27.2.1.3 由三边和两边夹角判定三角形相似 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 27.2.1.3 由三边和两边夹角判定三角形相似 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-30 16:46:00 | ||
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文档简介
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 由三边和两边夹角判定三角形相似
一、选择题
1.甲三角形的三边长分别为12,4,9,乙三角形的三边长分别为6,18,13.5,则这两个三角形( )
A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.全等
2.某同学在方格纸上画了四个三角形,与左侧的三角形相似的是( )
3.在图1、图2所示的△ABC中,AB＝4,AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开(裁剪方法已在图上标注).对于各图中剪下的阴影三角形,下列说法正确的是( )
A.只有图1中的阴影三角形与△ABC相似
B.只有图2中的阴影三角形与△ABC相似
C.都与△ABC相似
D.都与△ABC不相似
4.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且AD:AC＝1:3，AE＝BE，则有( )
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
第4题图 第5题图 第6题图
5.【中考·连云港】在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似？( )
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
6.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论一定正确的是( )
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似
7.【中考·昆明】在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
第7题图 第8题图 第9题图
8.【中考·广东】如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K.则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④＝1∶4.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,D是AB边的中点,AF⊥CD于点E,交BC边于点F,连接DF,则图中与△ACE相似的三角形共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10.如图,∠APD＝90°,AP＝PB＝BC＝CD,则下列结论成立的是( )
A.△PAB∽△PCA B.△PAB∽△PDA C.△ABC∽△DBA D.△ABC∽△DCA
第10题图 第11题图 第12题图
11.已知抛物线y＝－x2+1的顶点为P,A是第一象限内该二次函数图象上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B,过点A作x轴的垂线,垂足为D,连接PA,PD,PD交AB于点E,则△PAD与△PEA( )
A.始终相似 B.始终不相似 C.只有AB＝AD时相似 D.无法确定
12.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,点P在线段AB上,当AP为多少时,△PAD与△PBC相似( )
A. B.1 C.6 D.或1或6
二、填空题
13.三边对应 的两个三角形相似，两边对应 且 的两个三角形相似．
14.如图,BD平分∠ABC,AB＝4,BC＝6,当△ABD∽△DBC时,BD＝ .
第14题图 第15题图 第16题图
15.在平面直角坐标系中,已知点A(－2,0),B(0,4),C(0,3),过点C作直线交x轴于点D,使得以D,O,C为顶点的三角形与△AOB相似,则点D的坐标为 .
16.【2021·南充】如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD∶AC的值为________．
17.【2019·河南模拟】边长为2的正方形ABCD中E是AB的中点，P在射线DC上从D出发以每秒1个单位长度的速度运动，过P作PF⊥DE，当运动时间为 秒时，以点P，F，E为顶点的三角形与△AED相似．
第17题图 第18题图
18.【中考·攀枝花】如图,在边长为4的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,DE,AF交于点G,AF的中点为H,连接BG,DH.给出下列结论:①AF⊥DE;②DG＝;③HD∥BG;④△ABG∽△DHF.其中正确的结论有 .(请填上所有正确结论的序号)
三、解答题
19.若△ABC的三边长为,2,△A'B'C'的两边长为1,,要使△ABC∽△A'B'C',求△A'B'C'的第三条边长.
20.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,AC＝1,CD＝2,BD＝4.求证:△ACP∽△PDB.
21.【安徽合肥庐阳区期末】如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,AB＝BD.
(1)判断△ABE与△CBA是否相似,并说明理由;
(2)求证:AC＝2AE.
22.如图,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF都是格点三角形(顶点是网格线的交点).
(1)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(2)P1,P2,P3,D,F是△DEF边上的5个格点,请在这5个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相似.(写出一个即可,说明理由)
23.【福州中考】如图,在△ABC中,AB＝AC＝1,BC＝,在AC边上截取AD＝BC,连接BD.
(1)通过计算,判断AD2与AC·CD的大小关系;
(2)求∠ABD的度数.
24.如图，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(8，0)．动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t s.
(1)求直线AB对应的函数解析式；
(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
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参考答案
一、选择题
1.甲三角形的三边长分别为12,4,9,乙三角形的三边长分别为6,18,13.5,则这两个三角形( C )
A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.全等
2.某同学在方格纸上画了四个三角形,与左侧的三角形相似的是( B )
3.在图1、图2所示的△ABC中,AB＝4,AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开(裁剪方法已在图上标注).对于各图中剪下的阴影三角形,下列说法正确的是( B )
A.只有图1中的阴影三角形与△ABC相似
B.只有图2中的阴影三角形与△ABC相似
C.都与△ABC相似
D.都与△ABC不相似
4.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且AD:AC＝1:3，AE＝BE，则有( B )
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
第4题图 第5题图 第6题图
5.【中考·连云港】在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似？( )
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
【点拨】设小正方形的边长为1，则“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为2，2，4.“车”“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2，∵＝＝，∴“马”应落在②处．
【答案】B
6.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论一定正确的是( B )
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似
7.【中考·昆明】在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有( C )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
第7题图 第8题图 第9题图
8.【中考·广东】如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K.则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④＝1∶4.其中正确的有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,D是AB边的中点,AF⊥CD于点E,交BC边于点F,连接DF,则图中与△ACE相似的三角形共有( B )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10.如图,∠APD＝90°,AP＝PB＝BC＝CD,则下列结论成立的是( C )
A.△PAB∽△PCA B.△PAB∽△PDA C.△ABC∽△DBA D.△ABC∽△DCA
第10题图 第11题图 第12题图
11.已知抛物线y＝－x2+1的顶点为P,A是第一象限内该二次函数图象上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B,过点A作x轴的垂线,垂足为D,连接PA,PD,PD交AB于点E,则△PAD与△PEA( A )
A.始终相似 B.始终不相似 C.只有AB＝AD时相似 D.无法确定
提示:抛物线y＝－x2+1的顶点P的坐标为(0,1),设A(t,－t2+1),则D(t,0),易得直线PD的解析式为y＝－x+1,则E(t3,－t2+1).因为PA2＝PE·PD,即PA∶PE＝PD∶PA,而∠APE＝∠DPA,所以△APE∽△DPA.
12.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,点P在线段AB上,当AP为多少时,△PAD与△PBC相似( D )
A. B.1 C.6 D.或1或6
二、填空题
13.三边对应 的两个三角形相似，两边对应 且 的两个三角形相似．
【答案】成比例 成比例 夹角相等
14.如图,BD平分∠ABC,AB＝4,BC＝6,当△ABD∽△DBC时,BD＝ 2 .
第14题图 第15题图 第16题图
15.在平面直角坐标系中,已知点A(－2,0),B(0,4),C(0,3),过点C作直线交x轴于点D,使得以D,O,C为顶点的三角形与△AOB相似,则点D的坐标为 ,(－6,0)或(6,0) .
16.【2021·南充】如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD∶AC的值为________．
【点拨】∵BC＝AB＝3BD，∴＝＝.
又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA.∴＝＝.
∴AD∶AC＝＝.
【答案】
17.【2019·河南模拟】边长为2的正方形ABCD中E是AB的中点，P在射线DC上从D出发以每秒1个单位长度的速度运动，过P作PF⊥DE，当运动时间为 秒时，以点P，F，E为顶点的三角形与△AED相似．
【答案】1或
第17题图 第18题图
18.【中考·攀枝花】如图,在边长为4的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,DE,AF交于点G,AF的中点为H,连接BG,DH.给出下列结论:①AF⊥DE;②DG＝;③HD∥BG;④△ABG∽△DHF.其中正确的结论有 ①④ .(请填上所有正确结论的序号)
提示:由题易证△ADF≌△DCE(SAS),∴∠AFD＝∠DEC,∵∠EDC+∠DEC＝90°,∴∠EDC+∠AFD＝90°,∴∠DGF＝90°,即AF⊥DE,故①正确;∵AD＝4,DF＝,∴△ABG∽△DHF,故④正确;由④知∠ABG＝∠DHF,而AB≠AG,∴∠ABG≠∠AGB,∴∠AGB≠∠DHF,∴HD与BG不平行,故③错误.
三、解答题
19.若△ABC的三边长为,2,△A'B'C'的两边长为1,,要使△ABC∽△A'B'C',求△A'B'C'的第三条边长.
解:∵△ABC的三边长分别为,2,
∴△ABC的三边长之比为1∶.
∵△A'B'C'的两边长分别为1和,且△ABC∽△A'B'C',
∴△A'B'C'的第三边的长应等于.
20.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,AC＝1,CD＝2,BD＝4.求证:△ACP∽△PDB.
证明:∵△PCD是等边三角形,
∴∠PCD＝∠PDC＝60°,PC＝PD＝CD＝2,
∴∠PCA＝∠PDB＝120°.
∵AC＝1,BD＝4,∴,
∴,∴△ACP∽△PDB.
21.【安徽合肥庐阳区期末】如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,AB＝BD.
(1)判断△ABE与△CBA是否相似,并说明理由;
(2)求证:AC＝2AE.
解:(1)相似.
理由:∵AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,∴BD＝CD,BE＝DE,
∴BE＝BC.
又∵AB＝BD,∴.
∵∠B＝∠B,∴△ABE∽△CBA.
(2)由(1)知△ABE∽△CBA,
∴,∴AC＝2AE.
22.如图,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF都是格点三角形(顶点是网格线的交点).
(1)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(2)P1,P2,P3,D,F是△DEF边上的5个格点,请在这5个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相似.(写出一个即可,说明理由)
解:(1)△ABC和△DEF相似.理由略.
(2)△ABC∽△DP2P3.(答案不唯一,合理即可)
理由:连接P2P3.由(1)知△ABC∽△DEF,
∴∠BAC＝∠EDF,即∠BAC＝∠P2DP3.
∵DP3＝,
∴△ABC∽△DP2P3.
23.【福州中考】如图,在△ABC中,AB＝AC＝1,BC＝,在AC边上截取AD＝BC,连接BD.
(1)通过计算,判断AD2与AC·CD的大小关系;
(2)求∠ABD的度数.
解:(1)∵AD＝BC,BC＝,AB＝AC＝1,
∴AD＝,
∴AD2＝AC·CD.
(2)∵AD＝BC,AD2＝AC·CD,
∴BC2＝AC·CD,即.
又∵∠C＝∠C,∴△BCD∽△ACB,
∴＝1,∠DBC＝∠A,
∴DB＝BC＝AD,∴∠A＝∠ABD,∠C＝∠BDC.
设∠A＝x,∴∠ABD＝x,∠DBC＝x,∠C＝2x,
∴x+2x+2x＝180°,解得x＝36°,∴∠ABD＝36°.
24.如图，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(8，0)．动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t s.
(1)求直线AB对应的函数解析式；
【思路点拨】设直线AB对应的函数解析式为y＝kx＋b，用待定系数法求出k，b的值即可；
解：设直线AB对应的函数解析式为y＝kx＋b.
由题意得解得
所以直线AB对应的函数解析式为y＝－x＋6.
(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
【思路点拨】在△APQ和△AOB中，夹∠BAO的两边分别为AP，AQ和AO，AB，对应边的比有两种情况，因此可分类求出t的值．
解：由题易知AO＝6，BO＝8，则AB＝10.
易得AP＝t，AQ＝10－2t.
如图①，当＝时，△APQ∽△AOB，
此时有＝，解得t＝；
如图②，当＝时，△AQP∽△AOB，
此时有＝，解得t＝.
综上可知，当t＝或时，△APQ与△AOB相似．
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 由三边和两边夹角判定三角形相似
一、选择题
1.甲三角形的三边长分别为12,4,9,乙三角形的三边长分别为6,18,13.5,则这两个三角形( )
A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.全等
2.某同学在方格纸上画了四个三角形,与左侧的三角形相似的是( )
3.在图1、图2所示的△ABC中,AB＝4,AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开(裁剪方法已在图上标注).对于各图中剪下的阴影三角形,下列说法正确的是( )
A.只有图1中的阴影三角形与△ABC相似
B.只有图2中的阴影三角形与△ABC相似
C.都与△ABC相似
D.都与△ABC不相似
4.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且AD:AC＝1:3，AE＝BE，则有( )
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
第4题图 第5题图 第6题图
5.【中考·连云港】在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似？( )
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
6.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论一定正确的是( )
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似
7.【中考·昆明】在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
第7题图 第8题图 第9题图
8.【中考·广东】如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K.则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④＝1∶4.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,D是AB边的中点,AF⊥CD于点E,交BC边于点F,连接DF,则图中与△ACE相似的三角形共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10.如图,∠APD＝90°,AP＝PB＝BC＝CD,则下列结论成立的是( )
A.△PAB∽△PCA B.△PAB∽△PDA C.△ABC∽△DBA D.△ABC∽△DCA
第10题图 第11题图 第12题图
11.已知抛物线y＝－x2+1的顶点为P,A是第一象限内该二次函数图象上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B,过点A作x轴的垂线,垂足为D,连接PA,PD,PD交AB于点E,则△PAD与△PEA( )
A.始终相似 B.始终不相似 C.只有AB＝AD时相似 D.无法确定
12.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,点P在线段AB上,当AP为多少时,△PAD与△PBC相似( )
A. B.1 C.6 D.或1或6
二、填空题
13.三边对应 的两个三角形相似，两边对应 且 的两个三角形相似．
14.如图,BD平分∠ABC,AB＝4,BC＝6,当△ABD∽△DBC时,BD＝ .
第14题图 第15题图 第16题图
15.在平面直角坐标系中,已知点A(－2,0),B(0,4),C(0,3),过点C作直线交x轴于点D,使得以D,O,C为顶点的三角形与△AOB相似,则点D的坐标为 .
16.【2021·南充】如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD∶AC的值为________．
17.【2019·河南模拟】边长为2的正方形ABCD中E是AB的中点，P在射线DC上从D出发以每秒1个单位长度的速度运动，过P作PF⊥DE，当运动时间为 秒时，以点P，F，E为顶点的三角形与△AED相似．
第17题图 第18题图
18.【中考·攀枝花】如图,在边长为4的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,DE,AF交于点G,AF的中点为H,连接BG,DH.给出下列结论:①AF⊥DE;②DG＝;③HD∥BG;④△ABG∽△DHF.其中正确的结论有 .(请填上所有正确结论的序号)
三、解答题
19.若△ABC的三边长为,2,△A'B'C'的两边长为1,,要使△ABC∽△A'B'C',求△A'B'C'的第三条边长.
20.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,AC＝1,CD＝2,BD＝4.求证:△ACP∽△PDB.
21.【安徽合肥庐阳区期末】如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,AB＝BD.
(1)判断△ABE与△CBA是否相似,并说明理由;
(2)求证:AC＝2AE.
22.如图,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF都是格点三角形(顶点是网格线的交点).
(1)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(2)P1,P2,P3,D,F是△DEF边上的5个格点,请在这5个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相似.(写出一个即可,说明理由)
23.【福州中考】如图,在△ABC中,AB＝AC＝1,BC＝,在AC边上截取AD＝BC,连接BD.
(1)通过计算,判断AD2与AC·CD的大小关系;
(2)求∠ABD的度数.
24.如图，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(8，0)．动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t s.
(1)求直线AB对应的函数解析式；
(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
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参考答案
一、选择题
1.甲三角形的三边长分别为12,4,9,乙三角形的三边长分别为6,18,13.5,则这两个三角形( C )
A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.全等
2.某同学在方格纸上画了四个三角形,与左侧的三角形相似的是( B )
3.在图1、图2所示的△ABC中,AB＝4,AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开(裁剪方法已在图上标注).对于各图中剪下的阴影三角形,下列说法正确的是( B )
A.只有图1中的阴影三角形与△ABC相似
B.只有图2中的阴影三角形与△ABC相似
C.都与△ABC相似
D.都与△ABC不相似
4.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且AD:AC＝1:3，AE＝BE，则有( B )
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
第4题图 第5题图 第6题图
5.【中考·连云港】在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似？( )
A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
【点拨】设小正方形的边长为1，则“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为2，2，4.“车”“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2，∵＝＝，∴“马”应落在②处．
【答案】B
6.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论一定正确的是( B )
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似
7.【中考·昆明】在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有( C )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
第7题图 第8题图 第9题图
8.【中考·广东】如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K.则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④＝1∶4.其中正确的有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,D是AB边的中点,AF⊥CD于点E,交BC边于点F,连接DF,则图中与△ACE相似的三角形共有( B )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10.如图,∠APD＝90°,AP＝PB＝BC＝CD,则下列结论成立的是( C )
A.△PAB∽△PCA B.△PAB∽△PDA C.△ABC∽△DBA D.△ABC∽△DCA
第10题图 第11题图 第12题图
11.已知抛物线y＝－x2+1的顶点为P,A是第一象限内该二次函数图象上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B,过点A作x轴的垂线,垂足为D,连接PA,PD,PD交AB于点E,则△PAD与△PEA( A )
A.始终相似 B.始终不相似 C.只有AB＝AD时相似 D.无法确定
提示:抛物线y＝－x2+1的顶点P的坐标为(0,1),设A(t,－t2+1),则D(t,0),易得直线PD的解析式为y＝－x+1,则E(t3,－t2+1).因为PA2＝PE·PD,即PA∶PE＝PD∶PA,而∠APE＝∠DPA,所以△APE∽△DPA.
12.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,点P在线段AB上,当AP为多少时,△PAD与△PBC相似( D )
A. B.1 C.6 D.或1或6
二、填空题
13.三边对应 的两个三角形相似，两边对应 且 的两个三角形相似．
【答案】成比例 成比例 夹角相等
14.如图,BD平分∠ABC,AB＝4,BC＝6,当△ABD∽△DBC时,BD＝ 2 .
第14题图 第15题图 第16题图
15.在平面直角坐标系中,已知点A(－2,0),B(0,4),C(0,3),过点C作直线交x轴于点D,使得以D,O,C为顶点的三角形与△AOB相似,则点D的坐标为 ,(－6,0)或(6,0) .
16.【2021·南充】如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD∶AC的值为________．
【点拨】∵BC＝AB＝3BD，∴＝＝.
又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA.∴＝＝.
∴AD∶AC＝＝.
【答案】
17.【2019·河南模拟】边长为2的正方形ABCD中E是AB的中点，P在射线DC上从D出发以每秒1个单位长度的速度运动，过P作PF⊥DE，当运动时间为 秒时，以点P，F，E为顶点的三角形与△AED相似．
【答案】1或
第17题图 第18题图
18.【中考·攀枝花】如图,在边长为4的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,DE,AF交于点G,AF的中点为H,连接BG,DH.给出下列结论:①AF⊥DE;②DG＝;③HD∥BG;④△ABG∽△DHF.其中正确的结论有 ①④ .(请填上所有正确结论的序号)
提示:由题易证△ADF≌△DCE(SAS),∴∠AFD＝∠DEC,∵∠EDC+∠DEC＝90°,∴∠EDC+∠AFD＝90°,∴∠DGF＝90°,即AF⊥DE,故①正确;∵AD＝4,DF＝,∴△ABG∽△DHF,故④正确;由④知∠ABG＝∠DHF,而AB≠AG,∴∠ABG≠∠AGB,∴∠AGB≠∠DHF,∴HD与BG不平行,故③错误.
三、解答题
19.若△ABC的三边长为,2,△A'B'C'的两边长为1,,要使△ABC∽△A'B'C',求△A'B'C'的第三条边长.
解:∵△ABC的三边长分别为,2,
∴△ABC的三边长之比为1∶.
∵△A'B'C'的两边长分别为1和,且△ABC∽△A'B'C',
∴△A'B'C'的第三边的长应等于.
20.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,AC＝1,CD＝2,BD＝4.求证:△ACP∽△PDB.
证明:∵△PCD是等边三角形,
∴∠PCD＝∠PDC＝60°,PC＝PD＝CD＝2,
∴∠PCA＝∠PDB＝120°.
∵AC＝1,BD＝4,∴,
∴,∴△ACP∽△PDB.
21.【安徽合肥庐阳区期末】如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,AB＝BD.
(1)判断△ABE与△CBA是否相似,并说明理由;
(2)求证:AC＝2AE.
解:(1)相似.
理由:∵AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,∴BD＝CD,BE＝DE,
∴BE＝BC.
又∵AB＝BD,∴.
∵∠B＝∠B,∴△ABE∽△CBA.
(2)由(1)知△ABE∽△CBA,
∴,∴AC＝2AE.
22.如图,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF都是格点三角形(顶点是网格线的交点).
(1)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(2)P1,P2,P3,D,F是△DEF边上的5个格点,请在这5个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相似.(写出一个即可,说明理由)
解:(1)△ABC和△DEF相似.理由略.
(2)△ABC∽△DP2P3.(答案不唯一,合理即可)
理由:连接P2P3.由(1)知△ABC∽△DEF,
∴∠BAC＝∠EDF,即∠BAC＝∠P2DP3.
∵DP3＝,
∴△ABC∽△DP2P3.
23.【福州中考】如图,在△ABC中,AB＝AC＝1,BC＝,在AC边上截取AD＝BC,连接BD.
(1)通过计算,判断AD2与AC·CD的大小关系;
(2)求∠ABD的度数.
解:(1)∵AD＝BC,BC＝,AB＝AC＝1,
∴AD＝,
∴AD2＝AC·CD.
(2)∵AD＝BC,AD2＝AC·CD,
∴BC2＝AC·CD,即.
又∵∠C＝∠C,∴△BCD∽△ACB,
∴＝1,∠DBC＝∠A,
∴DB＝BC＝AD,∴∠A＝∠ABD,∠C＝∠BDC.
设∠A＝x,∴∠ABD＝x,∠DBC＝x,∠C＝2x,
∴x+2x+2x＝180°,解得x＝36°,∴∠ABD＝36°.
24.如图，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(8，0)．动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t s.
(1)求直线AB对应的函数解析式；
【思路点拨】设直线AB对应的函数解析式为y＝kx＋b，用待定系数法求出k，b的值即可；
解：设直线AB对应的函数解析式为y＝kx＋b.
由题意得解得
所以直线AB对应的函数解析式为y＝－x＋6.
(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
【思路点拨】在△APQ和△AOB中，夹∠BAO的两边分别为AP，AQ和AO，AB，对应边的比有两种情况，因此可分类求出t的值．
解：由题易知AO＝6，BO＝8，则AB＝10.
易得AP＝t，AQ＝10－2t.
如图①，当＝时，△APQ∽△AOB，
此时有＝，解得t＝；
如图②，当＝时，△AQP∽△AOB，
此时有＝，解得t＝.
综上可知，当t＝或时，△APQ与△AOB相似．