第27章 相似 单元测试卷（含答案）
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人教版数学九年级下册第27章 相似测试卷
(考试时间：90分钟，赋分：100分)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案
1.[淮北五校联考]如果,那么的值是
A. B. C. D.
2.如图,AB∥CD∥MN,点M,N分别在线段AD,BC上,AC与MN相交于点E.下列说法正确的是
A. B. C. D.
第2题图 第4题图 第5题图 第6题图
3.若一个多边形的各边长分别为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边长为24,则另一个多边形的最短边长为
A.6 B.8 C.10 D.12
4.如图,已知∠DAB＝∠CAE,那么添加下列一个条件后,仍然无法判定△ABC∽△ADE的是
A. B. C.∠B＝∠D D.∠C＝∠AED
5.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线BF分别与AC,AD交于点E,F.若AB＝4,AC＝5,BC＝6,则AE的长为
A.2 B.2 C.3 D.5－2
6.如图,在△ABC中,AB＝AC＝13,BC＝10,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E,则线段DE的长是
A.5 B. C. D.
7.如图,P是菱形ABCD对角线BD上的点,连接CP并延长,交AD于点E,交BA的延长线于点F.若PC＝3,PE＝2,则EF的长为
A.2 B.+1 C. D.2
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8.如图,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴上方,点C的坐标是(－1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,得到△A'B'C.若设点B的对应点B'的横坐标为2,则点B的横坐标为
A.－1 B.－ C.－2 D.－
9.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,∠BED＝∠ABC.若∠BAC＝70°,则∠BEC的度数是
A.100° B.110° C.120° D.130°
10.在矩形ABCD中,AB＝6,AD＝9,E为线段AD上一点,且DE＝2AE,G是线段AB上的动点,EF⊥EG交BC所在直线于点F,连接GF,则GF的最小值是
A.3 B.6 C.6 D.3
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC＝3AD,AB＝3AE,F为BC边上一点.添加一个条件: ,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
第11题图 第12题图 第13题图
12.已知三个边长分别为2 cm,3 cm,5 cm的正方形如图排列,则图中阴影部分的面积为 .
13.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E是AB的中点,点P在射线DC上从D点出发以每秒1个单位长度的速度运动,过点P作PF⊥DE于点F,当运动时间为 秒时,以P,F,E为顶点的三角形与△AED相似.
14.如图，将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是________cm.
第14题图 第15题图 第16题图
15.如图，A，B，C，D依次为一直线上四个点，BC＝2，△BCE为等边三角形，⊙O过A，D，E三点，且∠AOD＝120°，设AB＝x，CD＝y，则y关于x的函数解析式为________．
16.[合肥瑶海区期末]如图,Q是△ABC内一点,且满足∠QAB＝∠QBC＝∠QCA＝∠α.
(1)如图1,当△ABC是等边三角形时,∠α＝ ;
(2)如图2,当△ABC是等腰直角三角形(其中∠ACB＝90°)时,△QAC,△QBA,△QCB的面积之比是 .
三、解答题(第21题12分，其余每题10分，共52分)
17.如图,在△ABC中,∠A＝90°,正方形DEFG的边长是6 cm,且四个顶点都在△ABC的各边上,CE＝3 cm.
(1)求证:△BDG∽△FEC;
(2)求BC的长.
18.在△ABC中,E,F分别为线段AB,AC上的点(不与点A,B,C重合).
(1)如图1,若EF∥BC,求证:.
(2)如图2,若EF不与BC平行,(1)中的结论是否仍然成立 请说明理由.
19.如图,AC,AD是☉O的两条割线,AC与☉O相交于B,C两点,AD过圆心O且与☉O相交于E,D两点,OB平分∠AOC.
(1)求证:△ACD∽△ABO;
(2)过点E的切线交AC于点F,若EF∥OC,OC＝3,求EF的值.
20.在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝90°,BC＝2AD,E是BC的中点,连接AE,AC.
(1)F是DC上一点,连接EF,交AC于点O(如图1),求证:△AOE∽△COF;
(2)若F是DC的中点,连接BD,交AE于点G(如图2),求证:四边形EFDG是菱形.
21.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC＝∠EDF＝90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图1,当点Q在线段AC上,且AP＝AQ时,求证:△BPE≌△CQE;
(2)如图2,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ,并求当BP＝2,CQ＝9时BC的长.
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参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 C D B A A B C D B D
1.[淮北五校联考]如果,那么的值是
A. B. C. D.
2.如图,AB∥CD∥MN,点M,N分别在线段AD,BC上,AC与MN相交于点E.下列说法正确的是
A. B. C. D.
第2题图 第4题图 第5题图 第6题图
3.若一个多边形的各边长分别为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边长为24,则另一个多边形的最短边长为
A.6 B.8 C.10 D.12
4.如图,已知∠DAB＝∠CAE,那么添加下列一个条件后,仍然无法判定△ABC∽△ADE的是
A. B. C.∠B＝∠D D.∠C＝∠AED
5.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线BF分别与AC,AD交于点E,F.若AB＝4,AC＝5,BC＝6,则AE的长为
A.2 B.2 C.3 D.5－2
6.如图,在△ABC中,AB＝AC＝13,BC＝10,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E,则线段DE的长是
A.5 B. C. D.
7.如图,P是菱形ABCD对角线BD上的点,连接CP并延长,交AD于点E,交BA的延长线于点F.若PC＝3,PE＝2,则EF的长为
A.2 B.+1 C. D.2
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8.如图,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴上方,点C的坐标是(－1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,得到△A'B'C.若设点B的对应点B'的横坐标为2,则点B的横坐标为
A.－1 B.－ C.－2 D.－
9.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,∠BED＝∠ABC.若∠BAC＝70°,则∠BEC的度数是
A.100° B.110° C.120° D.130°
10.在矩形ABCD中,AB＝6,AD＝9,E为线段AD上一点,且DE＝2AE,G是线段AB上的动点,EF⊥EG交BC所在直线于点F,连接GF,则GF的最小值是
A.3 B.6 C.6 D.3
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC＝3AD,AB＝3AE,F为BC边上一点.添加一个条件: DF∥AC(答案不唯一) ,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
第11题图 第12题图 第13题图
12.已知三个边长分别为2 cm,3 cm,5 cm的正方形如图排列,则图中阴影部分的面积为 3.75 cm2 .
13.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E是AB的中点,点P在射线DC上从D点出发以每秒1个单位长度的速度运动,过点P作PF⊥DE于点F,当运动时间为 1或 秒时,以P,F,E为顶点的三角形与△AED相似.
14.如图，将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是________cm.
【答案】12
【解析】由折叠的性质，得DF＝EF，设EF＝x cm，则AF＝(6－x) cm.∵点E是AB的中点，∴AE＝BE＝×6＝3(cm)．在Rt△AEF中，由勾股定理，得AE2＋AF2＝EF2，即32＋(6－x)2＝x2，解得x＝，
∴AF＝6－＝(cm)．∵∠FEG＝∠D＝90°，∴∠AEF＋∠BEG＝90°.又∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠BEG.又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AEF∽△BGE，∴＝＝，即＝＝，解得BG＝4 cm，EG＝5 cm，∴△EBG的周长是3＋4＋5＝12(cm)．
第14题图 第15题图 第16题图
15.如图，A，B，C，D依次为一直线上四个点，BC＝2，△BCE为等边三角形，⊙O过A，D，E三点，且∠AOD＝120°，设AB＝x，CD＝y，则y关于x的函数解析式为________．
【答案】y＝(x＞0)
16.[合肥瑶海区期末]如图,Q是△ABC内一点,且满足∠QAB＝∠QBC＝∠QCA＝∠α.
(1)如图1,当△ABC是等边三角形时,∠α＝ 30° ;
(2)如图2,当△ABC是等腰直角三角形(其中∠ACB＝90°)时,△QAC,△QBA,△QCB的面积之比是 1∶2∶2 .
提示:(1)先证明△ACQ≌△BAQ≌△CBQ,从而得到∠QAB＝∠QBC＝∠QCA＝∠QAC＝∠QBA＝∠QCB,进而即可求解.(2)∵∠QAB+∠QAC＝45°,∠QAB＝∠QCA,∴∠QAC+∠QCA＝45°,∴∠AQC＝135°,
同理可得∠BQA＝135°,∴△QAC∽△QBA,∠BQC＝90°,
∴
m2＝1∶2∶2.
三、解答题(第21题12分，其余每题10分，共52分)
17.如图,在△ABC中,∠A＝90°,正方形DEFG的边长是6 cm,且四个顶点都在△ABC的各边上,CE＝3 cm.
(1)求证:△BDG∽△FEC;
(2)求BC的长.
解:(1)∵四边形EFGD是正方形,
∴DE＝EF＝DG＝6 cm,∠GDE＝∠DEF＝90°,
∴∠BDG＝∠CEF＝90°.
∵∠B+∠C＝90°,∠C+∠CFE＝90°,
∴∠B＝∠CFE,∴△BDG∽△FEC.
(2)由(1)知△BDG∽△FEC,∴.
∵EF＝DG＝6,CE＝3,
∴,解得BD＝12,
∴BC＝BD+DE+CE＝12+6+3＝21(cm).
18.在△ABC中,E,F分别为线段AB,AC上的点(不与点A,B,C重合).
(1)如图1,若EF∥BC,求证:.
(2)如图2,若EF不与BC平行,(1)中的结论是否仍然成立 请说明理由.
解:(1)∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,
∴.
(2)当EF不与BC平行时,(1)中的结论仍然成立.
理由:作CM⊥AB于点M,FN⊥AB于点N,则CM∥FN,
∴△ANF∽△AMC,∴,
∴.
19.如图,AC,AD是☉O的两条割线,AC与☉O相交于B,C两点,AD过圆心O且与☉O相交于E,D两点,OB平分∠AOC.
(1)求证:△ACD∽△ABO;
(2)过点E的切线交AC于点F,若EF∥OC,OC＝3,求EF的值.
解:(1)∵OB平分∠AOC,∴∠BOA＝∠AOC.
∵∠D＝∠AOC,∴∠D＝∠BOA.
又∵∠A＝∠A,∴△ACD∽△ABO.
(2)∵EF切☉O于点E,∴∠OEF＝90°.
∵EF∥OC,∴∠DOC＝∠OEF＝90°.
∵OC＝OD＝3,∴CD＝.
∵△ACD∽△ABO,
∴.
∵EF∥OC,∴,
∴EF＝6－3.
20.在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝90°,BC＝2AD,E是BC的中点,连接AE,AC.
(1)F是DC上一点,连接EF,交AC于点O(如图1),求证:△AOE∽△COF;
(2)若F是DC的中点,连接BD,交AE于点G(如图2),求证:四边形EFDG是菱形.
证明:(1)∵E是BC的中点,BC＝2AD,
∴EC＝BE＝BC＝AD.
又∵AD∥BC,∴四边形AECD为平行四边形,
∴AE∥FC,∴△AOE∽△COF.
(2)连接DE.易得四边形ABED是矩形,
∴GE＝GA＝GB＝GD＝AE.
∵E,F分别是BC,CD的中点,∴EF,GE是△CBD的两条中位线,
∴EF＝CD＝DF.
又∵GE＝GD,∴EF＝GD＝GE＝DF,∴四边形EFDG是菱形.
21.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC＝∠EDF＝90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图1,当点Q在线段AC上,且AP＝AQ时,求证:△BPE≌△CQE;
(2)如图2,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ,并求当BP＝2,CQ＝9时BC的长.
解:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B＝∠C＝45°,AB＝AC.
∵AP＝AQ,∴BP＝CQ.
∵E是BC的中点,∴BE＝CE,∴△BPE≌△CQE.
(2)∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,
∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°.
∵∠BEQ＝∠EQC+∠C,即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C,
∴∠BEP＝∠EQC,∴△BPE∽△CEQ,∴.
∵BP＝2,CQ＝9,BE＝CE,∴BE2＝18,∴BE＝CE＝3,
∴BC＝2BE＝6.
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(考试时间：90分钟，赋分：100分)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案
1.[淮北五校联考]如果,那么的值是
A. B. C. D.
2.如图,AB∥CD∥MN,点M,N分别在线段AD,BC上,AC与MN相交于点E.下列说法正确的是
A. B. C. D.
第2题图 第4题图 第5题图 第6题图
3.若一个多边形的各边长分别为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边长为24,则另一个多边形的最短边长为
A.6 B.8 C.10 D.12
4.如图,已知∠DAB＝∠CAE,那么添加下列一个条件后,仍然无法判定△ABC∽△ADE的是
A. B. C.∠B＝∠D D.∠C＝∠AED
5.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线BF分别与AC,AD交于点E,F.若AB＝4,AC＝5,BC＝6,则AE的长为
A.2 B.2 C.3 D.5－2
6.如图,在△ABC中,AB＝AC＝13,BC＝10,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E,则线段DE的长是
A.5 B. C. D.
7.如图,P是菱形ABCD对角线BD上的点,连接CP并延长,交AD于点E,交BA的延长线于点F.若PC＝3,PE＝2,则EF的长为
A.2 B.+1 C. D.2
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8.如图,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴上方,点C的坐标是(－1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,得到△A'B'C.若设点B的对应点B'的横坐标为2,则点B的横坐标为
A.－1 B.－ C.－2 D.－
9.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,∠BED＝∠ABC.若∠BAC＝70°,则∠BEC的度数是
A.100° B.110° C.120° D.130°
10.在矩形ABCD中,AB＝6,AD＝9,E为线段AD上一点,且DE＝2AE,G是线段AB上的动点,EF⊥EG交BC所在直线于点F,连接GF,则GF的最小值是
A.3 B.6 C.6 D.3
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC＝3AD,AB＝3AE,F为BC边上一点.添加一个条件: ,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
第11题图 第12题图 第13题图
12.已知三个边长分别为2 cm,3 cm,5 cm的正方形如图排列,则图中阴影部分的面积为 .
13.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E是AB的中点,点P在射线DC上从D点出发以每秒1个单位长度的速度运动,过点P作PF⊥DE于点F,当运动时间为 秒时,以P,F,E为顶点的三角形与△AED相似.
14.如图，将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是________cm.
第14题图 第15题图 第16题图
15.如图，A，B，C，D依次为一直线上四个点，BC＝2，△BCE为等边三角形，⊙O过A，D，E三点，且∠AOD＝120°，设AB＝x，CD＝y，则y关于x的函数解析式为________．
16.[合肥瑶海区期末]如图,Q是△ABC内一点,且满足∠QAB＝∠QBC＝∠QCA＝∠α.
(1)如图1,当△ABC是等边三角形时,∠α＝ ;
(2)如图2,当△ABC是等腰直角三角形(其中∠ACB＝90°)时,△QAC,△QBA,△QCB的面积之比是 .
三、解答题(第21题12分，其余每题10分，共52分)
17.如图,在△ABC中,∠A＝90°,正方形DEFG的边长是6 cm,且四个顶点都在△ABC的各边上,CE＝3 cm.
(1)求证:△BDG∽△FEC;
(2)求BC的长.
18.在△ABC中,E,F分别为线段AB,AC上的点(不与点A,B,C重合).
(1)如图1,若EF∥BC,求证:.
(2)如图2,若EF不与BC平行,(1)中的结论是否仍然成立 请说明理由.
19.如图,AC,AD是☉O的两条割线,AC与☉O相交于B,C两点,AD过圆心O且与☉O相交于E,D两点,OB平分∠AOC.
(1)求证:△ACD∽△ABO;
(2)过点E的切线交AC于点F,若EF∥OC,OC＝3,求EF的值.
20.在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝90°,BC＝2AD,E是BC的中点,连接AE,AC.
(1)F是DC上一点,连接EF,交AC于点O(如图1),求证:△AOE∽△COF;
(2)若F是DC的中点,连接BD,交AE于点G(如图2),求证:四边形EFDG是菱形.
21.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC＝∠EDF＝90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图1,当点Q在线段AC上,且AP＝AQ时,求证:△BPE≌△CQE;
(2)如图2,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ,并求当BP＝2,CQ＝9时BC的长.
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参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 C D B A A B C D B D
1.[淮北五校联考]如果,那么的值是
A. B. C. D.
2.如图,AB∥CD∥MN,点M,N分别在线段AD,BC上,AC与MN相交于点E.下列说法正确的是
A. B. C. D.
第2题图 第4题图 第5题图 第6题图
3.若一个多边形的各边长分别为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边长为24,则另一个多边形的最短边长为
A.6 B.8 C.10 D.12
4.如图,已知∠DAB＝∠CAE,那么添加下列一个条件后,仍然无法判定△ABC∽△ADE的是
A. B. C.∠B＝∠D D.∠C＝∠AED
5.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线BF分别与AC,AD交于点E,F.若AB＝4,AC＝5,BC＝6,则AE的长为
A.2 B.2 C.3 D.5－2
6.如图,在△ABC中,AB＝AC＝13,BC＝10,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E,则线段DE的长是
A.5 B. C. D.
7.如图,P是菱形ABCD对角线BD上的点,连接CP并延长,交AD于点E,交BA的延长线于点F.若PC＝3,PE＝2,则EF的长为
A.2 B.+1 C. D.2
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8.如图,在△ABC中,A,B两个顶点在x轴上方,点C的坐标是(－1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,得到△A'B'C.若设点B的对应点B'的横坐标为2,则点B的横坐标为
A.－1 B.－ C.－2 D.－
9.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,∠BED＝∠ABC.若∠BAC＝70°,则∠BEC的度数是
A.100° B.110° C.120° D.130°
10.在矩形ABCD中,AB＝6,AD＝9,E为线段AD上一点,且DE＝2AE,G是线段AB上的动点,EF⊥EG交BC所在直线于点F,连接GF,则GF的最小值是
A.3 B.6 C.6 D.3
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC＝3AD,AB＝3AE,F为BC边上一点.添加一个条件: DF∥AC(答案不唯一) ,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
第11题图 第12题图 第13题图
12.已知三个边长分别为2 cm,3 cm,5 cm的正方形如图排列,则图中阴影部分的面积为 3.75 cm2 .
13.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E是AB的中点,点P在射线DC上从D点出发以每秒1个单位长度的速度运动,过点P作PF⊥DE于点F,当运动时间为 1或 秒时,以P,F,E为顶点的三角形与△AED相似.
14.如图，将边长为6 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是________cm.
【答案】12
【解析】由折叠的性质，得DF＝EF，设EF＝x cm，则AF＝(6－x) cm.∵点E是AB的中点，∴AE＝BE＝×6＝3(cm)．在Rt△AEF中，由勾股定理，得AE2＋AF2＝EF2，即32＋(6－x)2＝x2，解得x＝，
∴AF＝6－＝(cm)．∵∠FEG＝∠D＝90°，∴∠AEF＋∠BEG＝90°.又∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠BEG.又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AEF∽△BGE，∴＝＝，即＝＝，解得BG＝4 cm，EG＝5 cm，∴△EBG的周长是3＋4＋5＝12(cm)．
第14题图 第15题图 第16题图
15.如图，A，B，C，D依次为一直线上四个点，BC＝2，△BCE为等边三角形，⊙O过A，D，E三点，且∠AOD＝120°，设AB＝x，CD＝y，则y关于x的函数解析式为________．
【答案】y＝(x＞0)
16.[合肥瑶海区期末]如图,Q是△ABC内一点,且满足∠QAB＝∠QBC＝∠QCA＝∠α.
(1)如图1,当△ABC是等边三角形时,∠α＝ 30° ;
(2)如图2,当△ABC是等腰直角三角形(其中∠ACB＝90°)时,△QAC,△QBA,△QCB的面积之比是 1∶2∶2 .
提示:(1)先证明△ACQ≌△BAQ≌△CBQ,从而得到∠QAB＝∠QBC＝∠QCA＝∠QAC＝∠QBA＝∠QCB,进而即可求解.(2)∵∠QAB+∠QAC＝45°,∠QAB＝∠QCA,∴∠QAC+∠QCA＝45°,∴∠AQC＝135°,
同理可得∠BQA＝135°,∴△QAC∽△QBA,∠BQC＝90°,
∴
m2＝1∶2∶2.
三、解答题(第21题12分，其余每题10分，共52分)
17.如图,在△ABC中,∠A＝90°,正方形DEFG的边长是6 cm,且四个顶点都在△ABC的各边上,CE＝3 cm.
(1)求证:△BDG∽△FEC;
(2)求BC的长.
解:(1)∵四边形EFGD是正方形,
∴DE＝EF＝DG＝6 cm,∠GDE＝∠DEF＝90°,
∴∠BDG＝∠CEF＝90°.
∵∠B+∠C＝90°,∠C+∠CFE＝90°,
∴∠B＝∠CFE,∴△BDG∽△FEC.
(2)由(1)知△BDG∽△FEC,∴.
∵EF＝DG＝6,CE＝3,
∴,解得BD＝12,
∴BC＝BD+DE+CE＝12+6+3＝21(cm).
18.在△ABC中,E,F分别为线段AB,AC上的点(不与点A,B,C重合).
(1)如图1,若EF∥BC,求证:.
(2)如图2,若EF不与BC平行,(1)中的结论是否仍然成立 请说明理由.
解:(1)∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,
∴.
(2)当EF不与BC平行时,(1)中的结论仍然成立.
理由:作CM⊥AB于点M,FN⊥AB于点N,则CM∥FN,
∴△ANF∽△AMC,∴,
∴.
19.如图,AC,AD是☉O的两条割线,AC与☉O相交于B,C两点,AD过圆心O且与☉O相交于E,D两点,OB平分∠AOC.
(1)求证:△ACD∽△ABO;
(2)过点E的切线交AC于点F,若EF∥OC,OC＝3,求EF的值.
解:(1)∵OB平分∠AOC,∴∠BOA＝∠AOC.
∵∠D＝∠AOC,∴∠D＝∠BOA.
又∵∠A＝∠A,∴△ACD∽△ABO.
(2)∵EF切☉O于点E,∴∠OEF＝90°.
∵EF∥OC,∴∠DOC＝∠OEF＝90°.
∵OC＝OD＝3,∴CD＝.
∵△ACD∽△ABO,
∴.
∵EF∥OC,∴,
∴EF＝6－3.
20.在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝90°,BC＝2AD,E是BC的中点,连接AE,AC.
(1)F是DC上一点,连接EF,交AC于点O(如图1),求证:△AOE∽△COF;
(2)若F是DC的中点,连接BD,交AE于点G(如图2),求证:四边形EFDG是菱形.
证明:(1)∵E是BC的中点,BC＝2AD,
∴EC＝BE＝BC＝AD.
又∵AD∥BC,∴四边形AECD为平行四边形,
∴AE∥FC,∴△AOE∽△COF.
(2)连接DE.易得四边形ABED是矩形,
∴GE＝GA＝GB＝GD＝AE.
∵E,F分别是BC,CD的中点,∴EF,GE是△CBD的两条中位线,
∴EF＝CD＝DF.
又∵GE＝GD,∴EF＝GD＝GE＝DF,∴四边形EFDG是菱形.
21.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC＝∠EDF＝90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图1,当点Q在线段AC上,且AP＝AQ时,求证:△BPE≌△CQE;
(2)如图2,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ,并求当BP＝2,CQ＝9时BC的长.
解:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B＝∠C＝45°,AB＝AC.
∵AP＝AQ,∴BP＝CQ.
∵E是BC的中点,∴BE＝CE,∴△BPE≌△CQE.
(2)∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,
∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°.
∵∠BEQ＝∠EQC+∠C,即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C,
∴∠BEP＝∠EQC,∴△BPE∽△CEQ,∴.
∵BP＝2,CQ＝9,BE＝CE,∴BE2＝18,∴BE＝CE＝3,
∴BC＝2BE＝6.
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