27.2.1.4 用角的关系判定三角形相似及两直角三角形相似的判定 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 27.2.1.4 用角的关系判定三角形相似及两直角三角形相似的判定 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-30 16:46:00 | ||
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文档简介
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第4课时 用角的关系判定三角形相似及两直角三角形相似的判定
一、选择题
1.若等腰△ABC的底角为75°,则下列三角形一定与△ABC相似的是( )
A.顶角为30°的等腰三角形
B.顶角为40°的等腰三角形
C.等边三角形
D.顶角为75°的等腰三角形
2.【2021·湘西州】如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是( )
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
第2题图 第3题图 第5题图 第7题图
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，要得到CD2＝BD·AD这个结论需证明( )
A．△ADC∽△ACB B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△CDB D．以上都不对
4.在△ABC和△A1B1C1中,∠A＝∠A1＝90°,添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( )
A.∠B＝∠B1 B. C. D.
5.如图,已知△ACB和△ADC均为直角三角形,点B,D位于AC的两侧,∠ACB＝∠ADC＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c.要使△ACD∽△ABC,则CD＝( )
A. B. C. D.
6.在△ABC中,∠ACB＝90°,用直尺和圆规在AB上确定点D,使△ACD∽△CBD.根据作图痕迹判断,正确的是( )
7.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,则下列条件中,不一定能使△AED∽△ABC的是( )
A.∠2＝∠B B.∠1＝∠C C. D.
8.如图所示,图中共有相似三角形( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
第8题图 第9题图 第10题图
9.【2020·牡丹江】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F.若DF＝6，则线段EF的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
10.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE，CF分别是AC，AB边上的高，连接EF，则EF∶BC的值为( )
A．1∶2 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶5
11.【2021·自贡】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是( )
第11题图 第12题图 第13题图
A．9.6 B．4 C．5 D．10
12.【中考·泰安】如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为( )
A．18 B. C. D.
二、填空题
13.如图,在△ABC中,P为AB上一点,连接CP.若再添加一个条件,使得△APC∽△ACB,则需添加的一个条件是 .
14.【威海中考】如图，点C在∠AOB的内部，∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补．若AC＝1.5，BC＝2，则OC＝____．
第14题图 第15题 第16题图
15.【2021·荆州】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E.若AD＝4，DF＝，则BE＝________.
16.如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为___________．
17.【中科大附中月考】如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分∠ACB.若AD＝2,BD＝3,则AC的长为 .
第17题图 第18题图
18.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E.连接CE,过点E作PE⊥EC交AD于点P.
(1)△APE∽ ;
(2)若AB＝6,AD＝8,则AP＝ .
三、解答题
19.如图,在等边△ABC中,点E,D分别在边BC,AB上,且∠AED＝60°,求证:△AEC∽△EDB.
20.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D是BC上一点,已知CD＝1,AD＝,AB＝2.求证:Rt△ADC∽Rt△BAC.
21.如图,AB⊥DB于点B,CD⊥DB于点D,AB＝6,CD＝4,BD＝14,在DB上取一点P,使以C,D,P为顶点的三角形与以P,B,A为顶点的三角形相似,求DP的长.
22.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC＝∠ACB＝90°,E为AB的中点.
(1)求证:AC2＝AB·AD;
(2)求证:△AFD∽△CFE.
23.如图,正方形ABCD的边长为4,M,N分别是BC,CD上的两个动点.当点M在BC上运动时,保持AM和MN垂直,设BM＝x.
(1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN.
(2)当点M运动到什么位置时,Rt△ABM∽Rt△AMN 求x的值.
24.【2021·青海】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于点G.
(1)求证△BGD∽△DMA；
(2)求证：直线MN是⊙O的切线．
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参考答案
一、选择题
1.若等腰△ABC的底角为75°,则下列三角形一定与△ABC相似的是( A )
A.顶角为30°的等腰三角形
B.顶角为40°的等腰三角形
C.等边三角形
D.顶角为75°的等腰三角形
2.【2021·湘西州】如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是( C )
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
第2题图 第3题图 第5题图 第7题图
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，要得到CD2＝BD·AD这个结论需证明( C )
A．△ADC∽△ACB B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△CDB D．以上都不对
4.在△ABC和△A1B1C1中,∠A＝∠A1＝90°,添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( D )
A.∠B＝∠B1 B. C. D.
5.如图,已知△ACB和△ADC均为直角三角形,点B,D位于AC的两侧,∠ACB＝∠ADC＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c.要使△ACD∽△ABC,则CD＝( C )
A. B. C. D.
6.在△ABC中,∠ACB＝90°,用直尺和圆规在AB上确定点D,使△ACD∽△CBD.根据作图痕迹判断,正确的是( D )
7.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,则下列条件中,不一定能使△AED∽△ABC的是( D )
A.∠2＝∠B B.∠1＝∠C C. D.
8.如图所示,图中共有相似三角形( C )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
第8题图 第9题图 第10题图
9.【2020·牡丹江】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F.若DF＝6，则线段EF的长为( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
【点拨】∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝10，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AEB＝∠DAF.∵DF⊥AE，∴∠F＝90°＝∠B，∴△AFD∽△EBA.∴＝.∴＝.∴AE＝5.∵AF＝＝8.∴EF＝AF－AE＝8－5＝3.
10.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE，CF分别是AC，AB边上的高，连接EF，则EF∶BC的值为( A )
A．1∶2 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶5
【点拨】∵BE，CF分别是AC，AB边上的高，∴∠AEB＝∠AFC＝90°.∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACF，∴＝，即＝.又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABC，∴＝.∵在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－60°＝30°，∴AE＝AB，∴＝＝.故选项A正确．
11.【2021·自贡】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是( )
第11题图 第12题图 第13题图
A．9.6 B．4 C．5 D．10
【点拨】∵OE⊥AC于点E，∴AE＝EC.
∵OE＝3，OA＝OB＝5，∴AE＝＝4.
∴AC＝8.
∵AB⊥CD，∴DF＝CF，∠AFC＝∠AEO＝90°.
又∵∠A＝∠A，∴△AEO∽△AFC.
∴＝，即＝.
∴CF＝4.8. ∴CD＝2CF＝9.6.
【答案】A
12.【中考·泰安】如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为( )
A．18 B. C. D.
【点拨】如图，设EM交CD于点G.
∵四边形ABCD是正方形，AB＝12，BM＝5，
∴MC＝12－5＝7.
∵ME⊥AM，∴∠AME＝90°，∴∠AMB＋∠CMG＝90°.
∵∠AMB＋∠BAM＝90°，∴∠BAM＝∠CMG.
又∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABM∽△MCG.
∴＝，即＝，解得CG＝.∴DG＝12－＝.
∵AE∥BC，∴△MCG∽△EDG.
∴＝，即＝，解得DE＝.
【答案】B
二、填空题
13.如图,在△ABC中,P为AB上一点,连接CP.若再添加一个条件,使得△APC∽△ACB,则需添加的一个条件是 ∠APC＝∠ACB(答案不唯一,合理即可) .
14.【威海中考】如图，点C在∠AOB的内部，∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补．若AC＝1.5，BC＝2，则OC＝____．
【答案】
第14题图 第15题 第16题图
15.【2021·荆州】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E.若AD＝4，DF＝，则BE＝________.
【答案】
16.如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为___________．
【点拨】已知∠A＝∠B＝90°.①若△APD∽△BPC，则＝，∴＝，解得AP＝2.8；②若△APD∽△BCP，则＝，∴＝，解得AP＝1或6.∴满足条件的AP长为2.8或1或6.
【易错警示】利用相似三角形的判定和性质时，要注意相似的对应关系．分类讨论时，要注意对应关系的变化，防止遗漏．
【答案】2.8或1或6
17.【中科大附中月考】如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分∠ACB.若AD＝2,BD＝3,则AC的长为 .
第17题图 第18题图
18.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E.连接CE,过点E作PE⊥EC交AD于点P.
(1)△APE∽ △DCE ;
(2)若AB＝6,AD＝8,则AP＝ 4.5 .
提示:(1)∵AE⊥BD,∴∠ADB+∠EAD＝90°,又∵∠ADB+∠BDC＝90°,∴∠EAD＝∠BDC.∵AE⊥BD,PE⊥EC,∴∠AEP＝∠CED,∴△APE∽△DCE.(2)在Rt△ABD中,由勾股定理得BD＝10,∵∠BAD＝90°,AE⊥BD,∴△DAE∽△DBA,∴,解得AP＝4.5.
三、解答题
19.如图,在等边△ABC中,点E,D分别在边BC,AB上,且∠AED＝60°,求证:△AEC∽△EDB.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠B＝∠C＝60°,∴∠CAE+∠AEC＝120°.
∵∠AED＝60°,∴∠BED+∠AEC＝180°－60°＝120°,
∴∠BED＝∠CAE,∴△AEC∽△EDB.
20.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D是BC上一点,已知CD＝1,AD＝,AB＝2.求证:Rt△ADC∽Rt△BAC.
证明:∵∠C＝90°,CD＝1,AD＝,
∴AC＝＝2.
在Rt△ADC和Rt△BAC中,
∵,
∴,∴Rt△ADC∽Rt△BAC.
21.如图,AB⊥DB于点B,CD⊥DB于点D,AB＝6,CD＝4,BD＝14,在DB上取一点P,使以C,D,P为顶点的三角形与以P,B,A为顶点的三角形相似,求DP的长.
解:∵AB⊥DB,CD⊥DB,∴∠D＝∠B＝90°.
设DP＝x,当时,△PDC∽△ABP,
∴,解得DP＝2或12;
当时,△PCD∽△PAB,
∴,解得DP＝5.6.
综上所述,DP的长为5.6或2或12.
22.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC＝∠ACB＝90°,E为AB的中点.
(1)求证:AC2＝AB·AD;
(2)求证:△AFD∽△CFE.
证明:(1)∵AC平分∠DAB,∴∠DAC＝∠CAB.
∵∠ADC＝∠ACB＝90°,∴△ADC∽△ACB,
∴,即AC2＝AB·AD.
(2)∵E为AB的中点,∴CE＝BE＝AE,∴∠EAC＝∠ECA.
∵∠DAC＝∠CAB,∴∠DAC＝∠ECA,即∠DAF＝∠ECF.
又∵∠AFD＝∠CFE,∴△AFD∽△CFE.
23.如图,正方形ABCD的边长为4,M,N分别是BC,CD上的两个动点.当点M在BC上运动时,保持AM和MN垂直,设BM＝x.
(1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN.
(2)当点M运动到什么位置时,Rt△ABM∽Rt△AMN 求x的值.
解:(1)在正方形ABCD中,∠B＝∠C＝90°.
∵AM⊥MN,∴∠AMN＝90°,
∴∠CMN+∠AMB＝90°.
在Rt△ABM中,∠BAM+∠AMB＝90°,
∴∠BAM＝∠CMN,∴Rt△ABM∽Rt△MCN.
(2)∵∠B＝∠AMN＝90°,
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN,必须有.
由(1)知,∴BM＝MC,
∴当点M运动到BC的中点时,Rt△ABM∽Rt△AMN,此时x＝2.
24.【2021·青海】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于点G.
(1)求证△BGD∽△DMA；
【思路点拨】欲证△BGD∽△DMA，已知一组直角相等，只需另一组角相等即可，可以利用“直径所对的圆角角是直角”证得；
证明：∵MN⊥AC，BG⊥MN，
∴∠BGD＝∠DMA＝90°.
∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°.
∴∠ADM＋∠CDM＝90°.
∵∠DBG＋∠BDG＝90°，∠CDM＝∠BDG，
∴∠DBG＝∠ADM.
∴△BGD∽△DMA.
(2)求证：直线MN是⊙O的切线．
【思路点拨】用“连半径，证垂直”的方法证明切线．
证明：如图，连接OD.
∵BO＝OA，BD＝DC，∴OD是△ABC的中位线．
∴OD∥AC.
又∵MN⊥AC，∴OD⊥MN.
∴直线MN是⊙O的切线．
27.2.1 相似三角形的判定
第4课时 用角的关系判定三角形相似及两直角三角形相似的判定
一、选择题
1.若等腰△ABC的底角为75°,则下列三角形一定与△ABC相似的是( )
A.顶角为30°的等腰三角形
B.顶角为40°的等腰三角形
C.等边三角形
D.顶角为75°的等腰三角形
2.【2021·湘西州】如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是( )
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
第2题图 第3题图 第5题图 第7题图
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，要得到CD2＝BD·AD这个结论需证明( )
A．△ADC∽△ACB B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△CDB D．以上都不对
4.在△ABC和△A1B1C1中,∠A＝∠A1＝90°,添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( )
A.∠B＝∠B1 B. C. D.
5.如图,已知△ACB和△ADC均为直角三角形,点B,D位于AC的两侧,∠ACB＝∠ADC＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c.要使△ACD∽△ABC,则CD＝( )
A. B. C. D.
6.在△ABC中,∠ACB＝90°,用直尺和圆规在AB上确定点D,使△ACD∽△CBD.根据作图痕迹判断,正确的是( )
7.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,则下列条件中,不一定能使△AED∽△ABC的是( )
A.∠2＝∠B B.∠1＝∠C C. D.
8.如图所示,图中共有相似三角形( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
第8题图 第9题图 第10题图
9.【2020·牡丹江】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F.若DF＝6，则线段EF的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
10.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE，CF分别是AC，AB边上的高，连接EF，则EF∶BC的值为( )
A．1∶2 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶5
11.【2021·自贡】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是( )
第11题图 第12题图 第13题图
A．9.6 B．4 C．5 D．10
12.【中考·泰安】如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为( )
A．18 B. C. D.
二、填空题
13.如图,在△ABC中,P为AB上一点,连接CP.若再添加一个条件,使得△APC∽△ACB,则需添加的一个条件是 .
14.【威海中考】如图，点C在∠AOB的内部，∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补．若AC＝1.5，BC＝2，则OC＝____．
第14题图 第15题 第16题图
15.【2021·荆州】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E.若AD＝4，DF＝，则BE＝________.
16.如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为___________．
17.【中科大附中月考】如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分∠ACB.若AD＝2,BD＝3,则AC的长为 .
第17题图 第18题图
18.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E.连接CE,过点E作PE⊥EC交AD于点P.
(1)△APE∽ ;
(2)若AB＝6,AD＝8,则AP＝ .
三、解答题
19.如图,在等边△ABC中,点E,D分别在边BC,AB上,且∠AED＝60°,求证:△AEC∽△EDB.
20.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D是BC上一点,已知CD＝1,AD＝,AB＝2.求证:Rt△ADC∽Rt△BAC.
21.如图,AB⊥DB于点B,CD⊥DB于点D,AB＝6,CD＝4,BD＝14,在DB上取一点P,使以C,D,P为顶点的三角形与以P,B,A为顶点的三角形相似,求DP的长.
22.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC＝∠ACB＝90°,E为AB的中点.
(1)求证:AC2＝AB·AD;
(2)求证:△AFD∽△CFE.
23.如图,正方形ABCD的边长为4,M,N分别是BC,CD上的两个动点.当点M在BC上运动时,保持AM和MN垂直,设BM＝x.
(1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN.
(2)当点M运动到什么位置时,Rt△ABM∽Rt△AMN 求x的值.
24.【2021·青海】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于点G.
(1)求证△BGD∽△DMA；
(2)求证：直线MN是⊙O的切线．
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参考答案
一、选择题
1.若等腰△ABC的底角为75°,则下列三角形一定与△ABC相似的是( A )
A.顶角为30°的等腰三角形
B.顶角为40°的等腰三角形
C.等边三角形
D.顶角为75°的等腰三角形
2.【2021·湘西州】如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是( C )
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
第2题图 第3题图 第5题图 第7题图
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，要得到CD2＝BD·AD这个结论需证明( C )
A．△ADC∽△ACB B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△CDB D．以上都不对
4.在△ABC和△A1B1C1中,∠A＝∠A1＝90°,添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( D )
A.∠B＝∠B1 B. C. D.
5.如图,已知△ACB和△ADC均为直角三角形,点B,D位于AC的两侧,∠ACB＝∠ADC＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c.要使△ACD∽△ABC,则CD＝( C )
A. B. C. D.
6.在△ABC中,∠ACB＝90°,用直尺和圆规在AB上确定点D,使△ACD∽△CBD.根据作图痕迹判断,正确的是( D )
7.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,则下列条件中,不一定能使△AED∽△ABC的是( D )
A.∠2＝∠B B.∠1＝∠C C. D.
8.如图所示,图中共有相似三角形( C )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
第8题图 第9题图 第10题图
9.【2020·牡丹江】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F.若DF＝6，则线段EF的长为( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
【点拨】∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝10，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AEB＝∠DAF.∵DF⊥AE，∴∠F＝90°＝∠B，∴△AFD∽△EBA.∴＝.∴＝.∴AE＝5.∵AF＝＝8.∴EF＝AF－AE＝8－5＝3.
10.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE，CF分别是AC，AB边上的高，连接EF，则EF∶BC的值为( A )
A．1∶2 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶5
【点拨】∵BE，CF分别是AC，AB边上的高，∴∠AEB＝∠AFC＝90°.∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACF，∴＝，即＝.又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABC，∴＝.∵在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－60°＝30°，∴AE＝AB，∴＝＝.故选项A正确．
11.【2021·自贡】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是( )
第11题图 第12题图 第13题图
A．9.6 B．4 C．5 D．10
【点拨】∵OE⊥AC于点E，∴AE＝EC.
∵OE＝3，OA＝OB＝5，∴AE＝＝4.
∴AC＝8.
∵AB⊥CD，∴DF＝CF，∠AFC＝∠AEO＝90°.
又∵∠A＝∠A，∴△AEO∽△AFC.
∴＝，即＝.
∴CF＝4.8. ∴CD＝2CF＝9.6.
【答案】A
12.【中考·泰安】如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为( )
A．18 B. C. D.
【点拨】如图，设EM交CD于点G.
∵四边形ABCD是正方形，AB＝12，BM＝5，
∴MC＝12－5＝7.
∵ME⊥AM，∴∠AME＝90°，∴∠AMB＋∠CMG＝90°.
∵∠AMB＋∠BAM＝90°，∴∠BAM＝∠CMG.
又∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABM∽△MCG.
∴＝，即＝，解得CG＝.∴DG＝12－＝.
∵AE∥BC，∴△MCG∽△EDG.
∴＝，即＝，解得DE＝.
【答案】B
二、填空题
13.如图,在△ABC中,P为AB上一点,连接CP.若再添加一个条件,使得△APC∽△ACB,则需添加的一个条件是 ∠APC＝∠ACB(答案不唯一,合理即可) .
14.【威海中考】如图，点C在∠AOB的内部，∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补．若AC＝1.5，BC＝2，则OC＝____．
【答案】
第14题图 第15题 第16题图
15.【2021·荆州】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E.若AD＝4，DF＝，则BE＝________.
【答案】
16.如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为___________．
【点拨】已知∠A＝∠B＝90°.①若△APD∽△BPC，则＝，∴＝，解得AP＝2.8；②若△APD∽△BCP，则＝，∴＝，解得AP＝1或6.∴满足条件的AP长为2.8或1或6.
【易错警示】利用相似三角形的判定和性质时，要注意相似的对应关系．分类讨论时，要注意对应关系的变化，防止遗漏．
【答案】2.8或1或6
17.【中科大附中月考】如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分∠ACB.若AD＝2,BD＝3,则AC的长为 .
第17题图 第18题图
18.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E.连接CE,过点E作PE⊥EC交AD于点P.
(1)△APE∽ △DCE ;
(2)若AB＝6,AD＝8,则AP＝ 4.5 .
提示:(1)∵AE⊥BD,∴∠ADB+∠EAD＝90°,又∵∠ADB+∠BDC＝90°,∴∠EAD＝∠BDC.∵AE⊥BD,PE⊥EC,∴∠AEP＝∠CED,∴△APE∽△DCE.(2)在Rt△ABD中,由勾股定理得BD＝10,∵∠BAD＝90°,AE⊥BD,∴△DAE∽△DBA,∴,解得AP＝4.5.
三、解答题
19.如图,在等边△ABC中,点E,D分别在边BC,AB上,且∠AED＝60°,求证:△AEC∽△EDB.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠B＝∠C＝60°,∴∠CAE+∠AEC＝120°.
∵∠AED＝60°,∴∠BED+∠AEC＝180°－60°＝120°,
∴∠BED＝∠CAE,∴△AEC∽△EDB.
20.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D是BC上一点,已知CD＝1,AD＝,AB＝2.求证:Rt△ADC∽Rt△BAC.
证明:∵∠C＝90°,CD＝1,AD＝,
∴AC＝＝2.
在Rt△ADC和Rt△BAC中,
∵,
∴,∴Rt△ADC∽Rt△BAC.
21.如图,AB⊥DB于点B,CD⊥DB于点D,AB＝6,CD＝4,BD＝14,在DB上取一点P,使以C,D,P为顶点的三角形与以P,B,A为顶点的三角形相似,求DP的长.
解:∵AB⊥DB,CD⊥DB,∴∠D＝∠B＝90°.
设DP＝x,当时,△PDC∽△ABP,
∴,解得DP＝2或12;
当时,△PCD∽△PAB,
∴,解得DP＝5.6.
综上所述,DP的长为5.6或2或12.
22.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC＝∠ACB＝90°,E为AB的中点.
(1)求证:AC2＝AB·AD;
(2)求证:△AFD∽△CFE.
证明:(1)∵AC平分∠DAB,∴∠DAC＝∠CAB.
∵∠ADC＝∠ACB＝90°,∴△ADC∽△ACB,
∴,即AC2＝AB·AD.
(2)∵E为AB的中点,∴CE＝BE＝AE,∴∠EAC＝∠ECA.
∵∠DAC＝∠CAB,∴∠DAC＝∠ECA,即∠DAF＝∠ECF.
又∵∠AFD＝∠CFE,∴△AFD∽△CFE.
23.如图,正方形ABCD的边长为4,M,N分别是BC,CD上的两个动点.当点M在BC上运动时,保持AM和MN垂直,设BM＝x.
(1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN.
(2)当点M运动到什么位置时,Rt△ABM∽Rt△AMN 求x的值.
解:(1)在正方形ABCD中,∠B＝∠C＝90°.
∵AM⊥MN,∴∠AMN＝90°,
∴∠CMN+∠AMB＝90°.
在Rt△ABM中,∠BAM+∠AMB＝90°,
∴∠BAM＝∠CMN,∴Rt△ABM∽Rt△MCN.
(2)∵∠B＝∠AMN＝90°,
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN,必须有.
由(1)知,∴BM＝MC,
∴当点M运动到BC的中点时,Rt△ABM∽Rt△AMN,此时x＝2.
24.【2021·青海】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于点G.
(1)求证△BGD∽△DMA；
【思路点拨】欲证△BGD∽△DMA，已知一组直角相等，只需另一组角相等即可，可以利用“直径所对的圆角角是直角”证得；
证明：∵MN⊥AC，BG⊥MN，
∴∠BGD＝∠DMA＝90°.
∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°.
∴∠ADM＋∠CDM＝90°.
∵∠DBG＋∠BDG＝90°，∠CDM＝∠BDG，
∴∠DBG＝∠ADM.
∴△BGD∽△DMA.
(2)求证：直线MN是⊙O的切线．
【思路点拨】用“连半径，证垂直”的方法证明切线．
证明：如图，连接OD.
∵BO＝OA，BD＝DC，∴OD是△ABC的中位线．
∴OD∥AC.
又∵MN⊥AC，∴OD⊥MN.
∴直线MN是⊙O的切线．