时，求的值；
(2)如图②，当＝时，求的值．
22.【2021·河南省实验学校校级月考】如图，在四边形OABC中，D，E，F分别是OA，OB，OC上的点，连接DE，EF，DF，AC，若∠OED＝∠OBA，∠OEF＝∠OBC.
(1)求证：＝.
(2)请你探究：如果△DEF是以DF为底边的等腰三角形，那么△ABC是否是以AC为底边的等腰三角形，为什么？
23.【2020·泸州改编】如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC，ED分别交于点M，N.已知AB＝4，BC＝6，求MN的长．
24.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ.点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．
(1)直接用含t的式子表示：QB＝__________，PD＝__________；
(2)是否存在t值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形．
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参考答案
一、选择题
1.如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有( B )
A．0对 B．3对 C．2对 D．1对
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.【中考·河南】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③＝.其中正确的有( A )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3.如图，已知BC交AD于点E，AB∥EF∥CD，那么下列结论中不成立的是( C )
A．△DEF∽△DAB B．△BEF∽△BCD C．△BEF∽△DCE D．△ABE∽△DCE
4.【中考·玉林】如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有( C )
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
【点拨】图中三角形有△AEG，△ADC，△CFG，△CBA.由AB∥EF∥DC，AD∥BC，易得△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA，有6种组合，则相似三角形共有6对．
5.如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是( C )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6.问题：“如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC，求证：△ADE∽△DBF.”某同学的证明过程如下：
证明：①又∵DF∥AC；②∵DE∥BC；③∴△ADE∽△ABC；④∴△DBF∽△ABC；⑤∴△ADE∽△DBF.
步骤正确的顺序是( D )
A．③②④①⑤ B．⑤②④①③ C．①③④②⑤ D．②③①④⑤
7.如图,在 ABCD中,点E在AD上,EC交对角线BD于点F,AE∶ED=2∶1,则EF∶FC等于( C )
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.2∶3
8.【2021·淄博】如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是( )
A.＋＝ B.＋＝ C.＋＝ D.＋＝
【点拨】EF∥AC，∴△BEF∽△BAC.∴＝.
∵EF∥DB，∴△CEF∽△CDB.∴＝.
∴＋＝＋＝＝＝1，即＋＝1.
∴＋＝.
【答案】C
9.【中考·杭州】如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N，则( C )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
10.【2019·安徽】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G.若EF＝EG，则CD的长为( B )
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
【点拨】如图，作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH.∴＝.
∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴∠EFA＝∠C＝90°.
∴EF∥CD.∴△AEF∽△ADC.
∴＝∴＝.
∵EG＝EF，∴DH＝CD.
设DH＝x，则CD＝x.
∵BC＝12，AC＝6，∴BD＝12－x.
∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，
∴EG∥AC∥DH.∴△BDH∽△BCA.
∴＝，即＝，解得x＝4，∴CD＝4.
11.【2020·遂宁】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G.若AF＝2FD，则的值为( )
A. B. C. D.
【点拨】设FD＝k，则AF＝2k，AD＝3k.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD.
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC.
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G.
∴AB＝AF＝2k，FD＝DG＝k.
∴CD＝2k.
∴CG＝CD＋DG＝3k.
∵AB∥CG，
∴△ABE∽△CGE.
∴＝＝＝.
【答案】C
12.如图,AD是△ABC的中线,点E在AD上,AD=4DE,连接BE并延长,交AC于点F,则AF∶FC的值是( A )
A.3∶2 B.4∶3 C.2∶1 D.2∶3
【提示】过点D作DG∥AC,与BF交于点G，因此FC=2DG，AF=3DG.
二、填空题
13.如图，在△ABC中，DE∥BC，GF∥AC，GF，DE相交于M点，则图中与△ABC相似的三角形有________个．
【答案】3
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC.若AD＝4，DB＝2，BC＝6，则DE的值为________．
【答案】4
15.如图所示是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,∠B=∠C=90°,测得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求得河宽AB= m.
【答案】100
16.【盐城中考】如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB＋DE＝10.则的值为____．
【答案】2
17.【2020·临沂】如图，在△ABC中，D，E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝6，则DH＝________．
【答案】1
第17题图 第18题图
18.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DCEF的顶点D，E，F分别在边AC，BC，AB上，如果AC＝10，BC＝6，那么正方形DCEF的周长为________．
【点拨】∵四边形DCEF为正方形，∴DF∥BC，DC＝DF,
∴△ADF∽△ACB，∴＝，设DC＝x，则DF＝x,
AD＝10－x，∴＝，解得x＝，
∴正方形DCEF的周长为4×＝15.
【答案】15
三、解答题
19.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若＝，DE＝4，求BC的长．
解：∵＝，∴＝.
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
∴＝＝，即＝，解得BC＝6.
20.如图，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，连接BE，CD，交于点O.
(1)写出图中的相似三角形；
解：△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB.
(2)求证＝.
证明：由(1)知△ADE∽△ABC，∴＝.
又由(1)知△DOE∽△COB，∴＝.
∴＝.
21.已知线段OA⊥OB，点C为OB的中点，点D为AO上一点，连接AC，BD交于点P.
(1)如图①，当点D为AO的中点时，求的值；
解：如图①，过点C作CE∥OA，交BD于点E，
∴△BCE∽△BOD.
∴＝＝. ∴CE＝OD＝AD.
∵CE∥OA，∴△ECP∽△DAP.
∴＝＝＝2.
(2)如图②，当＝时，求的值．
【思路点拨】过一点作平行于三角形一边的线段，构造相似三角形来解决以上两题.12题过AC边的中点E作平行于CD的线段；13题以AP，PC为三角形的对应边，通过作平行线构造相似三角形．
解：如图②，过点C作CE∥OA，交BD于点E，
∴△BCE∽△BOD，∴＝＝.
设AD＝x，则OA＝4x，OD＝3x.∴CE＝OD＝x.
由OA∥CE得△DAP∽△ECP，
∴＝＝＝. ∴＝.
22.【2021·河南省实验学校校级月考】如图，在四边形OABC中，D，E，F分别是OA，OB，OC上的点，连接DE，EF，DF，AC，若∠OED＝∠OBA，∠OEF＝∠OBC.
(1)求证：＝.
证明：∵∠OED＝∠OBA，∠OEF＝∠OBC，
∴DE∥AB，EF∥BC.
由DE∥AB，
得△ODE∽△OAB，
∴＝.
由EF∥BC，得△OFE∽△OCB，
∴＝.∴＝.
(2)请你探究：如果△DEF是以DF为底边的等腰三角形，那么△ABC是否是以AC为底边的等腰三角形，为什么？
解：是．理由如下：由△OFE∽△OCB，
得＝.
由△ODE∽△OAB，得＝.∴＝.
∵△DEF是以DF为底边的等腰三角形，
∴DE＝EF，
∴AB＝BC，即△ABC是以AC为底边的等腰三角形．
23.【2020·泸州改编】如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC，ED分别交于点M，N.已知AB＝4，BC＝6，求MN的长．
解：如图，过点E作EH∥AD，交BF于点G，交CD于点H，
∴△BEG∽△BAF，∴＝.
∵AB＝4，BC＝6，E为AB的中点，F为AD的中点，
∴BE＝2，AF＝DF＝3，∴＝，∴EG＝.
由题意易得△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，
∴＝，＝，
∴＝，＝，即＝，＝，
∴2NG＝NF，4MG＝MB.
∵E为AB的中点，EH∥AD，∴G为BF的中点，
∴BG＝GF＝BF＝ ＝，
∴NG＝GF＝，MG＝BG＝，
∴MN＝NG＋MG＝.
24.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ.点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．
(1)直接用含t的式子表示：QB＝__________，PD＝__________；
【答案】8－2t t
(2)是否存在t值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形．
解：不存在．理由如下：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10.
∵PD∥BC，∴△APD∽△ACB，
∴＝，即＝，∴AD＝t.
∴BD＝AB－AD＝10－t.
∵BQ∥DP，
∴当BQ＝DP时，四边形PDBQ是平行四边形，
即8－2t＝t，解得t＝.
当t＝时，PD＝×＝，BD＝10－×＝6，
∴DP≠BD，∴四边形PDBQ不能为菱形．
设点Q的速度为每秒v个单位长度时满足条件，则BQ＝8－vt，PD＝t，BD＝10－t.要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ.
∴t＝10－t＝8－vt，解得t＝，v＝.
∴当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ为菱形．