27.2.2 相似三角形的性质同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 27.2.2 相似三角形的性质同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-30 16:46:00 | ||
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文档简介
27.2 相似三角形
27.2.2 相似三角形的性质
一、选择题
1.若△ABC∽△DEF,相似比为4∶3,则△ABC与△DEF对应的中线之比为( )
A.4∶3 B.3∶4 C.16∶9 D.9∶16
2.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长比为( )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶9
3.若△ABC与△DEF相似且周长比为4∶3,则△ABC与△DEF的面积比为( )
A.8∶3 B.16∶81 C.9∶16 D.16∶9
4.如图,在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF,则∠BAC的度数为( )
A.105° B.115° C.125° D.135°
第4题图 第5题图 第8题图
5.如图,△OAB∽△OCD,OA∶OC＝3∶2,∠A＝α,∠C＝β,△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2,△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2.下列等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
6.顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形面积的比是( )
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶ D.1∶2
7.顺次连接△ABC三边的中点得△A1B1C1,再次顺次连接△A1B1C1三边的中点得△A2B2C2,则△A2B2C2的面积与△ABC的面积的比是( )
A.1∶4 B.1∶6 C.1∶8 D.1∶16
8.【2020·淄博】如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是( )
A．a2＋b2＝5c2 B．a2＋b2＝4c2 C．a2＋b2＝3c2 D．a2＋b2＝2c2
9.【2020·海南】如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为( )
A．16 B．17 C．24 D．25
第9题图 第10题图 第12题图
10.如图,矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,顶点D,G分别在边AB,AC上,AH⊥BC,垂足为H,AH交DG于点P.已知BC＝6,AH＝4.当矩形DEFG的面积最大时,HP的长是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.【马鞍山期末】在等腰△ABC纸板中,AB＝AC＝5,BC＝2,P为AB上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板,恰有3种不同的剪法,那么BP的长可以为( )
A.3.6 B.2.6 C.1.6 D.0.6
12.【2021浙江温州一模】《几何原本》里有一个图形:在△ABC中,D,E是边AB上的两点(ADA.9 B.18 C.27 D.54
二、填空题
13.(1)相似三角形对应高的比等于________．(2)相似三角形对应的角平分线的比等于________．
(3)相似三角形对应边上的中线的比等于________．(4)相似三角形的面积之比等于_________
(5)相似三角形的周长之比等于________．
14.如图,△ABC∽△A'B'C',AH,A'H'分别为△ABC和△A'B'C'对应边上的高.若AB∶A'B'＝2∶3,则AH∶A'H'＝ .
15.如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5∶4,那么这两个三角形的周长之比为 .
第14题图 第16题图 第17题图
16.【2021·南通】如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上.设△ABC的周长为C1,△DEF的周长为C2,则的值等于 .
17.如图,在 ABCD中,点E为CD上一点,且DE=CE,连接BE并延长,交AD的延长线于点F,连接AE,则S△FED∶S△ABE= .
18.如图,小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1,算出了正△A1B1C1的面积,然后分别取△A1B1C1三边的中点A2,B2,C2,作出了第2个正△A2B2C2,算出了正△A2B2C2的面积.用同样的方法,作出了第3个正△A3B3C3,算出了正△A3B3C3的面积,……,则第n个正△AnBnCn的面积是 .
三、解答题
19.如图,在△ABC中,EF∥BC,且EF＝BC＝2 cm,△AEF的周长为10 cm,试求梯形BCFE的周长.
20.如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F,点E是AB的中点,连接EF.
(1)求证:EF∥BC.
(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.
21.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,点F在线段DE上,且△ADF∽△DEC,若DC＝4,AD＝3,AF＝2.
(1)求DE的长;
(2)求 ABCD的面积.
22.如图,在△ABC中,D为BC上一点,已知AD平分∠BAC,AD＝DC.
(1)求证:△ABC∽△DBA;
(2)已知S△ABD＝6,S△ADC＝10,求.
23.有一块三角形余料ABC,它的边BC=120 mm,高AD=80 mm.如图1,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)求加工成的正方形零件的边长.
(2)如果要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形组成,如图2,此时,这个矩形零件的两条边长分别为多少
(3)如果要加工的零件只是一个矩形,如图3,此时,这个矩形零件的两条边长不能确定,但这个矩形的面积有最大值,求面积达到最大值时矩形零件的两条边长.
24.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EH⊥DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.
(1)猜想DG与CF的数量关系,并证明你的结论.
(2)过点H作MN∥CD,分别交AD,BC于点M,N.若正方形ABCD的边长为10,P是MN上一点,求△PDC周长的最小值.
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参考答案
一、选择题
1.若△ABC∽△DEF,相似比为4∶3,则△ABC与△DEF对应的中线之比为( A )
A.4∶3 B.3∶4 C.16∶9 D.9∶16
2.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长比为( B )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶9
3.若△ABC与△DEF相似且周长比为4∶3,则△ABC与△DEF的面积比为( D )
A.8∶3 B.16∶81 C.9∶16 D.16∶9
4.如图,在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF,则∠BAC的度数为( D )
A.105° B.115° C.125° D.135°
第4题图 第5题图 第8题图
5.如图,△OAB∽△OCD,OA∶OC＝3∶2,∠A＝α,∠C＝β,△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2,△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2.下列等式一定成立的是( D )
A. B. C. D.
6.顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形面积的比是( A )
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶ D.1∶2
7.顺次连接△ABC三边的中点得△A1B1C1,再次顺次连接△A1B1C1三边的中点得△A2B2C2,则△A2B2C2的面积与△ABC的面积的比是( D )
A.1∶4 B.1∶6 C.1∶8 D.1∶16
8.【2020·淄博】如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是( A )
A．a2＋b2＝5c2 B．a2＋b2＝4c2 C．a2＋b2＝3c2 D．a2＋b2＝2c2
9.【2020·海南】如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为( A )
A．16 B．17 C．24 D．25
【点拨】在Rt△ABG中，AG＝＝＝6.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝15，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝10，∴CE＝BC－BE＝15－10＝5.又∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝12，则△ABE的周长为32.∵AB∥DF，∴△ABE∽△FCE.∴△ABE的周长∶△CEF的周长＝BE∶CE＝2∶1.∴△CEF的周长为16.
第9题图 第10题图 第12题图
10.如图,矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,顶点D,G分别在边AB,AC上,AH⊥BC,垂足为H,AH交DG于点P.已知BC＝6,AH＝4.当矩形DEFG的面积最大时,HP的长是( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.【马鞍山期末】在等腰△ABC纸板中,AB＝AC＝5,BC＝2,P为AB上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板,恰有3种不同的剪法,那么BP的长可以为( D )
A.3.6 B.2.6 C.1.6 D.0.6
12.【2021浙江温州一模】《几何原本》里有一个图形:在△ABC中,D,E是边AB上的两点(ADA.9 B.18 C.27 D.54
【解析】 见平行线想对应线段成比例,得三角形相似,从而构造相似三角形,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解.如图,连接FG,由AD=BE,DG∥AC,FE∥BC,得===,结合∠DHE=∠GHF,得△DHE∽△GHF,进而得=()2.由S2=18,S3=6,得=3.根据DG∥AC,FE∥BC,得四边形HFCG是平行四边形,进而得S△GHF=S3=3,因此,S△HDE=27,即S4=27.
二、填空题
13.(1)相似三角形对应高的比等于________．
(2)相似三角形对应的角平分线的比等于________．
(3)相似三角形对应边上的中线的比等于________．
(4)相似三角形的面积之比等于______________．
(5)相似三角形的周长之比等于________．
【答案】相似比 相似比 相似比 相似比的平方 相似比
14.如图,△ABC∽△A'B'C',AH,A'H'分别为△ABC和△A'B'C'对应边上的高.若AB∶A'B'＝2∶3,则AH∶A'H'＝ 2∶3 .
15.如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5∶4,那么这两个三角形的周长之比为 5∶4 .
第14题图 第16题图 第17题图
16.【2021·南通】如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上.设△ABC的周长为C1,△DEF的周长为C2,则的值等于 .
【答案】
【解析】因为==,==,==,所以===,所以△DEF∽△ABC,所以==.
17.如图,在 ABCD中,点E为CD上一点,且DE=CE,连接BE并延长,交AD的延长线于点F,连接AE,则S△FED∶S△ABE= .
【答案】1∶6
【解析】设S ABCD=a,则S△ABE=a,S△ADE+S△BCE=a.∵DE=CE,∴S△ADE∶S△BCE=1∶2,∴S△BCE=a=a.∵AD∥BC,∴△DFE∽△CBE,∴=()2=,∴S△FDE=a=a,∴S△FED∶S△ABE=a∶a=1∶6.
18.如图,小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1,算出了正△A1B1C1的面积,然后分别取△A1B1C1三边的中点A2,B2,C2,作出了第2个正△A2B2C2,算出了正△A2B2C2的面积.用同样的方法,作出了第3个正△A3B3C3,算出了正△A3B3C3的面积,……,则第n个正△AnBnCn的面积是 .
三、解答题
19.如图,在△ABC中,EF∥BC,且EF＝BC＝2 cm,△AEF的周长为10 cm,试求梯形BCFE的周长.
解:∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC.
又∵EF＝,
∴,
∴△ABC的周长＝15 cm,
∴梯形BCFE的周长＝△ABC的周长－△AEF的周长+2EF＝15－10+4＝9(cm).
20.如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F,点E是AB的中点,连接EF.
(1)求证:EF∥BC.
(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.
解(1)∵DC=AC,CF平分∠ACB,
∴CF是△ACD的中线,∴点F是AD的中点,
又点E是AB的中点,∴EF∥BD,即 EF∥BC.
(2)由(1)知EF∥BD, ∴△AEF∽△ABD,∴ =()2.
∵AE=AB, S△AEF=S△ABD-S四边形BDFE=S△ABD-6,
∴=()2 ,∴S△ABD=8,即△ABD的面积为8.
21.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,点F在线段DE上,且△ADF∽△DEC,若DC＝4,AD＝3,AF＝2.
(1)求DE的长;
(2)求 ABCD的面积.
解:(1)∵△ADF∽△DEC,∴,
∴,∴DE＝6.
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,∠EAD＝∠AEB＝90°,
∴在Rt△EAD中,AE2＝DE2－AD2＝62－＝9,
∴AE＝3,∴S ABCD＝BC·AE＝3.
22.如图,在△ABC中,D为BC上一点,已知AD平分∠BAC,AD＝DC.
(1)求证:△ABC∽△DBA;
(2)已知S△ABD＝6,S△ADC＝10,求.
解:(1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD＝∠CAD.
∵AD＝DC,∴∠C＝∠CAD,∴∠C＝∠BAD.
∵∠B＝∠B,∴△ABC∽△DBA.
(2)由(1)可知△ABC∽△DBA,∴.
∵S△ABD＝6,S△ADC＝10,∴,
∴.
∵AD＝DC,∴.
23.有一块三角形余料ABC,它的边BC=120 mm,高AD=80 mm.如图1,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)求加工成的正方形零件的边长.
(2)如果要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形组成,如图2,此时,这个矩形零件的两条边长分别为多少
(3)如果要加工的零件只是一个矩形,如图3,此时,这个矩形零件的两条边长不能确定,但这个矩形的面积有最大值,求面积达到最大值时矩形零件的两条边长.
解(1)设正方形零件的边长为x mm,则PN=PQ=ED=x mm,
∴AE=AD-ED=(80-x)mm.
∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC,
∴=,即=,解得x=48.
∴加工成的正方形零件的边长是48 mm.
(2)设PQ=y mm,则PN=2y mm,AE=(80-y)mm,
∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC,
∴=,即=,解得y=,∴2y=.
∴这个矩形零件的两条边长分别为 mm, mm.
(3)设PN=z mm,矩形PQMN的面积为S mm2
由题意可得△APN∽△ABC,
∴=,即=,解得PQ=80-z.
则S=PN·PQ=z(80-z)=-z2+80z=-(z-60)2+2 400,
故S的最大值为2 400,此时PN=60 mm,PQ=80-×60=40(mm).
∴此时矩形零件的两条边长分别为60 mm,40 mm.
24.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EH⊥DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.
(1)猜想DG与CF的数量关系,并证明你的结论.
(2)过点H作MN∥CD,分别交AD,BC于点M,N.若正方形ABCD的边长为10,P是MN上一点,求△PDC周长的最小值.
解:(1)CF＝2DG.
证明:易证∠CDF＝∠DEG.
又∵∠EDG＝∠DCF＝90°,
∴△DEG∽△CDF,
∴＝2,即CF＝2DG.
(2)作点C关于MN的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC的周长最短.
周长的最小值＝CD+PD+PC＝CD+PD+PK＝CD+DK.
由题意知CD＝AD＝10,DE＝AE＝5,DG＝,
∴EH＝2＝2.
在Rt△DMH中,DM＝CN＝NK＝＝1,
∴CK＝2CN＝2.
在Rt△DCK中,DK＝,
∴△PDC周长的最小值为10+2.
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27.2.2 相似三角形的性质
一、选择题
1.若△ABC∽△DEF,相似比为4∶3,则△ABC与△DEF对应的中线之比为( )
A.4∶3 B.3∶4 C.16∶9 D.9∶16
2.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长比为( )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶9
3.若△ABC与△DEF相似且周长比为4∶3,则△ABC与△DEF的面积比为( )
A.8∶3 B.16∶81 C.9∶16 D.16∶9
4.如图,在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF,则∠BAC的度数为( )
A.105° B.115° C.125° D.135°
第4题图 第5题图 第8题图
5.如图,△OAB∽△OCD,OA∶OC＝3∶2,∠A＝α,∠C＝β,△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2,△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2.下列等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
6.顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形面积的比是( )
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶ D.1∶2
7.顺次连接△ABC三边的中点得△A1B1C1,再次顺次连接△A1B1C1三边的中点得△A2B2C2,则△A2B2C2的面积与△ABC的面积的比是( )
A.1∶4 B.1∶6 C.1∶8 D.1∶16
8.【2020·淄博】如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是( )
A．a2＋b2＝5c2 B．a2＋b2＝4c2 C．a2＋b2＝3c2 D．a2＋b2＝2c2
9.【2020·海南】如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为( )
A．16 B．17 C．24 D．25
第9题图 第10题图 第12题图
10.如图,矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,顶点D,G分别在边AB,AC上,AH⊥BC,垂足为H,AH交DG于点P.已知BC＝6,AH＝4.当矩形DEFG的面积最大时,HP的长是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.【马鞍山期末】在等腰△ABC纸板中,AB＝AC＝5,BC＝2,P为AB上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板,恰有3种不同的剪法,那么BP的长可以为( )
A.3.6 B.2.6 C.1.6 D.0.6
12.【2021浙江温州一模】《几何原本》里有一个图形:在△ABC中,D,E是边AB上的两点(AD
二、填空题
13.(1)相似三角形对应高的比等于________．(2)相似三角形对应的角平分线的比等于________．
(3)相似三角形对应边上的中线的比等于________．(4)相似三角形的面积之比等于_________
(5)相似三角形的周长之比等于________．
14.如图,△ABC∽△A'B'C',AH,A'H'分别为△ABC和△A'B'C'对应边上的高.若AB∶A'B'＝2∶3,则AH∶A'H'＝ .
15.如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5∶4,那么这两个三角形的周长之比为 .
第14题图 第16题图 第17题图
16.【2021·南通】如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上.设△ABC的周长为C1,△DEF的周长为C2,则的值等于 .
17.如图,在 ABCD中,点E为CD上一点,且DE=CE,连接BE并延长,交AD的延长线于点F,连接AE,则S△FED∶S△ABE= .
18.如图,小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1,算出了正△A1B1C1的面积,然后分别取△A1B1C1三边的中点A2,B2,C2,作出了第2个正△A2B2C2,算出了正△A2B2C2的面积.用同样的方法,作出了第3个正△A3B3C3,算出了正△A3B3C3的面积,……,则第n个正△AnBnCn的面积是 .
三、解答题
19.如图,在△ABC中,EF∥BC,且EF＝BC＝2 cm,△AEF的周长为10 cm,试求梯形BCFE的周长.
20.如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F,点E是AB的中点,连接EF.
(1)求证:EF∥BC.
(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.
21.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,点F在线段DE上,且△ADF∽△DEC,若DC＝4,AD＝3,AF＝2.
(1)求DE的长;
(2)求 ABCD的面积.
22.如图,在△ABC中,D为BC上一点,已知AD平分∠BAC,AD＝DC.
(1)求证:△ABC∽△DBA;
(2)已知S△ABD＝6,S△ADC＝10,求.
23.有一块三角形余料ABC,它的边BC=120 mm,高AD=80 mm.如图1,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)求加工成的正方形零件的边长.
(2)如果要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形组成,如图2,此时,这个矩形零件的两条边长分别为多少
(3)如果要加工的零件只是一个矩形,如图3,此时,这个矩形零件的两条边长不能确定,但这个矩形的面积有最大值,求面积达到最大值时矩形零件的两条边长.
24.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EH⊥DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.
(1)猜想DG与CF的数量关系,并证明你的结论.
(2)过点H作MN∥CD,分别交AD,BC于点M,N.若正方形ABCD的边长为10,P是MN上一点,求△PDC周长的最小值.
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参考答案
一、选择题
1.若△ABC∽△DEF,相似比为4∶3,则△ABC与△DEF对应的中线之比为( A )
A.4∶3 B.3∶4 C.16∶9 D.9∶16
2.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长比为( B )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶9
3.若△ABC与△DEF相似且周长比为4∶3,则△ABC与△DEF的面积比为( D )
A.8∶3 B.16∶81 C.9∶16 D.16∶9
4.如图,在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF,则∠BAC的度数为( D )
A.105° B.115° C.125° D.135°
第4题图 第5题图 第8题图
5.如图,△OAB∽△OCD,OA∶OC＝3∶2,∠A＝α,∠C＝β,△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2,△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2.下列等式一定成立的是( D )
A. B. C. D.
6.顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形面积的比是( A )
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶ D.1∶2
7.顺次连接△ABC三边的中点得△A1B1C1,再次顺次连接△A1B1C1三边的中点得△A2B2C2,则△A2B2C2的面积与△ABC的面积的比是( D )
A.1∶4 B.1∶6 C.1∶8 D.1∶16
8.【2020·淄博】如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是( A )
A．a2＋b2＝5c2 B．a2＋b2＝4c2 C．a2＋b2＝3c2 D．a2＋b2＝2c2
9.【2020·海南】如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为( A )
A．16 B．17 C．24 D．25
【点拨】在Rt△ABG中，AG＝＝＝6.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝15，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝10，∴CE＝BC－BE＝15－10＝5.又∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝12，则△ABE的周长为32.∵AB∥DF，∴△ABE∽△FCE.∴△ABE的周长∶△CEF的周长＝BE∶CE＝2∶1.∴△CEF的周长为16.
第9题图 第10题图 第12题图
10.如图,矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,顶点D,G分别在边AB,AC上,AH⊥BC,垂足为H,AH交DG于点P.已知BC＝6,AH＝4.当矩形DEFG的面积最大时,HP的长是( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.【马鞍山期末】在等腰△ABC纸板中,AB＝AC＝5,BC＝2,P为AB上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板,恰有3种不同的剪法,那么BP的长可以为( D )
A.3.6 B.2.6 C.1.6 D.0.6
12.【2021浙江温州一模】《几何原本》里有一个图形:在△ABC中,D,E是边AB上的两点(AD
【解析】 见平行线想对应线段成比例,得三角形相似,从而构造相似三角形,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解.如图,连接FG,由AD=BE,DG∥AC,FE∥BC,得===,结合∠DHE=∠GHF,得△DHE∽△GHF,进而得=()2.由S2=18,S3=6,得=3.根据DG∥AC,FE∥BC,得四边形HFCG是平行四边形,进而得S△GHF=S3=3,因此,S△HDE=27,即S4=27.
二、填空题
13.(1)相似三角形对应高的比等于________．
(2)相似三角形对应的角平分线的比等于________．
(3)相似三角形对应边上的中线的比等于________．
(4)相似三角形的面积之比等于______________．
(5)相似三角形的周长之比等于________．
【答案】相似比 相似比 相似比 相似比的平方 相似比
14.如图,△ABC∽△A'B'C',AH,A'H'分别为△ABC和△A'B'C'对应边上的高.若AB∶A'B'＝2∶3,则AH∶A'H'＝ 2∶3 .
15.如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5∶4,那么这两个三角形的周长之比为 5∶4 .
第14题图 第16题图 第17题图
16.【2021·南通】如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上.设△ABC的周长为C1,△DEF的周长为C2,则的值等于 .
【答案】
【解析】因为==,==,==,所以===,所以△DEF∽△ABC,所以==.
17.如图,在 ABCD中,点E为CD上一点,且DE=CE,连接BE并延长,交AD的延长线于点F,连接AE,则S△FED∶S△ABE= .
【答案】1∶6
【解析】设S ABCD=a,则S△ABE=a,S△ADE+S△BCE=a.∵DE=CE,∴S△ADE∶S△BCE=1∶2,∴S△BCE=a=a.∵AD∥BC,∴△DFE∽△CBE,∴=()2=,∴S△FDE=a=a,∴S△FED∶S△ABE=a∶a=1∶6.
18.如图,小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1,算出了正△A1B1C1的面积,然后分别取△A1B1C1三边的中点A2,B2,C2,作出了第2个正△A2B2C2,算出了正△A2B2C2的面积.用同样的方法,作出了第3个正△A3B3C3,算出了正△A3B3C3的面积,……,则第n个正△AnBnCn的面积是 .
三、解答题
19.如图,在△ABC中,EF∥BC,且EF＝BC＝2 cm,△AEF的周长为10 cm,试求梯形BCFE的周长.
解:∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC.
又∵EF＝,
∴,
∴△ABC的周长＝15 cm,
∴梯形BCFE的周长＝△ABC的周长－△AEF的周长+2EF＝15－10+4＝9(cm).
20.如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F,点E是AB的中点,连接EF.
(1)求证:EF∥BC.
(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.
解(1)∵DC=AC,CF平分∠ACB,
∴CF是△ACD的中线,∴点F是AD的中点,
又点E是AB的中点,∴EF∥BD,即 EF∥BC.
(2)由(1)知EF∥BD, ∴△AEF∽△ABD,∴ =()2.
∵AE=AB, S△AEF=S△ABD-S四边形BDFE=S△ABD-6,
∴=()2 ,∴S△ABD=8,即△ABD的面积为8.
21.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,点F在线段DE上,且△ADF∽△DEC,若DC＝4,AD＝3,AF＝2.
(1)求DE的长;
(2)求 ABCD的面积.
解:(1)∵△ADF∽△DEC,∴,
∴,∴DE＝6.
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,∠EAD＝∠AEB＝90°,
∴在Rt△EAD中,AE2＝DE2－AD2＝62－＝9,
∴AE＝3,∴S ABCD＝BC·AE＝3.
22.如图,在△ABC中,D为BC上一点,已知AD平分∠BAC,AD＝DC.
(1)求证:△ABC∽△DBA;
(2)已知S△ABD＝6,S△ADC＝10,求.
解:(1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD＝∠CAD.
∵AD＝DC,∴∠C＝∠CAD,∴∠C＝∠BAD.
∵∠B＝∠B,∴△ABC∽△DBA.
(2)由(1)可知△ABC∽△DBA,∴.
∵S△ABD＝6,S△ADC＝10,∴,
∴.
∵AD＝DC,∴.
23.有一块三角形余料ABC,它的边BC=120 mm,高AD=80 mm.如图1,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)求加工成的正方形零件的边长.
(2)如果要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形组成,如图2,此时,这个矩形零件的两条边长分别为多少
(3)如果要加工的零件只是一个矩形,如图3,此时,这个矩形零件的两条边长不能确定,但这个矩形的面积有最大值,求面积达到最大值时矩形零件的两条边长.
解(1)设正方形零件的边长为x mm,则PN=PQ=ED=x mm,
∴AE=AD-ED=(80-x)mm.
∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC,
∴=,即=,解得x=48.
∴加工成的正方形零件的边长是48 mm.
(2)设PQ=y mm,则PN=2y mm,AE=(80-y)mm,
∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC,
∴=,即=,解得y=,∴2y=.
∴这个矩形零件的两条边长分别为 mm, mm.
(3)设PN=z mm,矩形PQMN的面积为S mm2
由题意可得△APN∽△ABC,
∴=,即=,解得PQ=80-z.
则S=PN·PQ=z(80-z)=-z2+80z=-(z-60)2+2 400,
故S的最大值为2 400,此时PN=60 mm,PQ=80-×60=40(mm).
∴此时矩形零件的两条边长分别为60 mm,40 mm.
24.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EH⊥DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.
(1)猜想DG与CF的数量关系,并证明你的结论.
(2)过点H作MN∥CD,分别交AD,BC于点M,N.若正方形ABCD的边长为10,P是MN上一点,求△PDC周长的最小值.
解:(1)CF＝2DG.
证明:易证∠CDF＝∠DEG.
又∵∠EDG＝∠DCF＝90°,
∴△DEG∽△CDF,
∴＝2,即CF＝2DG.
(2)作点C关于MN的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC的周长最短.
周长的最小值＝CD+PD+PC＝CD+PD+PK＝CD+DK.
由题意知CD＝AD＝10,DE＝AE＝5,DG＝,
∴EH＝2＝2.
在Rt△DMH中,DM＝CN＝NK＝＝1,
∴CK＝2CN＝2.
在Rt△DCK中,DK＝,
∴△PDC周长的最小值为10+2.
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