第27章 相似 章末复习（含答案）
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第27章 相似
章末复习
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相似
中考演练
一、选择题
1.【哈尔滨中考】如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
第1题图 第3题图 第4题图 第5题图
2.【大庆中考】已知两个直角三角形的三边长分别为3,4,m和6,8,n,且这两个直角三角形不相似,则m+n的值为( )
A.10+或5+2 B.15 C.10+ D.15+3
3.【海南中考】如图,在矩形ABCD中,AB＝6,BC＝10,点E,F在AD边上,BF和CE交于点G,若EF＝AD,则图中阴影部分的面积为( )
A.25 B.30 C.35 D.40
4.【海南中考】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4.点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为( )
A． B． C． D．
5.【2020·遵义】如图，△ABO的顶点A在函数y＝(x>0)的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M，N分别作x轴的平行线交AB于点P，Q，若四边形MNQP的面积为3，则k的值为( )
A．9 B．12 C．15 D．18
6.【贵港中考】如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且EF＝2AE＝2CF,连接DE并延长交AB于点M,连接DF并延长交BC于点N,连接MN,则＝( )
A. B. C.1 D.
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7.【2021·温州】由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G,连接CG,延长BE交CG于点H.若AE=2BE,则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
8.【镇江中考】如图,点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,△ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中点,若,则＝ .
9.【上海中考】《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示,在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从木杆的顶端D观察井水水岸C,视线DC与井口的直径AB交于点E,如果测得AB=1.6米,BD=1米,BE=0.2米,那么井深AC为 米.
10.【2021·吉林】如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1 m时，它离地面的高度DE为0.6 m，则坝高CF为________m.
第10题图 第11题图 第12题图 第13题图
11.【2021·菏泽】如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=5,BC=10,四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,且点E,F,G,N,M都在△ABC的边上,那么△AEM与四边形BCME的面积比为 .
12.【2021·山西】如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,且AD=3BD,连接CD并取CD的中点E,连接BE,若∠ACD=∠BED=45°,且CD=6,则AB的长为 .
13.【山西中考】如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB＝2,点E在AB的延长线上,且AE＝AC,EF⊥AC于点F,连接BF并延长交CD于点G,则DG＝ .
三、解答题
14.【2021·鄂州】如图,在 ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,且∠ABE=∠CDF.
(1)探究四边形BEDF的形状,并说明理由;
(2)连接AC,分别交BE,DF于点G,H,连接BD交AC于点O,若=,AE=4,求BC的长.
15.【2020·河南】将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB',记旋转角为α,连接BB',过点D作DE垂直于直线BB',垂足为点E,连接DB',CE.
(1)如图1,当α=60°时,△DEB'的形状为 ,连接BD,可求出的值为 ;
(2)当0°<α<360°且α≠90°时.
①(1)中的两个结论是否仍然成立 如果成立,请仅就图2的情形进行证明;如果不成立,请说明理由;
②当以点B',E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出的值.
16.【安徽中考】如图1,在四边形ABCD中,∠ABC＝∠BCD,点E在边BC上,且AE∥CD,DE∥AB,作CF∥AD交线段AE于点F,连接BF.
(1)求证:△ABF≌△EAD;
(2)如图2,若AB＝9,CD＝5,∠ECF＝∠AED,求BE的长;
(3)如图3,若BF的延长线经过AD的中点M,求的值.
图1 图2 图3
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达标练习
一、选择题
1.【2021吉林大学附中月考】如图,在△ABC中,∠A=75°,AB=6,AC=8,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是( )
A B C D
2.如图,已知△ABC和△DEF,点E在BC边上,点A在DE边上,边EF和边AC相交于点G.如果AE＝EC,∠AEG＝∠B,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△DEF与△ABC一定相似的是( )
A. B. C. D.
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图,在矩形ABCD中,AB＝6,BC＝3,E是对角线BD上一动点,过点E作MN⊥BD,交AB于点M,交CD于点N.当点E在BD上移动时,MN的长为( )
A.3 B. C. D.无法确定
4.如图,以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C',下列说法错误的是( )
A.△ABC∽△A'B'C' B.C,O,C'三点在同一直线上
C.AB∥A'B' D.AO∶AA'＝1∶2
5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别在对角线AC,BD上,且EF∥AD.若AE=2EC,AD=3,BC=6,则线段EF的长为 ( )
A.2 B. C.3 D.
6.【2021河北石家庄外国语学校月考】如图,AB=4,射线BM和AB互相垂直,点D是AB上的一个动点,点E在射线BM上,BE=DB,作EF⊥DE并截取EF=DE,连接AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y 与x的函数解析式是( )
A.y=- B.y=- C.y=- D.y=-
第6题图 第7题图 第8题图
7.如图,在△ABC中,E是边AC上一点,AE∶CE=1∶2,过点C作CD∥AB交BE的延长线于点D.若S△ABE=4,则S△BCD=( )
A.8 B.16 C.24 D.32
8.如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE,∠ABC=∠AED=90°,CD与BE,AE分别交于点P,M,连接AP.给出下列结论:①△CAM∽△DEM;②CD=BE;③MP·MD=MA·ME;④2CB2=CP·CM.其中正确的是( )
A.①② B.①②③ C.①②③④ D.①③④
二、填空题
9.已知两个相似三角形对应角平分线的比为4∶5,周长和为18 cm,则这两个三角形的周长分别为 .
10.一块矩形绸布的宽AB＝a m,长AD＝1 m,按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗,若裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,那么a的值应当是 .(用含n的式子表示)
第10题图 第11题图 第12题图
11.如图,在正方形ABCD中,E,F,G,H分别是DA,AB,BC,CD上靠近点A,B,C,D的四等分点,I,J,K,L分别是EF,FG,GH,HE上靠近点E,F,G,H的四等分点,则＝ .
12.如图,AD∥BC,∠ABC＝90°,AB＝8,AD＝3,BC＝4,P为AB边上的一个动点.若△PAD与△PBC是相似三角形,则AP的长为 .
三、解答题
13.“今有井径五尺,不知其深,立五尺于井上,从木末望水岸,入径四寸,问井深几何 ”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题,它的题意可以由图获得.求井深BD.
14.如图,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',求边x,y的长度和角α的大小.
15.如图,AB∥CD,AC与BD交于点E,且∠ACB＝90°,AB＝6,BC＝6,CE＝3.
(1)求CD的长;
(2)求证:△CDE∽△BDC.
16.如图,在△ABC中,AB＝AC,D是边BC上一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,△AEF∽△ABC.
(1)求证:△AED≌△AFD;
(2)若BC＝2AD,求证:四边形AEDF是正方形.
17.某天,小芳走到如图所示的C处时,看到正对面一条东西走向的笔直公路上有一辆汽车从东面驶来,到达Q处时,恰好被公路北侧边上竖着的一个长12 m的广告牌AB挡住,3 s后在P处又重新看到该汽车的全部车身,已知该汽车的行驶速度是21.6 km/h,假设AB∥PQ,公路宽为10 m,求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离.
18.如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且点B的坐标为(3,1),点B'的坐标为(6,2).
(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题:
①若点A的坐标为,则点A'的坐标为 ;
②△ABC与△A'B'C'的相似比为 .
(2)若△ABC的面积为m,求△A'B'C'的面积.(用含m的代数式表示)
19.如图,在平面直角坐标系中,△ABC为格点三角形(顶点是网格线的交点),已知点A的坐标为(4,4).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)在给定的网格中,以点O为位似中心,将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍,得到△A2B2C2,画出△A2B2C2;
(3)在(2)的条件下,点A2的坐标为 .
参考答案
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相似
中考演练
一、选择题
1.【哈尔滨中考】如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( D )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
第1题图 第3题图 第4题图 第5题图
2.【大庆中考】已知两个直角三角形的三边长分别为3,4,m和6,8,n,且这两个直角三角形不相似,则m+n的值为( A )
A.10+或5+2 B.15 C.10+ D.15+3
3.【海南中考】如图,在矩形ABCD中,AB＝6,BC＝10,点E,F在AD边上,BF和CE交于点G,若EF＝AD,则图中阴影部分的面积为( C )
A.25 B.30 C.35 D.40
4.【海南中考】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4.点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为( B )
A． B． C． D．
5.【2020·遵义】如图，△ABO的顶点A在函数y＝(x>0)的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M，N分别作x轴的平行线交AB于点P，Q，若四边形MNQP的面积为3，则k的值为( D )
A．9 B．12 C．15 D．18
6.【贵港中考】如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且EF＝2AE＝2CF,连接DE并延长交AB于点M,连接DF并延长交BC于点N,连接MN,则＝( A )
A. B. C.1 D.
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7.【2021·温州】由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G,连接CG,延长BE交CG于点H.若AE=2BE,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图,设BH,CF交于点M,FD,CG交于点N,连接CE.设BE=x,易知EM=MF=DF=DG=x,CF=BM=AE=2x,GF=EF=CE=x,∠GEC=90°,∴CG=
=x.易知FC∥GD,∴△CFN∽△GDN,∴=,即=,
∴FN=DF=x.易知BH∥FD,FM=MC,∴MH=FN=x,∴BH=2x+x=x,∴==.
二、填空题
8.【镇江中考】如图,点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,△ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中点,若,则＝ .
9.【上海中考】《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示,在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从木杆的顶端D观察井水水岸C,视线DC与井口的直径AB交于点E,如果测得AB=1.6米,BD=1米,BE=0.2米,那么井深AC为 米.
【答案】4.7
【解析】∵BD⊥AB,AC⊥AB,∴BD∥AC,∴△ACE∽△BDE,∴=,∴=,∴AC=7 米.
10.【2021·吉林】如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1 m时，它离地面的高度DE为0.6 m，则坝高CF为________m.
【点拨】由题意得DE∥CF，
∴＝，即＝，
解得CF＝2.7 m.
故答案为2.7.
第10题图 第11题图 第12题图 第13题图
11.【2021·菏泽】如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=5,BC=10,四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,且点E,F,G,N,M都在△ABC的边上,那么△AEM与四边形BCME的面积比为 .
【答案】1∶3
【解析】∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,∴EF=EH=HM,EM∥BC,∴△AEM∽△ABC,
∴=,∴=,∴EF=,∴EM=5.∵△AEM∽△ABC,∴=()2=,∴==.
12.【2021·山西】如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,且AD=3BD,连接CD并取CD的中点E,连接BE,若∠ACD=∠BED=45°,且CD=6,则AB的长为 .
【答案】4
【解析】如图,过点D分别作BE,AC的垂线,垂足分别为点M,N.由∠ACD=∠BED=45°,易得DN=CD=×6=6,DM=DE=×3=3.
∵∠NDC=90°-45°=45°=∠BED,∴DN∥BE,∴∠DBM=∠ADN.又∠DMB=∠AND=90°,
∴△DBM∽△ADN,∴==,∴BM=DN=2,∴BD===,
∴AB=AD+BD=4BD=4.
13.【山西中考】如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB＝2,点E在AB的延长线上,且AE＝AC,EF⊥AC于点F,连接BF并延长交CD于点G,则DG＝ 4－2 .
三、解答题
14.【2021·鄂州】如图,在 ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,且∠ABE=∠CDF.
(1)探究四边形BEDF的形状,并说明理由;
(2)连接AC,分别交BE,DF于点G,H,连接BD交AC于点O,若=,AE=4,求BC的长.
解(1)四边形BEDF为平行四边形.理由如下:
∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∠ABC=∠ADC.
∵∠ABE=∠CDF,∴∠EBF=∠EDF.
∵AD∥BC,∴∠EDF=∠DFC,
∴∠DFC=∠EBF,∴BE∥DF,
∴四边形BEDF为平行四边形.
(2)设AG=2a,∵=,∴OG=3a,AO=5a.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=CO=5a,AC=10a,CG=8a.
∵AD∥BC,∴△AGE∽△CGB,∴==,
∵AE=4,∴BC=16.
15.【2020·河南】将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB',记旋转角为α,连接BB',过点D作DE垂直于直线BB',垂足为点E,连接DB',CE.
(1)如图1,当α=60°时,△DEB'的形状为 ,连接BD,可求出的值为 ;
(2)当0°<α<360°且α≠90°时.
①(1)中的两个结论是否仍然成立 如果成立,请仅就图2的情形进行证明;如果不成立,请说明理由;
②当以点B',E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出的值.
【分析】 (1)先根据旋转的性质、正方形的性质和等腰三角形的性质,得到∠AB'B,∠AB'D的度数,再求得∠DB'E的度数,即可判定△DEB'的形状.证明△B'DB∽△EDC,即可求得的值.
(2)①同(1),先求∠AB'B,∠AB'D的度数,再求得∠DB'E的度数,即可判定△DEB'的形状.证明△B'DB∽△EDC,即可求得的值.②分点B'在正方形ABCD内部、点B'在正方形ABCD外部两种情况进行求解.
【解析】 (1)等腰直角三角形
连接BD,由旋转和正方形的性质,得AB'=AB=AD,又∠BAB'=60°,∴△ABB'是等边三角形,∴∠AB'B=60°.∵∠DAB'=30°,AB'=AD,∴∠AB'D==75°,∴∠DB'E=180°-75°-60°=45°.又DE⊥B'E,∴△DEB'是等腰直角三角形.易知==,∠BDB'=∠CDE,∴△B'DB∽△EDC,∴==.
(2)①两个结论仍成立.
证明:连接BD.
∵AB=AB',∠BAB'=α,∴∠AB'B=90°-.
∵∠B'AD=α-90°,AD=AB',∴∠AB'D=135°-,
∴∠EB'D=∠AB'D-∠AB'B=45°.
又DE⊥BB',∴∠EDB'=45°,
∴△DEB'是等腰直角三角形,∴=.
∵四边形ABCD为正方形,
∴=,∠BDC=45°,∴=.
∵∠EDB'=∠BDC,
∴∠EDB'+∠EDB=∠BDC+∠EDB,即∠B'DB=∠EDC,
∴△B'DB∽△EDC,∴==.
②3或1.
如图1,当点B'在正方形ABCD内部时,
∵四边形B'CED为平行四边形,∴DB'=CE.
∵△DB'E是等腰直角三角形,∴设DE=B'E=a,
∴CE=DB'=a.
∵=,∴BB'=CE=2a,
∴BE=BB'+B'E=3a,∴==3.
如图2,当点B'在正方形ABCD外部时,点E与点A重合,
此时B'E=B'A=BA=BE,∴=1.
综上所述,的值为3或1.
16.【安徽中考】如图1,在四边形ABCD中,∠ABC＝∠BCD,点E在边BC上,且AE∥CD,DE∥AB,作CF∥AD交线段AE于点F,连接BF.
(1)求证:△ABF≌△EAD;
(2)如图2,若AB＝9,CD＝5,∠ECF＝∠AED,求BE的长;
(3)如图3,若BF的延长线经过AD的中点M,求的值.
图1 图2 图3
解:(1)因为AE∥CD,AD∥CF,
所以四边形AFCD是平行四边形,从而AF＝CD,
而AE∥CD,DE∥AB,∠ABC＝∠BCD,
所以∠ABC＝∠DEC＝∠AEB＝∠BCD,
从而AB＝EA,DE＝AF,∠BAF＝∠AED,
所以△ABF≌△EAD.
(2)由(1)知BF＝AD,FC＝AD,所以FC＝FB,
从而∠FBE＝∠ECF＝∠AED＝∠BAE,
又∠AEB＝∠BEF,所以△ABE∽△BFE,
从而BE2＝AE·EF,而AE＝AB＝9,EF＝AE－AF＝AE－CD＝4,故BE＝6.
(3)易证△ABE∽△DEC,所以.
方法1:如图1,作MN∥DE,交AE于点N,则AN＝DE,
且. ①
设AF＝a,EF＝b,则AE＝AB＝a+b,AN＝.
①式可化为,
整理得b2＝2a2,即b＝a,
于是+1.
方法2:如图2,延长BM,交ED的延长线于点N,
则AB＝DN,且, ②
不妨设AB＝a,CD＝1,
②式可化为,整理得a2－2a－1＝0,
解得a＝+1.
达标练习
一、选择题
1.【2021吉林大学附中月考】如图,在△ABC中,∠A=75°,AB=6,AC=8,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是( )
A B C D
【答案】D
【解析】 A项,阴影三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故A项不符合题意;B项,阴影三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故B项不符合题意;C项,两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故C项不符合题意;D项,两三角形的两边成比例,但是夹角不一定相等,故两三角形不一定相似,故D项符合题意.
2.如图,已知△ABC和△DEF,点E在BC边上,点A在DE边上,边EF和边AC相交于点G.如果AE＝EC,∠AEG＝∠B,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△DEF与△ABC一定相似的是( C )
A. B. C. D.
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图,在矩形ABCD中,AB＝6,BC＝3,E是对角线BD上一动点,过点E作MN⊥BD,交AB于点M,交CD于点N.当点E在BD上移动时,MN的长为( C )
A.3 B. C. D.无法确定
4.如图,以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C',下列说法错误的是( D )
A.△ABC∽△A'B'C' B.C,O,C'三点在同一直线上
C.AB∥A'B' D.AO∶AA'＝1∶2
5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别在对角线AC,BD上,且EF∥AD.若AE=2EC,AD=3,BC=6,则线段EF的长为 ( )
A.2 B. C.3 D.
【答案】C
【解析】 解法一 如图,延长EF交AB于点G.易证△AGE∽△ABC,△BGF∽△BAD,∴===,==,∴GE=BC=4,GF=AD=1,∴EF=GE-GF=4-1=3.
解法二 设AC与BD相交于点H.由AD∥BC,AD∥EF,可得△AHD∽△EHF∽△CHB,∴===,∴AH=AC.∵AE=2EC,∴EC=AC=AH,
∴HE=AC,∴AH=HE,∴△AHD≌△EHF,∴EF=AD=3.
6.【2021河北石家庄外国语学校月考】如图,AB=4,射线BM和AB互相垂直,点D是AB上的一个动点,点E在射线BM上,BE=DB,作EF⊥DE并截取EF=DE,连接AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y 与x的函数解析式是( )
A.y=- B.y=- C.y=- D.y=-
【答案】A
【解析】 如图,过点F作FG⊥BC于点G,∴∠FGE=90°.∵∠DEB+∠GEF=90°,
∠DEB+∠BDE=90°,∴∠BDE=∠GEF.又∠B=∠FGE=90°,DE=EF,∴△DBE≌△EGF,
∴DB=EG,BE=FG=x.∵BE=DB,∴EG=DB=2BE=2x,∴GC=y-3x.∵FG⊥BC,
AB⊥BC,∴FG∥AB,∴△FCG∽△ACB,∴=,即=,∴y=-.
第6题图 第7题图 第8题图
7.如图,在△ABC中,E是边AC上一点,AE∶CE=1∶2,过点C作CD∥AB交BE的延长线于点D.若S△ABE=4,则S△BCD=( )
A.8 B.16 C.24 D.32
【答案】C
【解析】 ∵CD∥AB,∴△ABE∽△CDE.∵AE∶CE=1∶2,∴S△ABE∶S△CDE=1∶4.∵S△ABE=4,
∴S△CDE=16.∵AE∶CE=1∶2,∴CE=2AE,∴S△BCE=2S△ABE=8,∴S△BCD=S△CDE+S△BCE=16+8=24.
8.如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE,∠ABC=∠AED=90°,CD与BE,AE分别交于点P,M,连接AP.给出下列结论:①△CAM∽△DEM;②CD=BE;③MP·MD=MA·ME;④2CB2=CP·CM.其中正确的是( )
A.①② B.①②③ C.①②③④ D.①③④
【答案】C
【解析】 ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠ADE=45°,∴AC∥DE,∴△CAM∽△DEM,故①正确.∵AC=AB,AD=AE,∴=.∵∠BAC=∠EAD=45°,∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE,即∠BAE=∠CAD,
∴△BAE∽△CAD,∴==,∴CD=BE,故②正确.∵△BAE∽△CAD,∴∠BEA=∠CDA,又∠PME=∠AMD,
∴△PME∽△AMD,∴=,∴MP·MD=MA·ME,故③正确.∵MP·MD=MA·ME,∠PMA=∠DME,∴△PMA∽△EMD,
∴∠APD=∠AED=90°.∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°,∴△CAP∽△CMA,∴=,∴AC2=CP·CM.∵AC=CB,
∴2CB2=CP·CM,故④正确.综上,正确的结论是①②③④.
二、填空题
9.已知两个相似三角形对应角平分线的比为4∶5,周长和为18 cm,则这两个三角形的周长分别为 .
【答案】8 cm,10 cm
【解析】 设其中一个三角形的周长为x cm,则另一个三角形的周长为(18-x)cm.∵两个相似三角形对应角平分线的比为4∶5,∴这两个相似三角形的相似比为4∶5,∴这两个相似三角形的周长比为4∶5,∴=,∴x=8,∴18-x=10,故这两个三角形的周长分别为8 cm,10 cm.
10.一块矩形绸布的宽AB＝a m,长AD＝1 m,按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗,若裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,那么a的值应当是 .(用含n的式子表示)
第10题图 第11题图 第12题图
11.如图,在正方形ABCD中,E,F,G,H分别是DA,AB,BC,CD上靠近点A,B,C,D的四等分点,I,J,K,L分别是EF,FG,GH,HE上靠近点E,F,G,H的四等分点,则＝ .
12.如图,AD∥BC,∠ABC＝90°,AB＝8,AD＝3,BC＝4,P为AB边上的一个动点.若△PAD与△PBC是相似三角形,则AP的长为 或2或6 .
三、解答题
13.“今有井径五尺,不知其深,立五尺于井上,从木末望水岸,入径四寸,问井深几何 ”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题,它的题意可以由图获得.求井深BD.
解:依题意可得△ABF∽△ADE,
∴AB∶AD＝BF∶DE,即5∶AD＝0.4∶5,解得AD＝62.5尺,
∴BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5(尺).
14.如图,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',求边x,y的长度和角α的大小.
解:∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',
∴,∠C＝α,∠D＝∠D'＝140°.
∴x＝12,y＝,α＝∠C＝360°－∠A－∠B－∠D＝360°－62°－75°－140°＝83°.
15.如图,AB∥CD,AC与BD交于点E,且∠ACB＝90°,AB＝6,BC＝6,CE＝3.
(1)求CD的长;
(2)求证:△CDE∽△BDC.
解:(1)在Rt△ABC中,∵∠ACB＝90°,AB＝6,BC＝6,
∴AC＝＝12,∴AE＝AC－CE＝9.
∵AB∥CD,∴△CDE∽△ABE,
∴.
(2)在Rt△BCE中,∵∠ECB＝90°,CE＝3,BC＝6,
∴BE＝.
∴由(1)知△CDE∽△ABE,∴,
∴DE＝.
∵.
∵∠D＝∠D,∴△CDE∽△BDC.
16.如图,在△ABC中,AB＝AC,D是边BC上一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,△AEF∽△ABC.
(1)求证:△AED≌△AFD;
(2)若BC＝2AD,求证:四边形AEDF是正方形.
证明:(1)∵△AEF∽△ABC,∴.
∵AB＝AC,∴AE＝AF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED＝∠AFD＝90°.
在Rt△AED和Rt△AFD中,AE＝AF,AD＝AD,
∴△AED≌△AFD.
(2)由(1)知△AED≌△AFD,∴∠EAD＝∠FAD.
∵AB＝AC,∴D为BC的中点,即AD⊥BC,BC＝2BD.
∵BC＝2AD,∴BD＝AD.
∵AD⊥BC,∴∠ADB＝90°,
∴∠B＝∠BAD＝45°,∴∠BAC＝2∠BAD＝90°.
∵∠AED＝∠AFD＝90°,∴四边形AEDF是矩形.
又∵AE＝AF,∴矩形AEDF是正方形.
17.某天,小芳走到如图所示的C处时,看到正对面一条东西走向的笔直公路上有一辆汽车从东面驶来,到达Q处时,恰好被公路北侧边上竖着的一个长12 m的广告牌AB挡住,3 s后在P处又重新看到该汽车的全部车身,已知该汽车的行驶速度是21.6 km/h,假设AB∥PQ,公路宽为10 m,求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离.
解:设小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为x m.
21.6 km/h＝6 m/s.
∵AB∥PQ,∴△CAB∽△CPQ,
∴,
∴x＝30,
∴小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为30 m.
18.如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且点B的坐标为(3,1),点B'的坐标为(6,2).
(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题:
①若点A的坐标为,则点A'的坐标为 (5,6) ;
②△ABC与△A'B'C'的相似比为 1∶2 .
(2)若△ABC的面积为m,求△A'B'C'的面积.(用含m的代数式表示)
解:(2)∵△ABC与△A'B'C'的相似比为1∶2,
∴.
又∵△ABC的面积为m,∴△A'B'C'的面积为4m.
19.如图,在平面直角坐标系中,△ABC为格点三角形(顶点是网格线的交点),已知点A的坐标为(4,4).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)在给定的网格中,以点O为位似中心,将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍,得到△A2B2C2,画出△A2B2C2;
(3)在(2)的条件下,点A2的坐标为 (8,－8) .
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求.
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章末复习
知识网络
相似
中考演练
一、选择题
1.【哈尔滨中考】如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
第1题图 第3题图 第4题图 第5题图
2.【大庆中考】已知两个直角三角形的三边长分别为3,4,m和6,8,n,且这两个直角三角形不相似,则m+n的值为( )
A.10+或5+2 B.15 C.10+ D.15+3
3.【海南中考】如图,在矩形ABCD中,AB＝6,BC＝10,点E,F在AD边上,BF和CE交于点G,若EF＝AD,则图中阴影部分的面积为( )
A.25 B.30 C.35 D.40
4.【海南中考】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4.点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为( )
A． B． C． D．
5.【2020·遵义】如图，△ABO的顶点A在函数y＝(x>0)的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M，N分别作x轴的平行线交AB于点P，Q，若四边形MNQP的面积为3，则k的值为( )
A．9 B．12 C．15 D．18
6.【贵港中考】如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且EF＝2AE＝2CF,连接DE并延长交AB于点M,连接DF并延长交BC于点N,连接MN,则＝( )
A. B. C.1 D.
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7.【2021·温州】由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G,连接CG,延长BE交CG于点H.若AE=2BE,则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
8.【镇江中考】如图,点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,△ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中点,若,则＝ .
9.【上海中考】《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示,在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从木杆的顶端D观察井水水岸C,视线DC与井口的直径AB交于点E,如果测得AB=1.6米,BD=1米,BE=0.2米,那么井深AC为 米.
10.【2021·吉林】如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1 m时，它离地面的高度DE为0.6 m，则坝高CF为________m.
第10题图 第11题图 第12题图 第13题图
11.【2021·菏泽】如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=5,BC=10,四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,且点E,F,G,N,M都在△ABC的边上,那么△AEM与四边形BCME的面积比为 .
12.【2021·山西】如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,且AD=3BD,连接CD并取CD的中点E,连接BE,若∠ACD=∠BED=45°,且CD=6,则AB的长为 .
13.【山西中考】如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB＝2,点E在AB的延长线上,且AE＝AC,EF⊥AC于点F,连接BF并延长交CD于点G,则DG＝ .
三、解答题
14.【2021·鄂州】如图,在 ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,且∠ABE=∠CDF.
(1)探究四边形BEDF的形状,并说明理由;
(2)连接AC,分别交BE,DF于点G,H,连接BD交AC于点O,若=,AE=4,求BC的长.
15.【2020·河南】将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB',记旋转角为α,连接BB',过点D作DE垂直于直线BB',垂足为点E,连接DB',CE.
(1)如图1,当α=60°时,△DEB'的形状为 ,连接BD,可求出的值为 ;
(2)当0°<α<360°且α≠90°时.
①(1)中的两个结论是否仍然成立 如果成立,请仅就图2的情形进行证明;如果不成立,请说明理由;
②当以点B',E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出的值.
16.【安徽中考】如图1,在四边形ABCD中,∠ABC＝∠BCD,点E在边BC上,且AE∥CD,DE∥AB,作CF∥AD交线段AE于点F,连接BF.
(1)求证:△ABF≌△EAD;
(2)如图2,若AB＝9,CD＝5,∠ECF＝∠AED,求BE的长;
(3)如图3,若BF的延长线经过AD的中点M,求的值.
图1 图2 图3
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达标练习
一、选择题
1.【2021吉林大学附中月考】如图,在△ABC中,∠A=75°,AB=6,AC=8,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是( )
A B C D
2.如图,已知△ABC和△DEF,点E在BC边上,点A在DE边上,边EF和边AC相交于点G.如果AE＝EC,∠AEG＝∠B,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△DEF与△ABC一定相似的是( )
A. B. C. D.
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图,在矩形ABCD中,AB＝6,BC＝3,E是对角线BD上一动点,过点E作MN⊥BD,交AB于点M,交CD于点N.当点E在BD上移动时,MN的长为( )
A.3 B. C. D.无法确定
4.如图,以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C',下列说法错误的是( )
A.△ABC∽△A'B'C' B.C,O,C'三点在同一直线上
C.AB∥A'B' D.AO∶AA'＝1∶2
5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别在对角线AC,BD上,且EF∥AD.若AE=2EC,AD=3,BC=6,则线段EF的长为 ( )
A.2 B. C.3 D.
6.【2021河北石家庄外国语学校月考】如图,AB=4,射线BM和AB互相垂直,点D是AB上的一个动点,点E在射线BM上,BE=DB,作EF⊥DE并截取EF=DE,连接AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y 与x的函数解析式是( )
A.y=- B.y=- C.y=- D.y=-
第6题图 第7题图 第8题图
7.如图,在△ABC中,E是边AC上一点,AE∶CE=1∶2,过点C作CD∥AB交BE的延长线于点D.若S△ABE=4,则S△BCD=( )
A.8 B.16 C.24 D.32
8.如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE,∠ABC=∠AED=90°,CD与BE,AE分别交于点P,M,连接AP.给出下列结论:①△CAM∽△DEM;②CD=BE;③MP·MD=MA·ME;④2CB2=CP·CM.其中正确的是( )
A.①② B.①②③ C.①②③④ D.①③④
二、填空题
9.已知两个相似三角形对应角平分线的比为4∶5,周长和为18 cm,则这两个三角形的周长分别为 .
10.一块矩形绸布的宽AB＝a m,长AD＝1 m,按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗,若裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,那么a的值应当是 .(用含n的式子表示)
第10题图 第11题图 第12题图
11.如图,在正方形ABCD中,E,F,G,H分别是DA,AB,BC,CD上靠近点A,B,C,D的四等分点,I,J,K,L分别是EF,FG,GH,HE上靠近点E,F,G,H的四等分点,则＝ .
12.如图,AD∥BC,∠ABC＝90°,AB＝8,AD＝3,BC＝4,P为AB边上的一个动点.若△PAD与△PBC是相似三角形,则AP的长为 .
三、解答题
13.“今有井径五尺,不知其深,立五尺于井上,从木末望水岸,入径四寸,问井深几何 ”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题,它的题意可以由图获得.求井深BD.
14.如图,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',求边x,y的长度和角α的大小.
15.如图,AB∥CD,AC与BD交于点E,且∠ACB＝90°,AB＝6,BC＝6,CE＝3.
(1)求CD的长;
(2)求证:△CDE∽△BDC.
16.如图,在△ABC中,AB＝AC,D是边BC上一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,△AEF∽△ABC.
(1)求证:△AED≌△AFD;
(2)若BC＝2AD,求证:四边形AEDF是正方形.
17.某天,小芳走到如图所示的C处时,看到正对面一条东西走向的笔直公路上有一辆汽车从东面驶来,到达Q处时,恰好被公路北侧边上竖着的一个长12 m的广告牌AB挡住,3 s后在P处又重新看到该汽车的全部车身,已知该汽车的行驶速度是21.6 km/h,假设AB∥PQ,公路宽为10 m,求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离.
18.如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且点B的坐标为(3,1),点B'的坐标为(6,2).
(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题:
①若点A的坐标为,则点A'的坐标为 ;
②△ABC与△A'B'C'的相似比为 .
(2)若△ABC的面积为m,求△A'B'C'的面积.(用含m的代数式表示)
19.如图,在平面直角坐标系中,△ABC为格点三角形(顶点是网格线的交点),已知点A的坐标为(4,4).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)在给定的网格中,以点O为位似中心,将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍,得到△A2B2C2,画出△A2B2C2;
(3)在(2)的条件下,点A2的坐标为 .
参考答案
知识网络
相似
中考演练
一、选择题
1.【哈尔滨中考】如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( D )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
第1题图 第3题图 第4题图 第5题图
2.【大庆中考】已知两个直角三角形的三边长分别为3,4,m和6,8,n,且这两个直角三角形不相似,则m+n的值为( A )
A.10+或5+2 B.15 C.10+ D.15+3
3.【海南中考】如图,在矩形ABCD中,AB＝6,BC＝10,点E,F在AD边上,BF和CE交于点G,若EF＝AD,则图中阴影部分的面积为( C )
A.25 B.30 C.35 D.40
4.【海南中考】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4.点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为( B )
A． B． C． D．
5.【2020·遵义】如图，△ABO的顶点A在函数y＝(x>0)的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M，N分别作x轴的平行线交AB于点P，Q，若四边形MNQP的面积为3，则k的值为( D )
A．9 B．12 C．15 D．18
6.【贵港中考】如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且EF＝2AE＝2CF,连接DE并延长交AB于点M,连接DF并延长交BC于点N,连接MN,则＝( A )
A. B. C.1 D.
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7.【2021·温州】由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G,连接CG,延长BE交CG于点H.若AE=2BE,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图,设BH,CF交于点M,FD,CG交于点N,连接CE.设BE=x,易知EM=MF=DF=DG=x,CF=BM=AE=2x,GF=EF=CE=x,∠GEC=90°,∴CG=
=x.易知FC∥GD,∴△CFN∽△GDN,∴=,即=,
∴FN=DF=x.易知BH∥FD,FM=MC,∴MH=FN=x,∴BH=2x+x=x,∴==.
二、填空题
8.【镇江中考】如图,点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,△ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中点,若,则＝ .
9.【上海中考】《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示,在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从木杆的顶端D观察井水水岸C,视线DC与井口的直径AB交于点E,如果测得AB=1.6米,BD=1米,BE=0.2米,那么井深AC为 米.
【答案】4.7
【解析】∵BD⊥AB,AC⊥AB,∴BD∥AC,∴△ACE∽△BDE,∴=,∴=,∴AC=7 米.
10.【2021·吉林】如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1 m时，它离地面的高度DE为0.6 m，则坝高CF为________m.
【点拨】由题意得DE∥CF，
∴＝，即＝，
解得CF＝2.7 m.
故答案为2.7.
第10题图 第11题图 第12题图 第13题图
11.【2021·菏泽】如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=5,BC=10,四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,且点E,F,G,N,M都在△ABC的边上,那么△AEM与四边形BCME的面积比为 .
【答案】1∶3
【解析】∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,∴EF=EH=HM,EM∥BC,∴△AEM∽△ABC,
∴=,∴=,∴EF=,∴EM=5.∵△AEM∽△ABC,∴=()2=,∴==.
12.【2021·山西】如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,且AD=3BD,连接CD并取CD的中点E,连接BE,若∠ACD=∠BED=45°,且CD=6,则AB的长为 .
【答案】4
【解析】如图,过点D分别作BE,AC的垂线,垂足分别为点M,N.由∠ACD=∠BED=45°,易得DN=CD=×6=6,DM=DE=×3=3.
∵∠NDC=90°-45°=45°=∠BED,∴DN∥BE,∴∠DBM=∠ADN.又∠DMB=∠AND=90°,
∴△DBM∽△ADN,∴==,∴BM=DN=2,∴BD===,
∴AB=AD+BD=4BD=4.
13.【山西中考】如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB＝2,点E在AB的延长线上,且AE＝AC,EF⊥AC于点F,连接BF并延长交CD于点G,则DG＝ 4－2 .
三、解答题
14.【2021·鄂州】如图,在 ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,且∠ABE=∠CDF.
(1)探究四边形BEDF的形状,并说明理由;
(2)连接AC,分别交BE,DF于点G,H,连接BD交AC于点O,若=,AE=4,求BC的长.
解(1)四边形BEDF为平行四边形.理由如下:
∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∠ABC=∠ADC.
∵∠ABE=∠CDF,∴∠EBF=∠EDF.
∵AD∥BC,∴∠EDF=∠DFC,
∴∠DFC=∠EBF,∴BE∥DF,
∴四边形BEDF为平行四边形.
(2)设AG=2a,∵=,∴OG=3a,AO=5a.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=CO=5a,AC=10a,CG=8a.
∵AD∥BC,∴△AGE∽△CGB,∴==,
∵AE=4,∴BC=16.
15.【2020·河南】将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB',记旋转角为α,连接BB',过点D作DE垂直于直线BB',垂足为点E,连接DB',CE.
(1)如图1,当α=60°时,△DEB'的形状为 ,连接BD,可求出的值为 ;
(2)当0°<α<360°且α≠90°时.
①(1)中的两个结论是否仍然成立 如果成立,请仅就图2的情形进行证明;如果不成立,请说明理由;
②当以点B',E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出的值.
【分析】 (1)先根据旋转的性质、正方形的性质和等腰三角形的性质,得到∠AB'B,∠AB'D的度数,再求得∠DB'E的度数,即可判定△DEB'的形状.证明△B'DB∽△EDC,即可求得的值.
(2)①同(1),先求∠AB'B,∠AB'D的度数,再求得∠DB'E的度数,即可判定△DEB'的形状.证明△B'DB∽△EDC,即可求得的值.②分点B'在正方形ABCD内部、点B'在正方形ABCD外部两种情况进行求解.
【解析】 (1)等腰直角三角形
连接BD,由旋转和正方形的性质,得AB'=AB=AD,又∠BAB'=60°,∴△ABB'是等边三角形,∴∠AB'B=60°.∵∠DAB'=30°,AB'=AD,∴∠AB'D==75°,∴∠DB'E=180°-75°-60°=45°.又DE⊥B'E,∴△DEB'是等腰直角三角形.易知==,∠BDB'=∠CDE,∴△B'DB∽△EDC,∴==.
(2)①两个结论仍成立.
证明:连接BD.
∵AB=AB',∠BAB'=α,∴∠AB'B=90°-.
∵∠B'AD=α-90°,AD=AB',∴∠AB'D=135°-,
∴∠EB'D=∠AB'D-∠AB'B=45°.
又DE⊥BB',∴∠EDB'=45°,
∴△DEB'是等腰直角三角形,∴=.
∵四边形ABCD为正方形,
∴=,∠BDC=45°,∴=.
∵∠EDB'=∠BDC,
∴∠EDB'+∠EDB=∠BDC+∠EDB,即∠B'DB=∠EDC,
∴△B'DB∽△EDC,∴==.
②3或1.
如图1,当点B'在正方形ABCD内部时,
∵四边形B'CED为平行四边形,∴DB'=CE.
∵△DB'E是等腰直角三角形,∴设DE=B'E=a,
∴CE=DB'=a.
∵=,∴BB'=CE=2a,
∴BE=BB'+B'E=3a,∴==3.
如图2,当点B'在正方形ABCD外部时,点E与点A重合,
此时B'E=B'A=BA=BE,∴=1.
综上所述,的值为3或1.
16.【安徽中考】如图1,在四边形ABCD中,∠ABC＝∠BCD,点E在边BC上,且AE∥CD,DE∥AB,作CF∥AD交线段AE于点F,连接BF.
(1)求证:△ABF≌△EAD;
(2)如图2,若AB＝9,CD＝5,∠ECF＝∠AED,求BE的长;
(3)如图3,若BF的延长线经过AD的中点M,求的值.
图1 图2 图3
解:(1)因为AE∥CD,AD∥CF,
所以四边形AFCD是平行四边形,从而AF＝CD,
而AE∥CD,DE∥AB,∠ABC＝∠BCD,
所以∠ABC＝∠DEC＝∠AEB＝∠BCD,
从而AB＝EA,DE＝AF,∠BAF＝∠AED,
所以△ABF≌△EAD.
(2)由(1)知BF＝AD,FC＝AD,所以FC＝FB,
从而∠FBE＝∠ECF＝∠AED＝∠BAE,
又∠AEB＝∠BEF,所以△ABE∽△BFE,
从而BE2＝AE·EF,而AE＝AB＝9,EF＝AE－AF＝AE－CD＝4,故BE＝6.
(3)易证△ABE∽△DEC,所以.
方法1:如图1,作MN∥DE,交AE于点N,则AN＝DE,
且. ①
设AF＝a,EF＝b,则AE＝AB＝a+b,AN＝.
①式可化为,
整理得b2＝2a2,即b＝a,
于是+1.
方法2:如图2,延长BM,交ED的延长线于点N,
则AB＝DN,且, ②
不妨设AB＝a,CD＝1,
②式可化为,整理得a2－2a－1＝0,
解得a＝+1.
达标练习
一、选择题
1.【2021吉林大学附中月考】如图,在△ABC中,∠A=75°,AB=6,AC=8,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是( )
A B C D
【答案】D
【解析】 A项,阴影三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故A项不符合题意;B项,阴影三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故B项不符合题意;C项,两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故C项不符合题意;D项,两三角形的两边成比例,但是夹角不一定相等,故两三角形不一定相似,故D项符合题意.
2.如图,已知△ABC和△DEF,点E在BC边上,点A在DE边上,边EF和边AC相交于点G.如果AE＝EC,∠AEG＝∠B,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△DEF与△ABC一定相似的是( C )
A. B. C. D.
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图,在矩形ABCD中,AB＝6,BC＝3,E是对角线BD上一动点,过点E作MN⊥BD,交AB于点M,交CD于点N.当点E在BD上移动时,MN的长为( C )
A.3 B. C. D.无法确定
4.如图,以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C',下列说法错误的是( D )
A.△ABC∽△A'B'C' B.C,O,C'三点在同一直线上
C.AB∥A'B' D.AO∶AA'＝1∶2
5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别在对角线AC,BD上,且EF∥AD.若AE=2EC,AD=3,BC=6,则线段EF的长为 ( )
A.2 B. C.3 D.
【答案】C
【解析】 解法一 如图,延长EF交AB于点G.易证△AGE∽△ABC,△BGF∽△BAD,∴===,==,∴GE=BC=4,GF=AD=1,∴EF=GE-GF=4-1=3.
解法二 设AC与BD相交于点H.由AD∥BC,AD∥EF,可得△AHD∽△EHF∽△CHB,∴===,∴AH=AC.∵AE=2EC,∴EC=AC=AH,
∴HE=AC,∴AH=HE,∴△AHD≌△EHF,∴EF=AD=3.
6.【2021河北石家庄外国语学校月考】如图,AB=4,射线BM和AB互相垂直,点D是AB上的一个动点,点E在射线BM上,BE=DB,作EF⊥DE并截取EF=DE,连接AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y 与x的函数解析式是( )
A.y=- B.y=- C.y=- D.y=-
【答案】A
【解析】 如图,过点F作FG⊥BC于点G,∴∠FGE=90°.∵∠DEB+∠GEF=90°,
∠DEB+∠BDE=90°,∴∠BDE=∠GEF.又∠B=∠FGE=90°,DE=EF,∴△DBE≌△EGF,
∴DB=EG,BE=FG=x.∵BE=DB,∴EG=DB=2BE=2x,∴GC=y-3x.∵FG⊥BC,
AB⊥BC,∴FG∥AB,∴△FCG∽△ACB,∴=,即=,∴y=-.
第6题图 第7题图 第8题图
7.如图,在△ABC中,E是边AC上一点,AE∶CE=1∶2,过点C作CD∥AB交BE的延长线于点D.若S△ABE=4,则S△BCD=( )
A.8 B.16 C.24 D.32
【答案】C
【解析】 ∵CD∥AB,∴△ABE∽△CDE.∵AE∶CE=1∶2,∴S△ABE∶S△CDE=1∶4.∵S△ABE=4,
∴S△CDE=16.∵AE∶CE=1∶2,∴CE=2AE,∴S△BCE=2S△ABE=8,∴S△BCD=S△CDE+S△BCE=16+8=24.
8.如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE,∠ABC=∠AED=90°,CD与BE,AE分别交于点P,M,连接AP.给出下列结论:①△CAM∽△DEM;②CD=BE;③MP·MD=MA·ME;④2CB2=CP·CM.其中正确的是( )
A.①② B.①②③ C.①②③④ D.①③④
【答案】C
【解析】 ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠ADE=45°,∴AC∥DE,∴△CAM∽△DEM,故①正确.∵AC=AB,AD=AE,∴=.∵∠BAC=∠EAD=45°,∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE,即∠BAE=∠CAD,
∴△BAE∽△CAD,∴==,∴CD=BE,故②正确.∵△BAE∽△CAD,∴∠BEA=∠CDA,又∠PME=∠AMD,
∴△PME∽△AMD,∴=,∴MP·MD=MA·ME,故③正确.∵MP·MD=MA·ME,∠PMA=∠DME,∴△PMA∽△EMD,
∴∠APD=∠AED=90°.∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°,∴△CAP∽△CMA,∴=,∴AC2=CP·CM.∵AC=CB,
∴2CB2=CP·CM,故④正确.综上,正确的结论是①②③④.
二、填空题
9.已知两个相似三角形对应角平分线的比为4∶5,周长和为18 cm,则这两个三角形的周长分别为 .
【答案】8 cm,10 cm
【解析】 设其中一个三角形的周长为x cm,则另一个三角形的周长为(18-x)cm.∵两个相似三角形对应角平分线的比为4∶5,∴这两个相似三角形的相似比为4∶5,∴这两个相似三角形的周长比为4∶5,∴=,∴x=8,∴18-x=10,故这两个三角形的周长分别为8 cm,10 cm.
10.一块矩形绸布的宽AB＝a m,长AD＝1 m,按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗,若裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,那么a的值应当是 .(用含n的式子表示)
第10题图 第11题图 第12题图
11.如图,在正方形ABCD中,E,F,G,H分别是DA,AB,BC,CD上靠近点A,B,C,D的四等分点,I,J,K,L分别是EF,FG,GH,HE上靠近点E,F,G,H的四等分点,则＝ .
12.如图,AD∥BC,∠ABC＝90°,AB＝8,AD＝3,BC＝4,P为AB边上的一个动点.若△PAD与△PBC是相似三角形,则AP的长为 或2或6 .
三、解答题
13.“今有井径五尺,不知其深,立五尺于井上,从木末望水岸,入径四寸,问井深几何 ”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题,它的题意可以由图获得.求井深BD.
解:依题意可得△ABF∽△ADE,
∴AB∶AD＝BF∶DE,即5∶AD＝0.4∶5,解得AD＝62.5尺,
∴BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5(尺).
14.如图,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',求边x,y的长度和角α的大小.
解:∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',
∴,∠C＝α,∠D＝∠D'＝140°.
∴x＝12,y＝,α＝∠C＝360°－∠A－∠B－∠D＝360°－62°－75°－140°＝83°.
15.如图,AB∥CD,AC与BD交于点E,且∠ACB＝90°,AB＝6,BC＝6,CE＝3.
(1)求CD的长;
(2)求证:△CDE∽△BDC.
解:(1)在Rt△ABC中,∵∠ACB＝90°,AB＝6,BC＝6,
∴AC＝＝12,∴AE＝AC－CE＝9.
∵AB∥CD,∴△CDE∽△ABE,
∴.
(2)在Rt△BCE中,∵∠ECB＝90°,CE＝3,BC＝6,
∴BE＝.
∴由(1)知△CDE∽△ABE,∴,
∴DE＝.
∵.
∵∠D＝∠D,∴△CDE∽△BDC.
16.如图,在△ABC中,AB＝AC,D是边BC上一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,△AEF∽△ABC.
(1)求证:△AED≌△AFD;
(2)若BC＝2AD,求证:四边形AEDF是正方形.
证明:(1)∵△AEF∽△ABC,∴.
∵AB＝AC,∴AE＝AF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED＝∠AFD＝90°.
在Rt△AED和Rt△AFD中,AE＝AF,AD＝AD,
∴△AED≌△AFD.
(2)由(1)知△AED≌△AFD,∴∠EAD＝∠FAD.
∵AB＝AC,∴D为BC的中点,即AD⊥BC,BC＝2BD.
∵BC＝2AD,∴BD＝AD.
∵AD⊥BC,∴∠ADB＝90°,
∴∠B＝∠BAD＝45°,∴∠BAC＝2∠BAD＝90°.
∵∠AED＝∠AFD＝90°,∴四边形AEDF是矩形.
又∵AE＝AF,∴矩形AEDF是正方形.
17.某天,小芳走到如图所示的C处时,看到正对面一条东西走向的笔直公路上有一辆汽车从东面驶来,到达Q处时,恰好被公路北侧边上竖着的一个长12 m的广告牌AB挡住,3 s后在P处又重新看到该汽车的全部车身,已知该汽车的行驶速度是21.6 km/h,假设AB∥PQ,公路宽为10 m,求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离.
解:设小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为x m.
21.6 km/h＝6 m/s.
∵AB∥PQ,∴△CAB∽△CPQ,
∴,
∴x＝30,
∴小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为30 m.
18.如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且点B的坐标为(3,1),点B'的坐标为(6,2).
(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题:
①若点A的坐标为,则点A'的坐标为 (5,6) ;
②△ABC与△A'B'C'的相似比为 1∶2 .
(2)若△ABC的面积为m,求△A'B'C'的面积.(用含m的代数式表示)
解:(2)∵△ABC与△A'B'C'的相似比为1∶2,
∴.
又∵△ABC的面积为m,∴△A'B'C'的面积为4m.
19.如图,在平面直角坐标系中,△ABC为格点三角形(顶点是网格线的交点),已知点A的坐标为(4,4).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)在给定的网格中,以点O为位似中心,将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍,得到△A2B2C2,画出△A2B2C2;
(3)在(2)的条件下,点A2的坐标为 (8,－8) .
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求.
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